IV

— étant un nombre constant, le second membre de l’équation

précédente est la différentielle exacte du produit X pv. L’intégration donne, par conséquent, pour la chaleur interne d’un gaz permanent,

Remplaçant, dans l’équation précédente, le produit pv par R ( a + 0» elle devient :

Ainsi la chaleur interne d’un gaz permanent, sous l'unité de poids, ne dépend que de la température et ses accroissements sont proportionnels à ceux de la température. Appelant U 0 la chaleur interne du gaz à la température de la glace fondante, nous avons, pour déterminer la constante C, l’équation :

donc :

ü — ü 0 = c â Xt. (IV )

c, X t n’est autre chose que la quantité de chaleur qu’il faudrait communiquer à un kilogramme de gaz à la température de 0°, quelles que fussent d’ailleurs sa force élastique et sa densité, pour élever de l° la température de ce gaz, son volume demeurant absolument invariable. L’équation (IV') exprime que l’accroissement de la chaleur interne du gaz, en passant de 0° à l°, reste toujours, quelques variations qu’aient subies dans ce passage sa force élastique et son volume, le môme que si le volume du gaz était demeuré tout à fait invariable.

La substitution respective a X et Y + A p, dans l’équation du

§ IX du chap. I, de c, X ct'lcxî) nous donne :

^ [c x vdp 4- cpdv ], (V)

équation dont ie second membre n’est plus une différentielle eiacte des variables indépendantes p et v, et qui ne peut, par conséquent, être intégrée que lorsqu’une relation donnée entre p et o permet d’éliminer une de ces variables.

Voici les exemples les plus usuels de relations de ce genre :

\° Si l’on suppose que le volume demeure constant pendant réchauffement du gaz, on a dv = o et l’équation (V) se réduit à :

dQ = -i- X c t vdp.

Mais vdp peut être ici exprimé en fonction de la température l du gaz, car l’équation différentielle dl = ~ ( vdp + pdv), qui caractérise les gaz permanents, se réduit, dans le cas où dv = O, à dt = vdp. On a donc simplement :

dQ — c t dt ,

Ce qui n’est autre chose que la traduction, en langage algébrique. de la définition môme de la chaleur spécifique sons volume constant. L’intégration, à partir de t = O, donne pour l’expression de la chaleur à communiquer au gaz pour l’échauffer de 1°, sous volume constant,

La chaleur dépensée est donc, dans ce cas, égale à l’accroissement môme de la chaleur interne du gaz, et l’on aurait pu arriver immédiatement à celte conclusion, puisque réchauffement d’un gaz, sous volume constant, ne donne lieu à aucun développement de travail mécanique extérieur.

2° Si l’on suppose que la pression demeure invariable, le volume seul changeant avec la température, l’équation (V), dans laquelle il faut faire dp = 0, se réduit à :

dQ = -jj- X cpdv.

Mais de l’équation dl = — ( vdp + pdv), on tire, eu y faisant dp = 0,

donc, dans le cas que nous considérons :

dQ — cdt ;

ce qui n’est encore que la traduction, en langage algébrique, de la définition de la chaleur spécifique sous pression constante.

L’intégration, à partir de l = 0, donne :

D’après l’équation (IV), l’accroissement de la chaleur interne du gaz, en passant de o à t°, est, dans tous les cas, égal à e,XC Donc, lorsque l'on chauffe un kilogramme de gaz permanent de o à i° sous pression constante, la quantité de chaleur dépensée excède l’accroissement de la chaleur interne de (c — c,) X < Cette dernière quantité de chaleur qui a disparu est donc l’équivalent calorifique du travail mécanique externe, dû à la dilatation du gaz. Ce dernier travail est, en désignant par v 0 le volume du gaz à o°, par v le volume qu’il a pris à l° et par p la pression constante sous laquelle la dilatation s’est opérée, exprimé par p (v — ® 0 ) ; on doit donc avoir :

( c — c, ) t = Ap ( v — v 0 ) , (a)

A désignant, comme toujours, l’équivalent calorifique du travail. Or, en vertu de l’équation générale caractéristique des gaz permanents, nous avons :

entre p, v et I la relation pv = R (a + 1),

entre p, v 0 et la température o la relation pv 0 = Ra,

donc

pr—pv 0 = p(v — v 0 ) = Rt,

quels que soient ü 0 et t>. Substituant cette valeur dans l’équation (a), elle devient :

( c — c t )i = AIU.

En divisant les deux nombres par t, nous retombons sur l’équation :

c — Cj