AR
3° Si l’on suppose que la température demeure constante, pendant que le gaz augmente on diminue le volume, la pression suit la loi de Mariotte et le produit pv demeure constant :
En conséquence, la différentielle de ce produit est nulle, et l’on a
pdv -t- vdp — 0,
résultat qu’on pourrait aussi déduire de l’équation dt =
( vdp -f- pdv ), en y faisant dt = 0.
L’équation (IV) du § XVII, quand on y fait/w/t? -f- vdp = 0, se réduit à dÜ = 0, ce qui nous montre que la chaleur interne du gaz ne subit aucune variation. C’est ce que nous apprenait déjà l’équation (IV') U — U 0 =c t XL qui montre que, pour une même température /, la chaleur interne est la môme, quelle que soit la densité du gaz.
Puisque la chaleur interne du gaz ne subit aucune variation, la chaleur reçue ou émise au dehors par le gaz, pendant le changement de volume, est l’équivalent calorifique du travail mécanique développé ou subi par le gaz. Or l’équation (V), lorsque l’on y introduit la condition vdp -f- pdv = o, ou vdp — — pdv, devient :
dQ — ( c — C x )pdv.
De l’équation pv — R ( a + f )» on tire d’ailleurs p =. 1 ^
valeur qui, substituée dans l’équation précédente, donne :
dQ = ( c — c, ) («-+-<)*—•
Intégrant depuis un volume donné t' 0 du gaz jusqu’au volume u, il vient, pour la quantité de chaleur nécessaire pour entretenir constante la température t pendant la dilatation,
Q = (c — c t ) (a-t- r)L. -JJ-. (m)
Q est positif ou négatif, c’est-à-dire que le gaz reçoit ou émet de la chaleur, suivant que v est plus grand ou plus petit que r 0 , c’est-à-dire suivant qu’il s’est dilaté ou contracté. En désignant par F le travail mécanique externe résultant de la dilatation ou exigé par la compression, nous devons avoir, d’après ce qui a été dit plus haut :
( c — c, ) (a + t ) L. = AF. (n)
En remplaçant, dans cette équation, c — c, par sa valeur AH et se rappelant que R (a + /) =pv=p 0 v 0 , oùp et p 0 sont les forces élastiques du gaz respectivement correspondantes aux volumes u et v 0 , nous retombons, après avoir divisé les deux membres par A, sur l’équation connue :
F — p 0 v 0 L . —, ou bien F = pv L .
Les équations (m) et (n). en y remplaçant simplement c — c, par AK, et divisant les deux membres de la seconde par A, prennent la forme :
Q = AR(a-t-OL.— ,
F = R (a h- ML.—.
D’où l’on voit que, pour une môme valeur du rapport et pour
un même gaz, la chaleur dépensée ou recouvrée et le travail mécanique correspondant sont proportionnels à la température absolue sous laquelle le changement de volume se produit, et complètement indépendants des valeurs absolues des volumes et des pressions à l’origine et à la fin. Ainsi, que l’on prenne un kilo-
gramme d’air sous un volume quelconque à la température de 100° par exemple, et que l’on double ce volume, la chaleur à dépenser pour entretenir la température de 100 degrés constante pendant la dilatation et le travail mécanique obtenu seront toujours les mêmes. Si l’on se rappelle que le nombre R varie d’un gaz à l’autre en raison inverse de la densité, on remarquera que, pour une même température et un même rapport entre le volume initial et final, la chaleur à dépenser et le travail mécanique sont en raison inverse des densités. Mais si, au lieu d’opérer sur des poids égaux, on opérait sur des quantités de differents gaz égales en volume sous une même pression et à la même température, les poids étant alors en raison directe des densités, la chaleur
dépensée et le travail mécanique pour un même rapport — et une
même température t seraient indépendants de la nature du gaz employé.
4° Supposons maintenant qu’un gaz change de volume, sans addition ni perte de chaleur. Cette condition s’exprimera en posant d0 = 0 dans l’équation (V), qui devient alors :
ou simplement,
^ ( c t vdp -f- cpdo ) = 0,
r t vdp -f- cpdv rr 0.
Il suffit, pour intégrer celle-ci, de diviser ses deux membres par le produit p\v. Elle devient alors :
dp dv
En effectuant l’intégration, il vient
Cj L . — c L . — — 0,
où p 0 , t> 0 sont la pression et le volume initiais, p, v la pression et le volume finals.
On tire de là :
et enfin
v r Y- Po I- v J
Ainsi , quand un gaz change de volume sans addition ni soustraction de chaleur, sa force élastique varie en raison inverse de la
étaient déjà arrivés, en partant des données admises dans l’ancienne théorie, à savoir, que la quantité de chaleur ajoutée ou soustraite vient, dans tous les cas, en augmentation ou en diminution de la chaleur inlerne d’un corps.
Le changement de volume du gaz, sans addition ni perte de chaleur, produit ou exige un travail mécanique externe dont l’ex-
que le milieu ambiant réagit sur le gaz avec une force constamment égale à sa propre force élastique pendant la variation de volume. Aucune quantité de chaleur n’étant ici, par hypothèse, ni reçue ni émise, c’est la chaleur inlerne du gaz elle-même qui diminue ou augmente d'une quantité équivalente au travail mécanique obtenu ou exercé. Aussi la dilatation du gaz est-elle toujours accompagnée d’un abaissement et sa compression d’une élévation de la température. Or nous savons que l’accroissement positif ou négatif de la chaleur interne d’un gaz, lorsqu'il passe d’une température t 0 à une température différente t r est exprimé par c { (t, — t 0 ). Donc, si nous désignons par F le travail mécanique obtenu ou dépensé pour un changement de volume d’un gaz sans addition ni émission de chaleur, nous aurons, dans tous les cas, en désignant par t 0 la température initiale et f, la température finale du gaz,
puissance - du volume. C’est le résultat auquel Laplace et Poisson
pression
pdv, en supposant, bien entendu,
r, ( / 0 ) — AF.
F est donc déterminé, dès que l’on connaît les températures /« et ou même simplement l’écart existant entre elles.
XVIII. L’intégration directe de l’expression j** pdv, dans la-
quelle on introduit la relation — = — , conduit au même
Po L v J
résultat sous une forme différente. Remplaçons, pour abréger, le £
rapport — que nous savons être un nombre sensiblement constant
pour tous les gaz (§ XV), par la lettre k, et écrivons,
d’où p = »-.
Po V k «î*
Cette valeur substituée à p dons l’intégrale / * pdv, celle-ci de-
vient, en faisant sortir les termes constants p 0 v 0 k de dessous le signe
Pê v 9
fv de
Po v o“ |* 1
. tr*-'
tJ*-.
Telle est la valeur du travail F donnée par l’intégration.
Mais p 0 v 0 = R ( a + 1 0 ) . A— i — t = - — - ;
donc,
i CiR l o + t 0 )
k — 1 Po 0 ~ c — c, ’
En ayant égard à la relation c — c, = AR, on a simplement :
Le rapport —j^rr peut aussi être transformé comme il suit : On a, ainsi que nous l’avons vu, l’équation
P » 4 = P<d’o 4 =Po ü o x V - 1 ;
remplaçant /> 0 r 0 par sa valeur R (a -f t 0 ), il vient :
d’un autre côté, on a la relation générale,
pv — R ( a 4- /, ).
Divisant la première équation par la seconde, il vient :
tr “■ =
d’où l’on tire
et
Remplaçant maintenant dans l’expression du travail mécanique produit
«« if ——I
^“HTÏ P» 1 ’» et * par * es va * eurs trouvées ci-dessus, nous
i,’ — f i ( fl + ^0 i y *1 — f s \
avons :
expression identique avec celle que nous avons trouvée, en égalant le produit AF à la diminution c, (t 0 — f,) de la chaleur interne du gaz.
XIX. Considérons maintenant un gaz dans une évolution complète et renversable entre deux sources indéfinies de chaleur, l’une
à la température f 0 , l'autre à la température /, que nous supposons plus petite que Soit un kilogramme de gaz à la température t 0 , occupant un volume v 0 ; soit p 0 la force élastique qui est déterminée, lorsque l’on connaît t 0 et t? 0 :
1° Le gaz se dilate d’abord du volume v 0 à un volume quelconque v t , en recevant de la source supérieure la chaleur nécessaire pour entretenir sa température constamment égale à t 0 , et en exerçant une pression variable et décroissante égale à sa force élastique sur la paroi qui réagit sur lui avec une force égale.
Le travail mécanique produit par la dilatation du gaz sera :
La chaleur puisée dans la source supérieure, pour maintenir la température constante, sera :
Q, = AR ( o + („ ) L . ;
elle est convertie tout entière en travail mécanique.
2° Le gaz se dilate sans addition ni perte de chaleur, jusqu’à ce que sa température se soit abaissée de t 0 à Pendant ce temps, il exerce sur la paroi mobile de l'enveloppe une pression et éprouve, de la part de cette enveloppe, une réaction constamment égale à sa force élastique décroissante.
Le travail mécanique produit par cette dilatation est :
La chaleur interne du gaz a éprouvé une diminution
Cette chaleur, qui a disparu, est équivalente au travail mécanique produit. Lorsque la température du gaz est devenue égale à son volume est devenu égal à e 2 ; v 2 est déterminé par l’équation :
r,*-' = r,*-'X doù r J= r, X (£±-V)‘ "
3 # Le gaz est mis en relation avec la source indéfinie de chaleur à ia température constante t r II est comprimé par une force mécanique extérieure, jusqu’à ce que son volume soit réduit de à t> 3 , t? 3 étant à comme le volume primitif v 0 est au volume v t ,
de sorte que l’on a : - = -°. Pendant ce temps la chaleur déve-
loppée par le travail mécanique externe qui comprime le gaz s’écoule dans la source à la température h et le gaz est maintenu constamment à cette température.
Le travail mécanique dépensé pour comprimer le gaz est :
La chaleur versée dans la source inférieure est l’équivalent de la totalité de ce travail mécanique, puisque, la température du gaz demeurant invariable, il en est de môme de sa chaleur interne. Cette quantité de chaleur étant représentée par Q a , on a :
Q, = AR ( a + <, ) L . A
4° Le gaz est comprimé sans addition ni soustraction de chaleur, jusqu'à ce que sa température se soit élevée de /, à la température primitive f 0 . Son volume sera en môme temps redevenu égal au volume primitif t’ 0 ; car, en désignant le volume réduit par t? 4 , on a la relation :
mais on a
et comme
d’où
*=*x<5±sr. "—gt ît*
Donc, enfin, r 4 =v 0 . Le gaz est ainsi revenu complètement à son état primitif dans la quatrième partie de son évolution ; le travail mécanique dépensé est :
La chaleur équivalente à ce travail est
elle s’est ajoutée tout entière à la chaleur interne du gaz.
En résumé, considérant l’évolution complète,
Le travail mécanique produit par l’expansion du gaz d’abord à température constante, pendant qu’il est en communication avec la source supérieure de chaleur, ensuite à température décroissante, pendant qu’il est isolé de toute source de chaleur, est :
F, + F =R(<i + / 0 )LA+ ((,-(,).
Le travail mécanique dépensé pour la compression du gaz d’abord à la température constante f,, pendant qu’il communique avec la source de chaleur inférieure, ensuite à température croissante, pendant qu’il est isolé, est :
F, + F»=R(a + «,)LA + 5" (/, — <,).
La différence égale au travail mécanique définitivement obtenu est donc :
La chaleur puisée à la source supérieure, pendant la première partie de l’expansion, est :
Q = AR {a + /„) L . ÏL.
La chaleur versée dans la source inférieure, pendant la première partie de la compression, est :
Q, = AR (a + gL.^L.
La différence ou la chaleur disparue
Q-Q, = AR (/„-/,) L . ÏL
est l’équivalent calorifique du travail mécanique définitivement produit. Le rapport des quantités de chaleur puisée à la source
supérieure et versée dans la source inférieure est :
o + tp a -t~ /,
Le rapport du travail définitivement obtenu à la chaleur Q puisée dans la source supérieure est :
A n -+- Iq
Le rapport du même travail à la chaleur Q t transmise à la source inférieure est :
XX. Nous citerons, comme exemple de machine à gaz satisfaisant très-bien aux conditions d 'économie de chaleur indiquées par la théorie, la machine de M. Franchot, qui a figuré en modèle à l’Exposition universelle de 4855, à Paris, mais que son auteur n’est pas parvenu à exécuter en grand.
La machine de M. Franchot se compose essentiellement de deux cylindres de même longueur, et dont les diamètres peuvent être égaux ou inégaux; nous les supposerons égaux. Ces cylindres ont leurs axes parallèles et sont entretenus constamment, le premier à la température T et le second à une température moindre t. Ils sont mis directement en communication, à leurs extrémités supérieures et inférieures (nous supposons leurs axes verticaux), par des conduits fermés dans lesquels sont placés des paquets de toiles métalliques. Dans chacun des cylindres se meut un piston. Les tiges de ces prions agissent, au moyen de bielles, sur les manivelles d’un même arbre porteur d’un volant. Les rayons des manivelles comprennent entre eux un angle droit, et les bielles sont disposées de façon que, dans la marche de la machine, la manivelle a laquelle est relié le piston du cylindre chaud soit toujours
(ni avance de 90 degrés, dans le mouvement de rotation de l'arbre, sur la manivelle à laquelle est relié le piston du cylindre froid. Ainsi, en négligeant l'influence de l’obliquité des bielles, lorsque le piston du cylindre chaud est à l’extrémité supérieure de sa course, le piston du cylindre froid est au milieu de sa course ascendante; quand le piston du cylindre chaud arrive au milieu de sa course descendante, le piston du cylindre froid est à sa position la plus élevée; tandis que le piston du cylindre chaud parcourt la seconde moitié de sa course descendante, le piston du cylindre froid parcourt la première moitié de sa course descendante, etc.
Concevons que les deux cylindres et les conduits de communication qui existent entre eux aient été remplis, dans l’origine, d'air à une pression p et à la température / que devra conserver le cylindre froid. Soient S la section droite de chaque cylindre ou l’aire superficielle de chaque piston ; 2L la longueur commune de la course des pistons, égale au double du rayon commun L des deux manivelles; / la longueur développée de chacun des conduits qui mettent les cylindres en communication par leurs extrémités supérieures et inférieures, réduite à la section libre S des cylindres; en d’autres termes, soit le produit / X S la capacité libre et occupée par l’air de chacun des conduits où sont placés les paquets de toiles métalliques, y compris les espaces des deux cylindres dits nuisibles , c’est-à-dire où les pistons ne pénètrent pas. Le volume total de l’air contenu dans les cylindres et les conduits, à l’origine, sous la pression p et à la température (, sera exprimé par 2 ( 2L -f / )S. On suppose, en outre, cet air séparé par les pistons en deux parties égales en poids, situées l’une au-dessus, l’autre audessous des pistons.
Cela posé, pour mettre la machine en train, on chauffera l’un des cylindres jusqu’à une température fixe T, l’autre étant maintenu à la température moindre t \ les communications entre les extrémités des deux cylindres restant toujours libres, la pression, en négligeant l'influence du mouvement de l’air et des résistances dont ce mouvement est la cause, sera constamment la même sur les faces supérieures et aussi la même sur tes faces inférieures des deux pistons. Si donc, à l’origine, le piston du cylindre que l’on a chauffé est au milieu de sa course par exemple, celui du cylindre
maintenu froid étant au point le plus élevé de la sienne, il est évident que les deux pistons commenceront tous deux à descendre, mais le second d’un mouvement beaucoup plus lent que le premier et que celui-ci imprimera à l’arbre des manivelles un mouvement de rotation dans lequel sa manivelle précédera de 90° celle de l’autre pi>ton, et ce mouvement de rotation continuera à avoir lieu dans le même sens. Les deux masses d’air séparées par les pistons passeront d’un cylindre à l’autre alternativement. Dans le passage du cylindre chauffé au cylindre maintenu froid, l’air déposera l’excès de sa chaleur interne sur les toiles métalliques placées dans la conduite qu’il parcourt, et, à son tour, l’air venant du cylindre froid au cylindre chaud reprendra, en passant sur ces mêmes toiles, la chaleur qui y était déposée et comme emmagasinée. Les points de contact de l’air et des toiles étant très-multipliés, et les conduites à leurs extrémités étant maintenues aux mêmes températures respectives que les cylindres auxquels elles aboutissent, la température des toiles ira en décroissant d’une extrémité à l’autre de la conduite depuis T jusqu’à t, et l’air qui en remplira les interstices aura sensiblement la température de la tranche dans laquelle il se trouve actuellement.
En dé>ignant par il la surface des interstices remplis d'air, dans une section de la conduite, par a la longueur développée de la conduite mesurée suivant son axe, et par d\ l’épaisseur infiniment petite de la tranche contiguë à la section n, cette tranche contiendra un volume d’air i itfo, à une certaine température ê, intermédiaire entre T et t, et d’autant plus voisine de l'une ou de l’autre, que la tranche considérée sera plus voisine du cylindre chaud ou du cylindre froid.
Désignons par * l’angle compris, à un moment déterminé, entre le rayon de la manivelle du piston du cylindre chaud et le plan vertical, cet angle * étant compté à partir de la position qu’occupe ce rayon, quand la manivelle est au point culminant de la circonférence qu’elle décrit dans le sens de la rotation effective de l’arbre des manivelles, et pouvant varier de 0 à 360°. La manivelle du piston froid est en arrière de 90° sur celle du piston chaud et forme avec le plan vertical un ongle <*' égal à * — 90°, négatif, par conséquent, lorsque et est plus petit que 90°. La distance du piston
du cylindre chaud à la position qu’il occupe, quand il est à la partie supérieure de sa course, sera, abstraction faite de l’influence de l’obliquité des bielles, L (1 — cos a); la distance du piston du cylindre froid ou plan qui limite supérieurement son excursion sera L (i — cos a') = L (1 — sin *)• Soit le volume qu’occupe, au moment considéré, la totalité de l’air qui est au-dessus des pistons : on aura, en négligeant le volume occupé par les tiges des pistons :
Appelant v 7 le volume qu’occupe au même instant l’air qui est en dessous des pistons, dans l’un et dans l’autre cylindre et dans la conduite qui les met en communication, on aura de même :
Soient P la force élastique commune à toute la masse d’air du volume v,; P' la force élastique commune à toute la masse d’air qui occupe le volume ty P et P' dépendent des températures T, t et de l’angle a et se déterminent comme il suit :
L’air dont la totalité forme le volume v, occupait primitivement, par hypothèse, à la température t et sous la pression p, un volume égal à S (2L + /). Le volume actuel v, se compose de trois volumes partiels distincts, savoir : celui qui est dans le cylindre chaud à la température T et qui est égal à SL ( i — cos a), celui qui est dans le cylindre froid à la température t et qui est égal à SL (t — sin *), celui qui est dans les interstices des toiles métalliques de la conduite à une température variable d’un point à l’autre de cette conduite, décroissante par degrés continus depuis T jusqu’à t, à mesure qu’on s’écarte du cylindre chaud pour se rapprocher du
c, = SL ( 1 — sin * ) SL ( 1 — C 03 * ) -+- S /
et, en réduisant,
cylindre froid. La totalité de l’air est d’ailleurs à la pression commune P qu'il s’agit de calculer. Ramenons lous ces volumes partiels à la température et à la pression initiales l et p.
Le volume SL ( 1 — cos a ) qui est à In pression inconnue P et à la température T deviendrait, en passant à la température t et à la pression p.
SL ( 1 — cos cl ) — P
