UU

ce qui exigerait que t t — 400 fût égal à :

c’est-à-dire que la température t t de la vapeur surchauffée après l’expansion subite fût égale à 4 36% 05 au lieu de 440° donnés par l’observation.

Enfin si, adoptant pourf 0 la valeur observée 140° et prenant toujours a= et' =0,004 j on se borne à exprimer que dans la formule (M) c doit être égal à *c, ce qui revient à considérer la chaleur spécifique c comme invariable, indépendante de la température et de la pression, la formule (M) nous donnerait :

Les autres expériences de M. Hirn étant soumises à une discussion analogue, on reconnaît : i* que l’hypothèse de l’invariabilité de la chaleur spéciGque exprimée par l’égalité entre c et ‘c conduit à des valeurs de c de plus en plus petites, à mesure que l’écart t 0 — t entre les températures de la vapeur surchauffée à l’état initial et de la vapeur à saturation sous la même pression est plus considérable, sans que toutefois cette valeur de c descende jamais au-dessous de 0,58 ou de 0,57, suivant que l’on adopte

2^0 0U 2^3 P our ^ es vo * eurs a et coe fÛ c ‘ ent fie dilatation ;

2° que la température t { , qui donnerait pour c la valeur 0,4085, 'c étant lui-même pris égal d’abord à 0,4805, s’écarte d’autant plus de la température f n telle qu’elle est fournie par l’expérience, que / 0 — ■ t est plus grand; 5° que les hypothèses diverses sur les valeurs de *, de a' et même de ‘c influent bien moins sur la valeur calculée de la chaleur spécifique c l à volume constant que sur celle de la chaleur spécifique à pression constante c. Par exemple, dans l’expérience 7, dont les données sont :

p 0 = 3'*, 5 ou 36165 k ; 1 0 = 240« ; Pl = 1« = 10333 k , et = 235°,

la formule (M) donne :

Pour a. = a = 0,004 ou ^ et 'c = 0,4805 c = 0,45647,

ainsi que nous l’avons déjà trouvé ;

Pour a — 0,004, a — 5^5 et l c = 0,4805. . .

Pour que, dans l’hypothèse de * = *' = 0,004 et de *c= 0,4805, la formule donnât aussi c = 0,4805, il faudrait que f, — 100 fut égal à :

ce qui exigerait que t, fût seulement égal à 226°, 12, tandis que l’ observation a donné 255°.

Enfin, dans l’hypothèse de l’invariabilité de la chaleur spécifique, de l’égalité, par conséquent, entre c et *c, a et <*' étant pris l’un et l’autre égaux à 0,004-, on trouve en partant de la température observée f, = 235°,

Dans la même hypothèse de l’égalité entre *c et c, A et «' étant pris l'un et l’autre égaux à on trouve :

La valeur attribuée aux coefficients a et a', entre les limites présumables et influe finalement assez peu sur la valeur

calculée de la chaleur spécifique c.

On voit, par la discussion précédente, que les expériences de M. Hirn donnent, pour la chaleur spécifique c de la vapeur d’eau sous la pression constante d’une atmosphère, depuis la température de 100° jusqu’à plus de 200°, une valeur notablement inférieure à celle (0,480o) que M. Régnault a trouvée par l’expérience directe, sous la même pression, entre les températures de 120 et 220°.

Ce résultat est-il certain? Nous ne le pensons pas. Peut-être existe-t-il dans le mode d’expérimentation une cause d’erreur constante qui a augmenté les températures finales t t de la vapeur après l’expansion? La vapeur, animée d’une grande vitesse au moment où elle traverse le petit orifice d’écoulement qui termine la partie horizontale du tuyau d’amenée, subit alors une diminution considérable de température, qui se relève à mesure que la force vive de la vapeur s’éteint dans les premier et deuxième

compartiments de la caisse en bois où elle se répand. Lors de l’abaissement de température au passage de l’orifice d’écoulement, la vapeur reçoit de la chaleur du tuyau plus chaud passant à travers les parois de la caisse en bois, et c’est là une cause d’augmentation de sa chaleur interne et par conséquent de la température finale qu’on observe lorsqu’elle est arrivée à un état voisin de l’équilibre, sous la pression atmosphérique. Or nous avons vu qu’une erreur en plus sur la température t i donne lieu à une erreur en moins sur les valeurs calculées des deux chaleurs spécifiques c, et c à volume constant et à pression constante.

En définitive, les valeurs assez peu différentes les unes des autres que fournit le calcul pour la chaleur spécifique c , sous la pression constante de l’atmosphère, en partant des données de l’observation dans les expériences où la température /, a varié depuis 436° jusqu’à 235°, rendent très-probable que cette chaleur, en partant de la vapeur à saturation et à 100°, varie, en effet, assez peu entre 100° et 235°; il en est de même de la chaleur spécifique à volume constant c t . D’ailleurs, la valeur déduite des expériences de M. Hirn diffère assez peu de celle que M. Régnault a donnée, pour que nous trouvions dans ces expériences une confirmation plutôt qu’une infirmation du résultat obtenu par ce dernier physicien. Nous allons, au reste, montrer que la chaleur spécifique c peut varier entre des limites assez étendues, sans qu’il en résulte une influence sensible sur les résultats pratiques qu’on peut attendre de l’emploi de la vapeur surchauffée dans nos machines à vapeur actuelles.

XLVII. Concevons qu’un cylindre de machine à vapeur soit alimenté avec de la vapeur surchauffée à la pression de 5 atmosphères et à la température de 240°.

La vapeur à saturation et à 5 atm. possède une température de 452°, 22, et son volume spécifique est de 0 m3 ,3625, sa chaleur interne de 608 e * 1 9046. En admettant que le coefficient moyen de dilatation de la vapeur sous la pression constante de 5 atm.

entre 152° ,*22 et 240° soit égal à 0,004 ou le volume du

kilogramme de vapeur surchauffée à 240” sera :

et la chaleur interne de ce kilogramme de vapeur sera, suivant que l’on adoptera pour c la valeur 0,4805 ou la valeur 0,44 :

ou bien,

Le travail développé sur le piston pendant l’introduction de la vapeur serait, dans l’un et l’autre cas, égal à :

51665 (0 m3 ,441 — 0 m3 ,00t) = 51665 X 0 m3 ,44 = 22732*xm,6.

Si la vapeur se dilate, sans addition ni soustraction de chaleur, en exerçant sur le piston qu’elle pousse une pression égale à la force élastique quelle posséderait à chaque instant dans l’état de repos, eu égard à sa température et à sa pression décroissantes à mesure que le yolume augmente, l’équation générale

dQ = cdt —

sera applicable, et nous exprimerons que la détente a lieu, sans addition ni soustraction de chaleur, en y posant d Q = o, ce qui donne :

(m) cd* = (c— •

Or la formule générale du § X, chap. I

donne :

et en remplaçant ? (/) par sa valeur a -f U

A(« + «) A (273 + 0 [C 1 \dpS ~ sdr^ ~ /dfx •

\dvJ \dvJ

Cette valeur étant substituée dans (m), il vient :

cdt —

dp.

Pour tirer de cette équation la valeur de p correspondante à une température donnée f, il faudrait connaître et la chaleur spécifique c en fonction de p et de t. Si nous supposons que c a une valeur constante, ainsi que le coefficient de dilatation, tant que la vapeur demeure surchauffée, ce qui revient à admettre que cette vapeur se comporte comme un gaz permanent, sauf les valeurs particulières de c et de *, l’équation (n) s’intégrera sans difficulté. En efTet, en appelant v 0 le volume à 0° et sous la pression p de la vapeur considérée comme un gaz permanent, le volume v à la température t et sous la même pression p sera :

et si t>' 0 désigne le volume spécifique de la vapeur à 0° et sous une pression fixe et déterminée p' 0 , qui sera, par exemple, la pression moyenne de l’atmosphère, soit 760 millim. de mercure, on aura, en supposant la loi de Mariotle applicable :

«oP = »'oP'<>; d’où = et en substituant dans (p) :

v= pW> + ïM u.

En supposant dans celte dernière que t et v varient seuls, la

pression p demeurant constante, la différentiation donne, pour la dérivée partielle (J?) de la température prise par rapport au volume :

\dvj ctp 0 v' 0

Cette valeur étant portée dans (n), il vient :

cdl= A«P>' 9 (273-4-t) d P

d’où l’on tire :

dt A a p' 0 t>’ 0 dp m 273 -t- 1 c p *

et en intégrant entre des limites déterminées et correspondantes t et p 0 , / et p, attendu que a et c sont supposés constants, comme A et p' 0 v\ :

Log. ^273 + <] — Log. ^273 4- f 0 ] =

= A - c ° V ° jLog.p— Log.p 0 j . (N)

Les logarithmes peuvent être pris dans un système quelconque.

A xf v*

La valeur du coefficient 0 dépend des valeurs numé-

riques attribuées à * et à c. On a d’ailleurs : A = — , et si l’on

prend p r 0 égal à la pression atmosphérique, soit 10535 kilog. sur un mètre carré, on a :

® f o = ’ puisque 1,6526 est le volume spécifique de la

vapeur d’eau à 100°, et sous la pression de 10353 kilog. par mètre carré.

Pour “ = 25Ô’ = = 1 > 1804 *

Moyennant ces valeurs on aura :

Pour c = 0,4805 :

A* P >'. îfïXâSoX 1033 ^ 1 * * * * * * ' 1804

Pour c == 0,44 :

Actr' 0 v' 0

L’équation (N), suivant que l’on prend c = 0,4805 ou 0,44, donne :

Dans le premier cas :

Log. p 0 — Log. p —

Log. (2/3 4- t) — Log. (2/3 -+- 1 0 ) 0,23947 *

Dans le second cas :

L°g. p 0 — Log. p —

Log. (273 + f) — Log. (273 -4- t 0 ) 0,26151

Appliquons ces équations à la vapeur surchauffée à 240°, sous la pression de 5 atmosphères , en y faisant p = 5 1 665 et l =240°, et cherchons la pression p 0 correspondante à une température inférieure à 240°, à 100° par exemple. Pour cela, il faudra poser

< 0 =ioo°.

On a ainsi, par l’équation (a), (c — 0,4805) :

i r M.nn,. Log. 513 — Log.373

Log. Po = Log. 51665 - - 8 - 0>gww * !

par l’équation (a'), (c =0,44) :

Log.p 0 = Log. 51665 —

Log.513 — Log. 373 0,26151

Faisant usage des logarithmes vulgaires :

Log. 51665 = 4,7131964. Log. 513 = 2,7101174

Log. 373 = 2,5717088

Différence. 0, 1 384086

Donc, dans l’hypothèse c = 0,4805 :

Log. p 0 = 4,7131964 — 0,5779789 = 4,1352175, et p 0 = 13653 k *>«.

Dans l’hypothèse c = 0,44 :

Log .p 0 = 4,7131964 — 0,5292669 = 4,1839295, et p 0 = 15273 küo ».

Ces valeurs de p 0 , étant l’une et l’autre supérieures à la pression maximum que la vapeur d’eau puisse exercer à la température de 100°, ne sauraient exister. Il en résulte que, dans les deux hypothèses, la vapeur surchauffée, en se refroidissant graduellement à mesure qu’elle se dilate, approche du point de saturation qu’elle atteint avant que la température se soit abaissée jusqu’à 100°. La question est maintenant de déterminer le degré de température à laquelle la vapeur, dans son expansion, sera arrivée au point juste de saturation. C’est à quoi l’on arrive par quelques tâtonnements.

En posant dans l’équation (a) correspondante à l’hypothèse c — 0,4805, / o =:140 o , on trouve la valeur corrélative de Log p 0 = 4, 7151904 — 0,5290979 = 4,1831985, et p 0 = 15247 k ; 15247 kilog. par mètre carré équivalent à 1121““, 4 de mercure; or la pression de la vapeur à saturation et à 110° est seulement, d’après les tables de M. Régnault, de 1075 mm ,4 de mercure. La vapeur arrive donc au point de saturation, avant 110°.

Essayant t 0 = 115°, on trouve :

Log p 0 = 4,7151964 — 0,5064756 = 4,2067208, et p . = 16096 k , soit 1185 mm ,5 de mercure. La pression de la vapeur à saturation et à 115° étant de 1269 wra ,4, on voit que la vapeur, dans son expansion, n’est point encore arrivée au point de saturation, lorsque sa température est descendue à 115°. La température que nous cherchons est donc comprise entre 110° et 115°.

Essayant t 0 — 112°, nous trouvons :

Log p 0 = 4,7131964 — 0,5205525 = 4,1926439, et p . = 15583 k , soit 1145®“, 8 de mercure. Ce nombre diffère très-peu de

4 149*“, 83 qui, dans les tables de M. Régnault, correspond à 442°. C’est donc à 412° environ que la vapeur, en se détendant sans addition ni soustraction de chaleur, arrivera au point de saturation, dans l’hypothèse où la chaleur spécifique c serait invariable et égale à 0*4805.

Des calculs semblables montrent que, dans l’hypothèse c = 0,44, le point de satution serait atteint à une température comprise entre 416° et 447°, et plus voisine de 446°.

Raisonnons d’abord dans la première hypothèse.

Nous trouvons dans le tableau du professeur Zeuner, § XXVI, que le volume spécifique de la vapeur d’eau à saturation et à 442° est compris entre l m3 ,1235 et 1“ 3 ,0575, et la chaleur interne, sous l’unité de poids, entre 599 e * 1 , 54 et 599 e * 1 , 97. L’interpolation nous conduit à adopter les nombres suivants :

Volume spécifique de la vapeur à saturation et à 412° 4 ra5 ,4443. Chaleur interne — — 599 e * 1 , 595.

Or la chaleur interne de la vapeur, dans son état initial, à 240° et sous la pression de S^nrSlGGS 11 par mètre carré, était de 641 e * 1 , 4952. Il a donc disparu, pendant l’expansion, depuis le volume primitif de 0“ 3 , 441 jusqu’au volume final de l m3 ,4 113, tandis que la température est descendue de 240° à 142°, et la pression de 54665 kilog. à 45583 kilog. par mètre carré, 641,4932 — 599,595 = 41 e * 1 , 8982, lesquelles ont été converties en une quantité équivalente de travail mécanique qui sera, par conséquent, exprimé par 424 X 41,8982 = 4 7764* Xm , 8. Ainsi, durant l’expansion deO m3 ,441 à 1“ 3 ,4 143, c’est-à-dire dans le rapport de 2,52 à 4 du volume primitif, la vapeur restant toujours surchauffée a exercé sur le piston une pression moyenne de,

=26435 kilog par mètre carré.

Nous sommes maintenant arrivé à avoir 4 kilogramme de vapeur à saturation et à 112° sous un volume de 4 m3 ,4 1 13. Concevons que cette vapeur continue à se détendre, sans addition ni soustraction de chaleur, en exerçant sur le piston mobile une près-

sion constamment égale à la force élastique décroissante qu’elle posséderait à l'état de repos, jusqu’à ce que sa température soit descendue de 112° à 60°. On trouve, en appliquant les principes et les méthodes de calcul développés dans le § XXX, que, arrivée à cette dernière température, une partie de la vapeur se sera liquéfiée, et qu’on aura un mélange de vapeur et d’eau dans les proportions de 0 k , 89758 de vapeur et 0 k ,1042 d’eau liquide; que le volume de ce mélange sera de 6® 3 ,8914, c’est-à-dire à peu près 6,2 fois le volume de la vapeur saturée à 412° et 4 5 fois le volume de la vapeur surchauffée à l’état initial. On trouve que la chaleur interne du mélange d’eau et de vapeur sera de 554 e ' 1 , 0579, qui, retranchées de 599 e ' 1 , 595, donnent, pour la chaleur disparue et convertie en travail mécanique par l’expansion de la vapeur, depuis qu’elle a atteint le point de saturation à H 2° : 65 e * 1 , 5371. Le travail mécanique développé durant cette dernière période est donc de 65,5571 X 424 = 27787 ^ 7 .

En résumé, dans l’hypothèse du coefficient de dilatation « con-

stant et égal à — ^ eî de la chaleur spécifique c constante et égale

à 0,4805, 4 kilogramme de vapeur surchauffée à 240° et sous la pression de 5 alra. ou 51665 kilog. par mètre carré aura fourni le travail mécanique suivant :

Pendant l’admission de la vapeur surchauffée dans le cylindre, sous la pression constante de 5 atm., le volume de celte vapeur étant de 0 m3 44i 22732* Xm , 6

Pendant l’expansion de cette vapeur, depuis le volume 0 œ \441 jusqu’au volume l m3 ,4115 égal à 2,52 fois le volume primitif, la vapeur étant arrivée alors à la température de 4 1 2° et au point de saturation 47764** m ,8

Pendant l’expansion de la vapeur maintenant saturée, depuis le volume de 4 m3 ,4113 jusqu’à 0 ,n3 ,8914, le mélange d’eau et de vapeur étantfinalement à la température de 60° et égal à 45 fois le volume initial de la vapeur surchauffée. . . . 27787* xm ,7

Travail mécanique total

Supposons que la pression résistante dans le condenseur soit constamment égale à la force élastique de la vapeur à saturation et à 50°, savoir 1250, G par mètre carré. La contre-pression derrière le piston aura donné lieu ù un travail résistant exprimé par 4250, GXO, 8914 = 8G18*X m ,4

Le travail mécanique absorbé pour ramener du condenseur dans l’atmosphère environ 25 kilog. d’eau de condensation pour chaque kilogramme de vapeur employé dans la machine sera de 0,02G X (10355 — 1250,6) 256**’», 1

Total du travail résistant occasionné par la contrepression et l’extraction de l’eau du condenseur. . . 8854* xm , 5

lesquels, étant déduits de 68285 fcXm ,4, il reste, pour le travail mécanique théoriquement utilisé : 59450* Xm ,6, qui sont l’équivalent de 4 40 e * 1 , 1792.

La chaleur nécessaire à la conversion d’un kilogramme d’eau liquide à la température de 50° en 1 kilogramme de vapeur surchauffée à 240°, sous la pression de 5 atmosphères, est, dans l’hypothèse admise que c = 0,4805, égale à :

Le rapport de la chaleur utilisée à la chaleur appliquée à la vaporisation de l’eau et à la surchauffe de la vapeur est donc :

Reprenons maintenant la suite de la seconde hypothèse où la valeur constante attribuée à la chaleur spécifique c — 0,44 . Nous avons vu que la vapeur est arrivée au point de saturation à 110° environ. Supposons que cette vapeur continue à se détendre, sans addition ni soustraction de chaleur, en exerçant sur le piston mobile une pression constamment égale à sa propre force élastique à l’état d’équilibre, jusqu’à ce que sa température soit tombée à 00°. Nous trouvons alors que le fluide moteur se composera finalement de 0,8911 de vapeur et Ü k ,1089 d’eau liquide condensée; que ce

mélange occupera un volume de 6 m3 ,8417 égal à 15,51 fois celui de la vapeur surchauffée à l'état initial ; que la chaleur interne de ce mélange d’eau et de vapeur est de 550 fal ,6454, lesquelles étant retranchées de 657,9581, qui exprime, dans la présente hypothèse, la chaleur interne de la vapeur surchauffée, on a, pour la quantité de chaleur convertie en travail mécanique, pendant toute la durée de la détente : 107 cal ,2927, qui sont l’équivalent de 45492* Xm ,l

Ajoutant le travail développé pendant l’admission

sous la pression constante de 5 atmosphères. . . . 22752 ,6

on a pour la totalité du travail utilisé 68224* x '",7

Le travail résistant de la contrepression est de 1 250,6 X 6,84 1 7= 8556* x m ,25 Le travail absorbé par l’exhaustion du condenseur 256 ,10

8792* xm , 55. . 8792 ,5

Travail total utilisé 59452* Xw ,4

C’est l’équivalent de 140 e * 1 , 1708.

La chaleur appliquée à la transformation d’un kilogramme d’eau liquide à 50° en vapeur surchauffée à 240° sous la pression de 5 atmosphères étant exprimée, dans l’hypothèse actuelle, par 606,5 + 0,505 X 152,22 + 0.44 (240 — 152,22) — 50 = 641 e * 1 , 5505. Le rapport de la chaleur convertieen travail mécanique à la chaleur appliquée à la transformation de l’eau en vape'ur sur-

chauffée est :

La valeur attribuée à la chaleur spécifique, sous pression con stante, peut donc varier d’un dixième (de 0,44 à 0,48) sans exercer une influence sensible sur ce rapport final.

La substitution du coefficient de dilatation constant au

coefficient a pour effet d’abaisser, dans le cas où l’on prend

c — 0,4805, la température «4 laquelle la vapeur surchauffée atteint, en se dilatant, le point de saturation de 112 à 107°, et

d’augmenter le rapport final de la chaleur convertie en travail mécanique à celle qui est employée à transformer l’eau d’alimentation à 50° en vapeur surchauffée, dans le rapport de 1 à 1,0094, ce qui est insignifiant.

Nous croyons pouvoir conclure de cette discussion, malgré l’ignorance où nous sommes encore, à beaucoup d’égards, sur les propriétés physiques de la vapeur d’eau surchauffée, que les résultats des calculs que nous venons de présenter diffèrent peu de ceux qui appartiennent réellement à la vapeur surchauffée, employée dans nos machines à vapeur ordinaires, suivant le mode habituel, tel que nous l’avons défini avec précision.

Nous rapprocherons maintenant ces résultats de ceux que nous avons obtenus, en partant de bases beaucoup moins incertaines, pour la vapeur à saturation, à 150° de température, sous la pression correspondante de 4*‘, 7, dans la supposition que cetto vapeur se détend aussi, sans addition ni soustraction de chaleur, jusqu’à ce que la température soit abaissée à G0° , le piston mobile subissant la contre-pression de 1250,0 par mètre, et la chaudière étant alimentée d’eau à 50°.

Volume initial du kilogr. de vapeur à saturation et à 450° 0 m3 ,5825

Volume final du mélange d’eau et de vapeur à la fin de la détente poussée jusqu’à la température de 60° et à la pression correspondante de

1/5 d’atmosphère 0 m3 ,459i

Rapport du volume final au volume initial. . 10,8 à 1

Travail mécanique obtenu, déduction faite du travail absorbé par la contre-pression et l’exhaus-

tion du condenseur 5441G**' n ,2

Chaleur équivalente à ce travail 128 cal ,46

Chaleur nécessaire pour la conversion d’un kilogr. d’eau à 50° en vapeur à saturation et à 150°. . . 002 e41 ,1575 Rapport de la chaleur convertie en travail à la chaleur utilement appliquée à la conversion do l’eau en vapeur 0,213

La différence entre 0,215, 0,217, 0,218 et même 0,220 serait

certainement insensible dans la pratique. Nous sommes donc amené à conclure, contrairement à l’opinion assez généralement répandue, que l’économie obtenue de l’emploi de la vapeur surchauffée, dans les conditions ordinaires des machines généralement usitées , économie dont nous ne contestons pas la réalité, est due à ce que la surchauffe est réalisée au moyen de la chaleur des gaz résidus de la combustion, qui, autrement, serait perdue; qu’elle tient, par conséquent, à une amélioration des foyers et une meilleure utilisation du combustible et non à la surchauffe en elle-même.

Cependant l’équation générale — ^ — = 273 + T (§ VII )> ff ue

nous avons appliquée dans les §§ XXI et XXX, nous donne, en y faisant T = 240° et t — CO pour la limite supérieure du rapport de la chaleur convertie en travail à la chaleur empruntée à la source supérieure de chaleur par le corps intermédiaire :

Q— Q' 180 AOK4

Cette limite est théoriquement atteinte dans la machine à air conçue par M. Franchot, et le serait également, si la vapeur y était substituée à l’air. Nous avons vu qu’elle est bien près de l'être dans les machines ordinaires où la vapeur à saturation est condensée, après une détente sans addition ni soustraction de chaleur, dans la proportion de 17 à 20 fois le volume initial. Pourquoi en demeure-t-on si éloigné, lorsqu’on emploie la vapeur surchauffée dans les conditions définies que nous avons prises pour éléments de nos calculs? II suffit, pour l’apercevoir, de se rappeler les principes généraux du chapitre I. Les choses ne se passent pas, en effet, comme si l’eau liquide était d’abord mise en rapport avec une source indéfinie de chaleur à 240° et se vaporisait à cette température, mais bien comme si l’eau, qui se vaporise d’abord à 152°, 22, était, après sa vaporisation, mise en rapport avec une source de chaleur à 240°.