Q-Q' = AT

dans laquelle le travail T est mesuré par l’aire du quadrilatère curviligne abcd, dont les deux côtés finis ad et bc s’écartent infiniment peu l’un de l’autre. Ilsuffitd’un coup d'œil jeté sur la figure, pour voir que la différence entre les ordonnées de ces deux courbes correspondantes à une même abscisse quelconque Ox du corps est la mesure de l’accroissement de force élastique correspondant à l’élévation infiniment petite dt de la température t, sous le volume constant v représenté par Oa?. Cet accroissement de force élastique correspondant au volume v étant représenté par dp, les éléments du calcul intégral apprennent qu’en négligeant les infiniment petits du second ordre l’aire du quadrilatère curviligne est exprimée par

l’intégrale / dpdv, v 0 désignant le volume initial OA et v le vo-

lume final OD. Nous pouvons donc substituer au travail mécanique

obtenu T l’intégrale J dpdv , ce qui donne

Rappelons encore que dp est l’accroissement de la pression p qui correspond à un accroissement dt de la température, le volume v demeurant invariable.

Q' est la quantité de chaleur nécessaire pour maintenir la température du corps invariablement égale à t, tandis qu’il se dilate du volume v 0 = OA au volume OD = v. Cette quantité de chaleur dépendra de la nature du corps et de la température t, dont elle sera une fonction que nous désignerons par F ( t ).

Q est la quantité de chaleur nécessaire pour maintenir la température du môme corps invariablement égale à t-\-dt, tandis qu’il se dilate entre les mômes limites de volume r 0 et v; donc Q est précisément ce que devient Q' lorsque, toutes choses restant d’ailleurs égales, la température est 1+ dt au lieu de t . Donc,

Q=F [t+dt)

et Q— Q' = F (*4-d0— F(f) = F'(t)<*<»

F' (0 désignant la dérivée de F ( t ). La fonction F et sa dérivée changeront avec la nature du corps employé comme intermédiaire entre les deux sources de chaleur; mais nous savons qu’il n’en est pas

ainsi du rapport lequel est absolument

indépendant de la

nature du corps intermédiaire employé et ne peut être, par séquent ici, fonction que de t et de dt.

Cïr

con-

Q F(<-MO F(0+F'(0</<. . F (0 Jt Q'- F (t) - F (t) - 1 + F (f)

donc est une fonction de la température t, absolument

indépendante de la nature du corps employé comme intermédiaire et qui reste la même pour tous les corps. Multipliant les deux membres de l’équaiion précédente par Q', il vient :

Q = Q' + Q' Çjj-j it, et Q-Q'=Q’ ^ dt

Substituant cette valeur de Q — Q' dans l’équation («), celle-ci devient :

Q' dt=z A j dpdv.

Nous pouvons remplacer par <p (t)» ? (t) désignant une

fonction de la température qui est la môme pour tous les corps, et écrire l’équation précédente sous la forme

Q'dt = A<f (t) j*dpdv. (A)

Q' est, je le rappelle encore, la quantité de chaleur nécessaire pour maintenir invariable la température t du corps, tandis qu’il se dilate du volume v 0 au volume quelconque v.

Supposons maintenant que la différence entre le volume initial et le volume final décroisse au-dessous de toute grandeur assignable, devienne en un mot infiniment petite. Cet accroissement infinitésimal du volume étant exprimé par dv t le travail obtenu sera représenté par le quadrilatère à côtés infiniment petits abc'd lequel, à la limite, se confond avec un parallélogramme équivalent au rectangle qui a pour base dp et pour hauteur dv, dont l’aire est

exprimée en conséquence par dpdv. C’est au reste ce qui résulte immédiatement de ce que le travail provenant d’une dilatation infiniment petite do est la différentielle par rapport à la va-

riable v de l’intégrale J dpdv qui exprime le travail correspondant

à une dilatation finie v — r 0 , et cette différentielle est simplement la quantité dpdv qui se trouve sous le signe de l’intégration; dp, dans ce produit, désigne toujours l’accroissement de pression correspondant à l’accroissement dl de la température, le volume demeurant invariable. Dans cette même hypothèse d’une dilatation infiniment petite, Q' doit être évidemment remplacé par la différentielle dQ , Q exprimant la quantité de chaleur nécessaire pour maintenir le corps à la température constante /, tandis que son volume augmente d’une quantité finie v — v 0 , à partir du volume initial t? 0 , et que sa pression ou force élastique diminue en conséquence. En définitive, l’équation (6), différentiée par rapport à la variable v, nous donne l’équation différentielle du second ordre :

dQdt = Aç ( t) dpdv.

dans laquelle (t) est une fonction de la température seule, qui reste la même pour tous les corps, où v et t sont les deux variables indépendantes et dans laquelle dQ et dp ont les significations que nous avons indiquées d’une façon précise.

IX. En combinant les équations (a), (6), (c) du § III avec celle qui forme la conclusion du § précédent, ou arrive à des équations en quantités finies qui trouveront des applications fréquentes. Je transcris ici les équations (a), (b), ( c ).

dt = F P ( p , v ) dp + F v (p, v) do = Æ) dp 4- do, (a)

dû = /'p (p, v) dp 4- fv (p. v) dv = \dp -+■ Y do, dQ ss Xdp -H (Y -4- Ap) do.

J’ai remplacé, dans l'équation (a), les dérivées partielles F' p ,

par les nolations usuelles

J’ai substitué, pour abréger, dans les équations [b) et (c), X et Y aux dérivées partielles f ' p , f' v de la fonction f(p,v) qui représente la chaleur interne U du corps, sur quoi il faut bien se souvenir que dû étant la différentielle complète d’une fonction de p et de e, X et Y sont des fonctions de p et de v assujetties à la condition :

dX d Y

dv dp

Ceci entendu, voyons comment dQ et dp doivent être exprimés, quand on considère comme indépendantes les deux variables l et v, dans notre équation :

dQdt = A<p(/) dpdv. (m)

Quant à la différentielle dQ, elle se rapporte au cas où, la tem* pérature restant constante et égale t, la pression et le volume varient seuls etsimullanément. Pour exprimer que la température est constante, il faut faire dl— o dans l’équation (a), qui devient alors :

(i) df+ Û dv = 0 ’

d’où l’on tire

Cette valeur de dp étant portée dans l’équation (e) nous fournira la valeur cherchée de dQ, qui est par conséquent :

ou bien

dQ = ( — X

-t- Y H-Ap) de,

dQ =

Quant à dp qui figure dans le second membre de liquation (m), cette différentielle doit être prise pour un accroissement dt de la température, le volume demeurant invariable. Il suffira donc, pour l’obtenir, de poser dv = o dans l’équation (a), qui se réduit alors à :

d’où

Substituant ces valeurs de dQ et de dp dans notre équation (m), nous trouvons, après avoir supprimé dans les deux membres le

facteur commun

dtdv

X. c, désignant la chaleur spécifique d’un corps à volume constant et c sa chaleur spécifique à pression constante, la quantité de chaleur nécessaire pour élever la température de ce corps, sous l’unité de poids, d’une quantité dl , v étant considéré comme constant, sera exprimée par c t dt. Pour exprimer que v est constant, nous devons faire dv = o dans l’équation (a), qui nous donne

alors dt = J dp % par 6uite :

c t dt^=Ci dp. Mais l’équation ( c ) peut nous donner la

quantité de chaleur nécessaire pour produire un accroissement dp de la pression, v demeurant constant; il suffit d’y faire dv = 0; on a alors dQ = Xdp. La valeur de cfQ ainsi déterminée doit

évidemment être égale à c t dp. Donc Xe/p = c t (j~)dpc ten

dp>

supprimant le facteur dp dans les deux membres ; X = c i

De même, la quantité de chaleur nécessaire pour élever de dl la température du corps, qui se dilate sous la pression con-

stante p j sera exprimée par cdt, ou

par c do, en remplaçant dt

par la valeur tirée de l’équation (a) où l’on a fait dp =0, afin d’exprimer que ia pression p demeure constante. L’équation (c) nous donne, en y faisant dp— 0, pour la quantité de chaleur dépensée qui correspond à un accroissement dv du volume, sous la pression constante p : dQ = (Y -f- A p) dv ; égalant ces deux expressions de la chaleur nécessaire pour arriver à un résultat identique, on a :

(Y 4- A p)dv = c(~ v j dv.

et, en supprimant le fadeur commun de,

Substituant maintenant ces valeurs do X et de Y -f- Ap dans l’équation (n), celle-ci devient :

En rapprochant cette équation de celle du § V