W* . ...... AF

terme additif -r- A

Ceci introduira donc dans la valeur de — un

précisément égal numériquement au terme soustractif — F et le fera disparaître. Ainsi, lorsqu’on suppose que l’écoulement a lieu, sans addition ni soustraction de chaleur, de sorte que l’on ait

Q = 0, l’équation (a) se réduit h — = — à laquelle nous

zy A

sommes parvenu, en suivant une voie différente, dans le § XXXIX, dans l’hypothèse que le gaz ne subit, en passant d’une vitesse nulle à la vitesse W, aucune résistance passive. La môme relation subsiste dans tous les cas entre la vitesse W et l’excès — f 2 de la température initiale sur la température finale, quelles que soient la forme de l’orifice ou ajutage, la longueur du tuyau qui le précède et autres causes qui peuvent occasionner des résistances au mouvement. Ces circonstances influeront à la fois sur la vitesse W et la différence /, — t 2 des températures, lesquelles augmenteront ou diminueront ensemble, de telle sorte que la demi-force

vive — restera toujours dans le môme rapport avec rabaissement de la température l l — t v

Si le gaz, dans son trajet, s’élève ou s’abaisse d’une hauteur verticale H assez considérable pour qu’on doive tenir compte de l’action de la gravité, il faudra introduire dans la formule générale le travail moteur ou résistant dû à celte action pour une unité de poids du gaz, et la formule ainsi complétée devient :

W ! Q + c (*, — f t ) Q + * (*.— *a) ± AH

le signe + ou le signe — devant être pris, suivant que le gaz s’est élevé ou abaissé en passant du réservoir à l’orifice d’écoulement.

Concevons, par exemple, un espace très-grand renfermant de l’air à la température f, entretenue constante, et que cet espace

soit surmonté d’une cheminée verticale de hauteur H, débouchant dans une région supérieure de l’atmosphère. Supposons que les pressions, dans le grand espace considéré et au sommet de la cheminée, soient telles qu’il s’élablisse un courant ascendant par celle-ci; que l’espace diminue à mesure qu’il se vide d’air, ou que l’air sortant y soit remplacé à mesure par une quantité d’air égale en poids et en volume, à la môme température par conséquent, et qu’enfin les parois de la cheminée soient imperméables à la chaleur et qu’aucune chaleur ne soit ni reçue ni émise par le courant d’air durant son ascension. La formule ( m ) nous donnera alors la relation entre la vitesse W de l’air à sa sortie de la cheminée et l’excès de la température /, sur la température t 2 avec laquelle il sort, en y faisant Q =■ O et adoptant le signe — devant le terme A H. Cette relation sera donc :

W* c{t l — t 2 ) — AH 2 g ~~ A

Tour que la valeur de W ne soit pas imaginaire, c’est-à-dire pour que le courant s’établisse, il faut que l’abaissement de tem-

pérature l t — t 2 soit supérieur à-^- H : remplaçant A par ^ et c par la chaleur spécifique de l’air 0,2575, on voit que f, — f a

doit être plus grand que ^ — . Ainsi, pour un courant ascendant par une cheminée verticale de 600 mètres de hauteur, par exemple, l’abaissement de température de l’air depuis la base inférieure de la cheminée jusqu’à son sommet serait nécessairement de plus de 5°, 958. Mais cet abaissement de température n’augmente que fort peu, pour des vitesses de l’air déjà assez grandes Ainsi, en admettant que l’air s’écoule avec une vitesse de 10 mètres

par seconde, qui est déjà considérable, — est seulement égal à

7 7 r -n~r~ o — 5,097, et l’abaissement de température, dans le trajet 10 , 01/0

d’une cheminée de 600 mètres de hauteur, sera t t — t 2 —

= 6°, 008, au lieu de 5°, 958, qui correspond au cas d’une vitesse nulle ou plutôt extrêmement petite.

Il est facile de s’assurer que, dans les circonstances ordinaires de la pratique, l’abaissement de température ne peut modifier sensiblement les lois de l’écoulement des gaz dans les tuyaux de conduite; qu’il est permis, par conséquent, d’en faire abstraction et de continuer à appliquer les formules connues qui supposent l’invariabilité de la température dans tout le parcours.

Des vapeurs à l'état surchauffé.

XLIIl. Les notions expérimentales que nous possédons sur les propriétés physiques des vapeurs à l’état surchauffé ne suffisent pas pour établir une théorie spéciale au point de vue mécanique.

Rappelons d’abord ce qui a été exposé au commencement de ce chapitre et du précédent. Aucune substance gazeuse ne suit exactement les lois de Mariotte et de Gay-Lussac, dont l’ensemble est exprimé par l’équation :

Po v o 1 -f- at 0 *

où p 0f t 0 , t 0 désignent la force élastique, le volume et la température d’une masse déterminée de gaz, p, v, t les valeurs simultanées des mêmes éléments pour la môme masse de gaz, et a un nombre regardé comme invariable et indépendant de la nature du gaz, des températures t et / 0 , aussi bien que des volumes corrélatifs v et t? 0 . Si la température ne change pas, on aura dans l’équation (1) * = / 0 et, par conséquent, pv — p 0 v 0 . C’est en cela que consiste la loi de Mariotte. Si le volume primitif e 0 est réduit à moitié par exemple, la force élastique p 0 doit augmenter dans le rapport inverse, c’est-à-dire être doublée. Or, pour toutes les substances gazeuses, l’hydrogène excepté, dans les limites fort étendues des expériences de M. Régnault,

le rapport est inférieur à l’unité , lorsque v est plus petit Po v o

que tv Si le volume v 0 est réduit de moitié, de telle sorte que v = , la pression p 0 n’est pas tout à fait doublée, et l’on a

Jé

j9<2p 0 - Le produit pv, la température demeurant constante, diminue donc en môme temps que v. Celte diminution, peu considérable pour l’air , l’oxyde de carbone et le deuloxyde d’azote que l’on n’est pas encore parvenu à liquéfier, est beaucoup plus marquée pour l’acide carbonique, le protoxyde d’azote, l’acide sulfureux, l’ammoniaque, le cyanogène, qui sont bien évidemment des vapeurs surchauffées, dans les conditions de pression et de température où ils existent habituellement dans nos laboratoires. Sa marche devient de plus en plus rapide, à mesure que la pression se rapproche de celle qui déterminerait la liquéfaction de la substance à la température de l’expérience. La liquéfaction n’a pas lieu, d’ailleurs, subitement, et les parois du vase qui renferme la substance gazeuse se couvrent de gouttelettes liquides, bien avant que la force élastique cesse d’augmenter par la diminution croissante du volume, ainsi que cela aurait lieu si l’on avait atteint le point de saturation.

L’hydrogène se comporte tout autrement que l’air et les autres

gaz. Pour une réduction du volume à moitié = la pression est un peu plus que doublée [p surpasse un peu 2 p 0 ). En laissant de côté ce dernier gaz, nous résumerons ce qui précède, en disant que, pour une substance gazeuse quelconque prise à une température déterminée et qui reste constante, le produit de la force élastique ou de la pression par le volume diminue à mesure que la pression augmente; que cette diminution continue et même devient plus rapide à mesure que la pression se rapproche

de celle qui déterminerait un commencement de liquéfaction. Le

d. (pv)

rapport différentiel — est donc toujours négatif, et le produit pv, pour une vapeur à l’état de saturation, est plus petit que pour la môme vapeur surchauffée à la môme température.

En ce qui concerne le coefficient de dilatation «, si l’on fait ( 0 =o dans l’équation (1), elle se réduit à :

Po*>o

Si la pression ne change pas en même temps que la température, on a p = p 0 , et par conséquent :

— = 1 -h u.t, ou - — — = at.

Si, ou contraire, c’est le volume qui reste constant, la pression seule élant variable, on a v = r 0 , et

M. Régnault 'a déterminé le coefficient * par les deux méthodes et pour tous les gaz, l’hydrogène excepté, elles lui ont donné des valeurs différentes pour u; la différence a été, d’ailleurs, d’autant plus grande que le gaz soumis aux expériences s’écartait plus de la loi de Mariotte.

En laissant de côté l’hydrogène, le coefficient de dilatation « déterminé directement par l’observation des volumes v, v 0 et de la température /, sous pression constante, augmente pour tous les gaz en même temps que la pression et la densité. Les expériences sur l’acide sulfureux et le cyanogène montrent nettement que cet accroissement continue et suit une marche de plus en plus rapide, à mesure qu’on se rapproche des conditions de température et de densité qui déterminent la liquéfaction, c’est-à-dire du point de saturation. La condensation partielle qui a lieu, avant que cette limite soit atteinte, n’a pas permis et rendra peut-être toujours impossible de déterminer les valeurs du coefficient *, dans le voisinage de l’état de saturation.

XLIV. La théorie développée dans les paragraphes XXV et XXVI et le tableau inséré dans ce dernier montrent bien que la loi de Mariotte et l’invariabilité du coefficient de dilatation avec la température sont loin d’être applicables à la vapeur d’eau à l’état de saturation.

Nous avons, en effet, entre la pression p, le volume u et la température t d’une vapeur à l’état de saturation, la relation :

Ap(v-v 0 ) = —Z-j p

dans laquelle r est la chaleur de vaporisation et v le volume spécifique de la substance liquide à la température t.

Pour la vapeur d’eau, M. Zeuner a montré que le second

membre de l’équation peut être remplacé par 30,456 L. — — , et qu’on peut écrire :

Ap («-*,) = 30,456 L.

r 0 peut être considéré, dans tous les cas, comme égal à 0“ 5 ,00l, et l’on lire de l’équation précédente : A pv = Ap X 0,001

I ma t ^73 -4- t

+ oO,456 L. — îqô - *

En différentiant par rapport à la variable indépendante t, on a :

* d (P v ) 4 x/ O 001 dp I 30 ’ 456

A ~dT ~ A X °’ 001 di + 2lHT’

Or de l’équation = 1 , qui exprime les lois combi-

Po v o 1 + ctt 0

nées de Mariolte et de Gay-Lussac, quand a. est considéré comme constant, on tire, en faisant t 0 = o et désignant par p 0 et t? 0 les valeurs de p et de v correspondantes à / 0 = o :

d {pv) dt

JV’o ~~ ** d (pv)

Remplaçant dans cette équation — y - par sa valeur tirée de (a),

on o pour le coefficient de dilatation de la vapeur à l’état de saturation :

A X 0,001 Tj -I-

* “ Ap 0 r 0 ;

p 0 v 0 est le produit de la force élastique par le volume spécifique de la vapeur d'eau saturant l’espace qu’elle occupe à la température de 0°.

La formule de Zeuner donne :

Or, à la température de 0°, la force élastique de la vapeur est mesurée, d’après M. Régnault, par une colonne de mercure de 4 aun ,6 de hauteur, équivalente à G2 k ,56 par mètre carré. Portant cette valeur dans l’équation précédente et y remplaçant dans

le second membre A par — , on trouve, après avoir effectué les

calculs :

\ Po v 0 = 30,5871573;

ce qui réduit la valeur de a. à :

Soit, dans cette équation, t — o: calculons la valeur corres-

pondante de ■— par la méthode indiquée au commencement du § XXVI.

A la température de — 0°,1 la pression de la vapeur d’eau en millimètres de mer-

cure est 4,565

A la température de 0°. . 4,600

A la température de ■+• 0°,1 4,633

Moyenne des différences

Diffcrencei.

Donc la valeur de—- pour l’abscisse l — o , dans la courbe qui a pour ordonnées les pressions exprimées en millimètres de mercure, est = 0,54. Les pressions étant exprimées en kilou,i

grammes par mètre carré superficiel, la valeur cherchée de

sera égale à 0,54 X 13,6 = 4,624. Portant cette valeur de ~

dans l’équation (m), en même temps que nous y faisons t = o, nous trouvons, en effectuant les calculs, pour Ja valeur de a correspondante à t = o :

0,115709 AAAoe ,„

Pour / = 400°, % =27,1425 X 13,6 = 569,138,

cl *— 30,5871573

Pour /= 200°, on tire des tables de M. Régnault, les pressions

étant exprimées en millimètres de mercure, - = 243,91 ; les pressions étant exprimées en kilogrammes par mètre carré superficiel, ^ = 243,91 X 13,6 = 3310,988. Cette valeur substituée, dans la formule (m), avec t = 200°, on a :

La formule (1) du § XL1II ne peut donc représenter les relations existantes entre la température, le volume et la force élastique de la vapeur d’eau à saturation qu’autant que le coefficient a, au lieu d’être constant, varierait considérablement avec la température.

Les valeurs inscrites dans le tableau du § XXVI conduisent à une conclusion semblable, pour la vapeur surchauffée voisine du point de saturation.

Considérons, par exemple, la vapeur à 100°. Son volume spécifique est l m3 ,646, et sa force élastique est mesurée par 760 millimètres de mercure. À 102°, 68, la vapeur étant encore à saturation, le volume est réduit h l w3 ,5046 et la pression est mesurée par 836 raillira. de mercure. Concevons que la pression extérieure soit ramenée à 760 millim. et que, pendant la dilatation qui en résultera, la température soit entretenue exactement à 102°,68; on obtiendra un certain volume v' de vapeur surchauffée, sous la pression de 760 millim. et à la température de 102°, 68. Si la vapeur eût suivi, dans la dilatation, la loi de Mariotle, le volume V

serait à l m3 ,5046, dans le rapport inverse des pressions, cest-àdire comme 83G est à 760, et par conséquent on aurait :

Comparant ce dernier volume l™ 3 , 65506 au volume primitif t œ3 ,64G, ils sont sous la môme pression de 760 millim. de mercure; mais v' est à la température de 102°, 68, tandis que le volume primitif était à 100°.

Or la formule nous donne pour p = p„ :

Po v o 1 "*■ *‘o

Substituant les valeurs numériques :

le calcul donne a = { m x 102, 68^-1,65506 X 100 ’

pour le coefficient de dilatation de la vapeur à 100° et à saturation d’une force élastique mesurée par 760 millim. de mercure, et qui se dilate, sous cette pression maintenue constante, en s échauffant de 100 à 102° ,68.

En faisant un calcul semblable pour la vapeur à saturation à 0° et sous la pression de 4 œm ,G de mercure, qui se dilaterait, sous la pression maintenue constante, en s’échauffant, de 0° à 0°,1 , nous trouvons :

Pour le volume spécifique de la vapeur à saturation à 0°, sous la pression de 4 œ “,600 de

mercure

Pour le volume spécifique de la vapeur à saturation à 0°,1 , sous la pression de 4 mm ,633 de mercure

Pour le volume de la vapeur surchauffée à 0°,1 de température et sous la pression

de 4 mm ,600 de mercure. . . v v' X = 207® 3 , 37986

et, par conséquent, pour le coefficient de dilatation entre ces limites :

* = 0,1 X tf 0 — 0 X v = 20,730426 = °* 0036 ^.

C’est, ainsi qu’on pouvait le prévoir, exactement la valeur de et que nous avons trouvée par la première méthode.

Pour t = 200°, la force élastique de la vapeur à saturation est mesurée par 11688 mm ,96 de mercure; pour * = 201°, la force élastique est de 11934““, 37,.

De la table des forces élastiques de M. Régnault on tire, d’ailleurs, pour les valeurs de ^correspondantes respectivement à 200® et 201°, la pression p étant exprimée en millimètres de mercure :

Pour < = 200° ^ = 243,435.

Pour < = 201° $ = 247,365..

Les volumes spécifiques de la vapeur à saturation à 200° et 201° étant ensuite calculés par la formule :

A p (o - 0,001) = ZI—/-,

où r est la chaleur de vaporisation de l’eau dont l’expression est, suivant la formule empirique de M. Régnault, GOG, 5 -f 0,505 t

Pour t = 200° v 0 = 0 m3 ,1267 ;

* Pour t — 201* v' === O® 3 , 12426.

Le volume v de la vapeur surchauffée à 200° et sous la pression: de 11688“", 96 de mercure, calculé dans l’hypothèse que le volume croît en raison inverse des pressions, suivant la loi de Mariotte, serait donc :

440QL 07

et le coefficient de dilatation a , calculé par la formule :

est

(Nous n’avons pas appliqué ici au calcul des volumes spécifiques de la vapeur à saturation à 200° et 201° la formule empirique de

Zeuner : A p ( v — 0,001 ) rr 30,456 L. ~ , parce que, à ces

1 ÜU

températures élevées, elle donne des valeurs assez différentes des formules de M. Régnault, qui doivent être préférées comme étant l'expression immédiate des résultats de l’expérience.)

Les deux méthodes conduisent, on le voit, à des valeurs de <* variables, rapidement décroissantes à mesure que la température et la pression augmentent, et toujours inférieures, même pour / =o, à celles du coefficient de dilatation de l’air et des autres substances gazeuses qui ont été le sujet des expériences de M. Régnault. Tandis que M. Régnault a vu le coefficient de dilatation augmenter avec la densité et la pression, suivant une progression d'autant plus rapide que l’on se rapprochait du point de saturation, les calculs précédents donnent des valeurs décroissantes avec la densité et très-inférieures à celles qui ont été trouvées pour les gaz que l’on est parvenu à liquéfier, à des distances considérables du point de saturation. Ce résultat lient à ce que la valeur du coefficient de dilatation est calculée dans l’hypothèse que le volume de la vapeur à saturation, lorsqu’elle vient à se dilater en se surchauffant, la température étant maintenue constante, varie en raison inverse des pressions, suivant la loi de Mariotte. Or nous savons, par les expériences de M. Régnault, que cela n’est point exact; que, à des températures et sous des pressions encore extrêmement éloignées du point de saturation, les volumes croissent plus rapidement qu’en raison inverse des pressions et que la différence des deux rapports augmente avec la densité. Le coefficient de dilatation, calculé comme nous l’avons fait, doit donc différer très-notablement du coefficient réel, tel qu’il serait donné par l’expérience directe, si elle était réalisable.

Pour nous placer dans des conditions analogues à celles des expériences de M. Régnault sur la compressibilité des gaz, nous calculerons le coefficient de dilatation en comparant la vapeur d’eau à saturation , à la température de 200°, sous la pression de 11688"“, 96 de mercure, à la môme vapeur à saturation, sous une pression à peu près moitié moindre de 5818”", 90 de mercure, à la température de 169°.

Le volume du kilogramme de vapeur à saturation à 200° et sous la pression de 11688”“, 96 est, comme nous l’avons vu précédemment, de 0“ a ,1267.

A la température de 169° et sous la pression correspondante de 5818““, 90 de mercure, le volume calculé par la formule :

Ap (,-0,001)=

est de 0* s ,2439.

Si nous concevons que 0” s ,1267 se dilate, la température de 200° étant maintènue constante, de manière que la pression soit réduite de 11688,96 à 5818,90 et que le volume croisse en raison inverse des pressions, nous trouvons pour le volume spécifique de la vapeur surchauffée à 200°, sous la pression de 5818 M ,90 de mercure :

Comparant ce dernier volume à celui de la vapeur à saturation

et à 169°, qui est de 0,2459, la formule * = ■ * v ° — nous

<oXü-t>X « 0

donne pour le coefficient de dilatation :

M. Régnault a trouvé que, si un volume V de gaz acide sulfureux à la température de 1°,7 et sous la pression P = 593“”, 18 de mercure est réduit, sans que la température change, à un volume V' à

^ , sa pression ou force

peu près moitié moindre =

élastique P' devient égale à 4217 mm ,63, de sorte qu’au lieu PV P V

d’avoir *pTy 7 = 1 on a =1,0235.

L’acide sulfureux, dans cette expérience, n’a point encore éprouvé de commencement de liquéfaction. Si nous appliquons ce même rapport au calcul de la dilatation de la vapeur à saturation et à 200° jusqu’à ce que sa force élastique soit réduite à 5818 m "\90, un peu moins de moitié, nous trouverons pour le volume, après la dilatation opérée sans changement de température :

et, en comparant v' au volume 0,2439 de la vapeur à saturation à 109° et sous la môme pression de 5818°"", 90, nous obtiendrons pour le coefficient de dilatation :

Cette valeur de beaucoup plus grande que celle que nous avons trouvée en partant de l’hypothèse certainement fausse que les volumes varient en raison inverse des pressions, est cependant encore inférieure à la voleur réelle. On ne saurait en douter,, quand on voit que M. Régnault a trouvé pour le coefficient de dilatation de l’acide sulfureux entre 0 et 100°, sous la pression constante de 980 millim. de mercure, très-loin par conséquent du point de saturation, le nombre 0,00398 (§ XII). Il est donc bien probable que le coefficient de dilatation de la vapeur d'eau saturée entre 1G9 et 200°, sous la pression constante de 5818 mro ,90 de mercure, atteint et môme dépasse 0,004. Or, pour que l’équation (a) nous donne a = 0,004, il suffit d’y remplacer le nombre 0,254514 par le nombre 0,261945, ce qui revient à supposer que, quand la vapeur à saturation et à 200° se dilate en se surchauffant, la température étant maintenue constante, jusqu’à ce que sa force élastique soit réduite à 5818 m,u ,90 de mercure, le rapport du produit PV du volume agrandi par la pression diminuée, au produit P'V' du volume initial par la pression initiale, au lieu d’ôtre égal à 1, est égal à 4,0292, bien peu différent, par con-

séquent, de celui que M. Régnault a trouvé en opérant sur l’acide sulfureux, à une distance encore assez grande du point de saturation.

On voit, par la discussion précédente, que les faibles valeurs du coefficient de dilatation, déduites par le calcul des données fournies par l’application de la théorie mécanique de la chaleur à la vapeur aqueuse à saturation et de la loi de Mariotte, ne sont qu'en apparence en contradiction avec les résultats des expériences de M. Régnault et sont, au fond, parfaitement en harmonie avec ces derniers. Nous conclurons, en définitive, que le coefficient de dilatation de la vapeur d’eau varie avec la densité et la température; que, pour les densités extrêmement faibles et des températures très- basses, il diffère très-peu de celui qui convient à l’air et aux autres gaz permanents pris aux températures et aux densités habituelles dans nos laboratoires; que, pour une température déterminée, sa valeur augmente à mesure que l’on s’approche du point de saturation où il atteint sa valeur maxima, en même temps que la densité et la force élastique. La formule qui donnerait le coefficient de dilatation en fonction de la température^ de la force élastique et du volume spécifique de la vapeur d’eau est encore à trouver et semble devoir être fort compliquée.

XLV. M. Hirn a fait une série d’expériences ayant pour but de déterminer la densité ou le volume spécifique de la vapeur d’eau surchauffée. Il faisait usage d’un ballon de cuivre de 55 lu ,429 de capacité a 0°, qu’il a pesé d’abord plein d’air à la température et à la pression externes et ensuite rempli de vapeur surchauffée, dont il avait observé la température et la force élastique. Il a tenu compte, bien entendu, de la dilatabilité du ballon par l’effet de la température et de l’excès de la pression interne de la vapeur sur la pression extérieure.

Nous joignons, dans le tableau suivant, aux résultats de M. Hirn (Exposition analytique et expérimentale de la théorie mécanique de la chaleur), les nombres qui se rapportent à la vapeur d’eau a saturation sous les pressions diverses auxquelles le savant physicien du Logelbach a fait ses expériences. Le volume spécifique de la vapeur à saturation est calculé par la formule :

A(a+0 JT

dans laquelle r est la chaleur de vaporisation de l’eau à la tempe-

rature t sous la pression p, et ~ le coefficient différentiel de la

pression exprimée en kilogrammes par mètre carré en fonction de la température. Nous avons, d’ailleurs, calculé r par la formule de M. Régnault : r = 606,5 -f 0,305 t — (t + 0,00002 /*

0,0000003 1 3 ). Nous avons déduit la valeur de ^ , p étant exprimé en millimètres de mercure, des tables de M. Régnault par la méthode indiquée § XXVI , et nous avons multiplié la valeur

ainsi obtenue par 13,6, qui exprime, à moins de ïqqqô P r ^» * e

poids d’un prisme de mercure d’un mètre carré de base et d’un millimètre de hauteur.

TABLEAU des résultat» des expériences de 31. Hirn sur les densités spécifiques

de la vapeur d'eau surchauffée .

' Ko».