DES CORPS SOLIDES ET LIQUIDES
XLVIII. Les principes fondamentaux et les équations générales du chapitre I s’appliquent aux corps solides et liquides comme aux corps gazeux. Les premiers se prêtent beaucoup moins bien que les seconds à entrer dans les combinaisons à l’aide desquelles la chaleur est transportée, avec transformation partielleen travail dynamique. La cause en est surtout dans la petitesse relative des variations de volume qui résultent pour les solides et les liquides des changements de température, et aussi, pour les solides en particulier, dans leur rigidité. Ce chapitre n’offrira donc pas, au point de vue pratique, la même utilité que les précédents. Mais le lecteur ne verra pas sans intérêt, dans les applications d’ailleurs peu nombreuses qui y seront présentées, comment les propriétés physiques des corps qui jouent un rôle important dans les machines et les constructions se rattachent à la théorie mécanique de la chaleur, et comment des observations délicates, suggérées par cette théorie, qui en indiquait à l’avance les résultats, sont venues lui prêter une éclatante confirmation.
Reprenons les équations générales établies dans le chapitre I,
qui sont applicables à tous les corps, en remplaçant dans cette dernière la fonction ? (t) par sa valeur a 1 — 275° -f - 1 (§ XVI, chap. II), ce qui donne :
rapport infinitésimal de l’accroissement de la température à l'accroissement de volume de l’unité de poids du corps que l’on considère, quand la pression reste invariable. Sa valeur dépend donc uniquement du coefficient de dilatation sous pression constante, qui peut être et qui a été déterminé expérimentalement pour un certain nombre de corps liquides et solides, comme pour les corps gazeux. Appelant et ce coefficient et v 0 le volume de l’unité de poids du corps à la température de 0° et sous la môme pression, on a :
a. varie généralement avec t et peut aussi varier avec la pression constante sous laquelle on a fait l’expérience ; v 0 est aussi variable avec cette pression : l’équation (a) diflerentiée, en y regardant p comme constant, nous donnera, dans tous les cas, la dérivée par-
§§ III, V et X :
V = t? 0 (1 + CLt).
équations (I), (2) et (3), et nous
avons, en conséquence :
Il paraît impossible de déterminer, par des expériences directes, l’autre dérivée partielle (j-) , qui exprime le rapport de l’accroissement de température à l'accroissement de pression, quand le volume reste constant ; mois elle se déduit facilement des expériences sur la compressibilité des corps, c’est-à-dire sur la diminution de volume correspondante à une augmentation de la pression, instituées de manière que la température soit maintenue constante ou ramenée à la fin de l’expérience à son état initial. Des expériences de ce genre ont été faites sur plusieurs liquides, l’eau, l’éther, l’alcool, le mercure et des dissolntions salées par divers physiciens, et en particulier par M. Régnault et par M. Grassi, qui a procédé suivant les méthodes et avec les appareils institués par M. Régnault.
v désignant le volume de l’unité de poids du corps soumis à l’expérience sous une pression quelconque p, celle-ci est augmentée de Ap; la température est entretenue constante et on observe la variation Au du volume primitif. On appelle coefficient de
compressibilité le rapport de la variation proportionnelle — du
volume à l’accroissement de pression a p, pris avec le signe — , si l’on considère Av comme désignant un accroissement du volume primitif v. On a donc, en désignant par |8 la valeur de ce coefficient déduite de l’expérience :
av „
On a trouvé que, pour une température donnée, le rapport
— restait sensiblement constant, pour des valeurs très-différentes
de A p, ce qui autorise à remplacer le rapport des différences finies par celui des différences infiniment petites et à écrire :
dv v dp
et en remplaçant v par sa valeur (a) :
dv , - ,
dp Æ £<» ( ! “f ~ ec t).
Cette valeur du rapport ^ convient au cas où la température t
demeure invariable. Pour exprimer cette condition, il faut faire, dans l’équation (1), dt =o, et celle-ci donne alors :
Remplaçant dans cette dernière
dv
— par 1 expression
(6) et
par sa valeur en fonction de & donnée par l’équation ( a '),
il vient :
- /St» (t 4- = - (^) *»(*+< ^) ;
d’où on tire :
~ , de t *
* + t di
La substitution des valeurs [a') et [b') de dans
les équations (1), (2) et (5), permet :
De déterminer la différence c — c t des chaleurs spécifiques ù pression constante et à volume constant et, par conséquent, la chaleur spécifique c { , quand c est connu par l’expérience;
2° De déterminer le rapport de l’accroissement de pression à un accroissement donné de température, lorsque le volume demeure invariable ;
5° De calculer les variations de température et de volume correspondantes à un accroissement de pression, dans le cas où il n’y aurait ni addition de chaleur venant de l’extérieur ni déperdition de chaleur.
La différence c — c, des deux chaleurs spécifiques est donnée directement par la substitution de (^) et dans l’équation (3); d’où l’on tire :
m fi (1 + at)
dans laquelle il faut remarquer que l’équivalent calorifique du
travail mécanique — se rapportant au kilogramme et au mètre
pris pour unité de poids et de longueur, la valeur numérique de la compressibilité fi doit se rapporter à la pression en kilogrammes sur un mètre carré de surface. Si elle se rapportait à la pression exprimée en atmosphères, ainsi que cela a lieu habituellement, le second membre de (A) devrait être multiplié par le nombre 10333 ; car l’équivalent calorifique du travail devrait alors, pour que l’expression restât homogène, se rapporter à l’unité de travail de 10333 kilogrammes élevés à un mètre de hauteur et serait,
par conséquent, de
unités de chaleur.
Si, dans l’équation (1 ), on suppose le volume invariable, elle
se réduit zdl— ^ dp, d’où :
dt / dl\
dp “ \di >) 5
et en remplaçant ici par sa valeur (6') :
ou, inversement :
dt /S (1 -f* dt) '
det,
dt
, f dat
dp * dt
dt fi ( 1 -+■ at )
Le rapport précédent^-,
se rapportant au cas où le volume
demeure invariable, fera connaître l’accroissement de pression que déterminerait l’accroissement de température du corps dont le volume serait maintenu invariable pendant réchauffement. Si la compressibilité /S est rapportée à la pression atmosphérique prise pour unité, l’accroissement dp sera aussi exprimé en atmosphères.
Si la pression, le volume et la température d’uu corps changent à la fois, sans addition ni soustraction de chaleur, on aura, dans l’équation (2), dQ = 0, et on en déduira :
dp c \dv / , .
dv c i / dt\ v '
\dp)
Or de l’équation (i), qui existe dans tous les cas, on tire, en divisant ses deux membres par dv :
il (it\ dp /il\.
dv \ dp) dv \ dv / ’
tin
et si l’on porte dans cette dernière la valeur (m) du rapport ~ ,
particulière au cas où dQ = O, il vient pour le rapport existant dans ce même cas, entre la variation de température et la variation de volume correspondantes :
divisant cette dernière équation, membre à membre, par l'équation (m), il vient :
Les trois équations (m), (n), (p), en y remplaçant les dérivées
partielles et par leurs valeurs [b') et ( a ' ), donnent
les rapports entre les variations simultanées de la température, de la pression et du volume d’un corps, dans le cas où le changement
d’état a lieu sans addition ni soustraction de chaleur. La substitution opérée donne les formules suivantes :
(h C, fi V 0 ( 1 -+* et t ) *
dt g— Ci v * .
dv C, A / det\ ’
*• C* + ‘ dl)
dt C — C, v, fi (1 -t- A Q
dp ~ c A , .d*
La chaleur spécifique à pression constante c doit être déterminée expérimentalement et la chaleur spécifique c, à volume constant est ensuite calculée au moyen de la formule (A).
En combinant la troisième équation (C) avec l’équation (A), on obtient :
dp 42i- c
Cette dernière formule donne le rapport de l’élévation de température due à un accroissement de pression correspondant au cas où il n’y a ni addition ni soustraction de chaleur (r/Q = 0), sans qu’on soit obligé de passer par le calcul de la chaleur spécifique à volume constant c t . Lorsqu’on suppose le coefficient a indépendant de la température, ainsi que cela a lieu sensiblement pour les corps solides, la formule (D) se réduit à :
dt (273 4 - t) a Vo /nM
dp ~ Â24~c * 1 J
Il est essentiel de faire attention que, dans les équations (D) et {D') d’où fi est éliminé et où entre seul l’équivalent calorifique
du travail la pression p est exprimée en kilogrammes sur le
mètre carré superficiel, tandis que dans la première et la troisième des équations (C) elle est exprimée en atmosphères, si le
coefficient 0 se rapporte lui-mème à l’atmosphère prise pour unité de pression.
XLIX. Appliquons ces diverses formules à quelques-uns des corps pour lesquels les expériences des physiciens nous fournissent les données nécessaires.
Mercure. — Pour le mercure entre 0° et 350% sous la pression atmosphérique, le coefficient de dilatation a. croît légèrement avec la température, d’après les expériences de M. llegnault, et peut être exprimé par la formule à deux termes :
l désignant la température en degrés centigrades du thermomètre à air.
Le coefficient de compressibilité £ est, d’après les expériences de M. Régnault calculées par M. Grassi, égal à 0,00000295, la pression étant exprimée en atmosphères.
La chaleur spécifique à pression constante c = 0,03332.
Enfin la densité du mercure comparée à celle de l’eau est, d’après M. Régnault, 45,59599. On a donc pour le volume du kilogramme de mercure exprimé en mètres cubes :
*• = 135^99 =° rf - 000(y7355 ‘-
Ces données introduites dans l’équation (A) nous donnent pour la différence des deux chaleurs spécifiques du mercure c — c, , à la température de 0° :
d’où,
dp
La formule (B) donne pour le rapport ~ de l’accroissement de
(*) On a introduit le facteur 10333 au numérateur du second membre de la formule (A), conformément à l’observation faite dans le § précédent.
pression correspondant à une élévation de température infiniment petite, dans le cas où le mercure serait renfermé dans une enveloppe inextensible et maintenu ainsi sous un volume constant :
dp 0,000179 01 + 2 X 0,00000005044/
dt 0,00000295 ( 1 4- 0,00017901 / -h 0,00000005044 / 3 ) 9
où la pression dp est exprimée en atmosphères.
En supposant la compressibilité fi — 0,00000295 indépendante de la température et de la pression, on peut intégrer cetteéquation entre les limites 0° et 1° de température et obtenir ainsi l’accroissement fini de pression que cette élévation de température produirait dans l’hypothèse précisée plus haut de l’invariabilité du volume. Au lieu d’exécuter l’intégration, on peut prendre, pour la valeur du second membre de l’équation, la valeur moyenne entre celles qui correspondent aux limites / =0° et t = 4. Ces valeurs sont respectivement : 60,6868 et 60,70-46, dont la moyenne est 60,6957.
Ainsi à la valeur dt = \ , ou plus exactement à un échauffement de 0° à 1° du mercure, si le volume de celui-ci était maintenu invariable pendant réchauffement, correspondrait un accroissement de pression de 60*‘-,70 environ sur les parois de l’enveloppe inextensible qui contiendrait le métal liquide.
Si le mercure à 0° est comprimé, sans addition ni soustraction de chaleur, le rapport de l’élévation de température à l’accroissement de pression exprimé en atmosphères nous est fourni par la troisième des équations C qui, moyennant les substitutions numériques, devient :
dp ~
Au lieu d’effectuer l’intégration, il est permis de considérer le second membre de l’équation précédente comme constant et égal à la moyenne arithmétique des valeurs correspondantes h la température de départ 0° et à la température supérieure 1°, par exemple, qu’on suppose déterminée par la compression.
En adoptant cette valeur moyenne, et remplaçant dt par 4°, l’équation nous donné :
dp “0,03332 X 60,6957 “ 381,37’
h dl — 1° correspond, en conséquence, la valeur dp = 581,57, c'est-à-dire que pour élever d’un degré la température d’une masse de mercure à 0°, cette masse ne recevant ni ne perdant aucune chaleur, il faudrait augmenter la pression de 58! atmosphères.
La formule D', en y remplaçant dans le second membre t par 0, d par 0,00017901, v 0 et c par leurs valeurs respectives 0,000075751 et 0,03352, et introduisant dans le dénominateur du second membre le facteur 10555, pour que la pression soit exprimée en atmosphères, conformément ù l’observation qui termine le § XLVIII, donne, pour dt = 1, dp = 579 atmosphères; l’hypothèse de l’invariabilité du coefficient de dilatation et altère très-peu le résultat.
La première et la seconde des formules (C) donnent pour le mercure à 0°, en substituant les valeurs dont nous avons déjà fait usage ;
1 = ~ U, 00000218 ,,, : P° ur * = 0,000002i8 »;
s = - poôgîëi: : P° ur dl = *• * = - 0 ' 00094G
dont la première signifie que le mercure à 0° diminue de la fraction 0,00000248 de son volume par un accroissement de pression d’une atmosphère, quand cet accroissement a lieu sans addition ni soustraction de chaleur; et la seconde que le mercure échauffé de 0° à 4° par la compression seule, sans addition ni déperdition de chaleur, diminue de la fraction 0,000940 de son volume. Nous savons, d’ailleurs, que l’accroissement de pression nécessaire pour produire à la fois réchauffement et la diminution de volume précédents est de 381 atmosphères.
Je ferai remarquer, avant d’aller plus loin, que lorsqu’un kilogramme de mercure est échauffé de 0° h 4°, en se dilatant librement sous la pression d’une atmosphère (10333* par mètre carré),
le travail extérieur dû à cette dilatation est tout à fait insignifiant. Il est, en effet, exprimé par 10535 a v 0 , où il faut faire a = 0,0001 7901 et t>* = 0,000075551 . Moyennant ces substitutions, on trouve pour le travail dû à la dilatation du mercure de 0° h 1° : 10333 a v 0 = 0,000136 kilog. X m, dont l’équivalent
calorifique est seulement — = 0 e * 1 -,0000003209, moins
de inlnn' de 1® chaleur spécifique du mercure à pression con-
stante. L’excès de la chaleur spécifique du mercure à pression constante sur la chaleur spécifique à volume constant est donc à peu près entièrement converti en un travail moléculaire intérieur qui consiste à écarter les molécules du métal liquide les unes des autres, en surmontant leur attraction mutuelle. Ce travail équivalent à 0 e * 1 -, 0053 est de 424- X 0,0053 = 2* Xm ,25.
Nous ne savons pas, d’ailleurs, si, lorsque le mercure ou tout autre corps est chauffé, à volume constant, la chaleur qu’il reçoit est employée tout entière à élever sa température et nous donne ainsi la mesure de ce que M. Rankine et autres auteurs qui se sont occupés, après lui, de la théorie mécanique de la chaleur appellent la chaleur spécifique vraie. Il se peut, en effet, qu’une partie de la chaleur communiquée soit convertie en travail moléculaire, môme lorsque le volume du corps chauffé demeure invariable. Les molécules peuvent changer de position les unes par rapport aux autres, sans que leur distance augmente, en tournant, par exemple, autour de leur centre, glissant les unes sur les autres, d’où résulte un travail mécanique qu’on peut comparer à celui de deux aimants qui glisseraient l’un sur l’autre, sans s’écarter l’un de l’autre. La différence c — c, des deux chaleurs spécifiques ne mesure donc, même lorsque le travail externe dû à la dilatation est assez petit pour être négligé, que l’excès de travail moléculaire correspondant au cas où le corps est libre de se dilater à mesure que sa température augmente, sur celui qui correspond au cas où le volume du corps est maintenu invariable, pendant réchauffement, par un accroissement convenable de la pression qui s’exerce sur la surface du corps.
L. L’eau pure et privée d’air se dilate très-inégalement avec
la température sous pression constante et présente cette anomalie que son volume diminue, au lieu d’augmenter, de 0° à 4° où sa densité est un maximum. Son coefficient de dilatation a varie donc avec la température et prend |une valeur négative pour les valeurs de l inférieures à 4°. D’après les expériences de M. Kopp, les physiciens admettent que ce coefficient est exprimé avec une grande exactitude par la formule à trois termes :
et = a 4- bt 4- et*,
dans laquelle les coefficients a, b t c reçoivent des valeurs un peu différentes, suivant que la température est comprise entre 0° et 25° ou entre 25° et 50°.
Entre 0° et 25° on a :
a =—0,000061045; 6 = 4- 0,0000077183; c = — 0,00000003734; Entre 25° et 50 :
La môme formule à trois termes exprime aussi correctement le coefficient de dilatation de l’éther et de l’alcool, en y faisant :
Pour l’éther,
a = +0,00148026; 6 = 4-0,00000350316; c= 4 - 0,000000027007; Pour l’alcool,
Les chaleurs spécifiques de l’eau, de l’éther et de l’alcool à pression constante se déduisent des expériences de M. Régnault, dont les résultats ont été exposés dans le § XXIV, chap. 111. On a pour l’eau :
c = 1 4- 0,00004 t + 0,0000009 t 2 ; Pour l’éther,
Pour l’alcool,
c = 0,54754 4 - 0,0022436 1 4- 0,OOOOOGG18 t\
Les densités de l’eau, de l’éther et de l’alcool à 0° sont respectivement 0,99088, 0,7577 et 0,810 (*); d’où l’on conclut les valeurs suivantes de u 0 en mètres cubes :
Am AAI
Pour l’eau, t> 0 = -ggg- = 0-3,00100012;
Pour l’éther, t? 0 = = 0,0013556;
Pour l’alcool, t> 0 = TT = 0,0012346.
Ujolu
La compressibilité de ces trois liquides a été déterminée à des températures et sous des pressions diverses par M. Grassi, suivant la méthode et avec les appareils de M. Régnault, au moyen desquels l’expérience donne à la fois la compressibilité du liquide et celle de l’enveloppe qui le contient. J’extrais des mémoires de M. Grassi ( Annales de physique et de chimie f t. XXXI, p. 477) le tableau suivant des résultats qu’il a obtenus :
(*) Je prends les densités de l’éther et de l’alcool déterminées par M. Grassi.
