LA MASSE EST FONCTION DE LA VATESSE

— Dans un système S, un point matériel est supposé en. mouvement avec la vitesse v à l'instant £.

Introduisons un second système S' animé de la vitesse 0" par rapport à S. Dans S’, à l'instant considéré, le mobile a une vitesse nulle ; pendant le temps infiniment court quisuit, nous pouvons dans le système S' appliquer les équations de la dynamique classique puisque le mobile part du « repos dans ce système. ù

Soient mo la masse imitiale ou masse au repos du point matériel; F;, F,, F2, les composantes, mesurées par un observateur du système S', de la force que subit ce point: nous avons

LEE d'y PE d'z 10-10 HR pe 6 2. — FANS (10-10) m ae ma, mes

Pour avoir les équations de la dynamique dans le système d'x d'y S, il faut chercher comment se transforment UE UE d'z ! ! ! ° s L L *

a et F;, F,, F: en fonction des mesures faites dans le

système S.

Adoptons la disposition d’axes habituelle, en prenant Ox / \ \ et Ox parallèles à v. Les formules de Lorentz permettent Je 4 2 Æ d'x de calculer —% ::: en fonction de v et de —::: dt dt dx. 71 ste “1.0 en tenant compte de ce que — v à l'instant { considéré. On trouve dt

ao) Lx—Tdx, du

Pour obtenir la transformation des F;, F,, F2 nous considérons le cas d'une force électrique ; supposons que dans S règne un champ électrique X, Y, Z; pour les observateurs de ce système, 1l s'exerce sur une particule de charge e une force

Fe EX, F,—= eY Free Appliquons (10-3), en y faisant M — N — O, et re-

marquons que e est un invariant : nous obtenons

CO12) F:—F. Fy=— Fri phase

substituant dans (10-10) les valeurs de l'accélération

(10-11) et de la force (10-12) il vient

Dr. mo d'y — Fe md z pp. |

\ ) dt 4x dt a dt

| mi |

Bien qu établies dans le cas particulier de la force éicetrique ces équations s'appliquent à une force quelconque, car si une force mécanique (par exemple la tension d'un ressort) fait équilibre à l’action exercée par un champ électrique, c'est un fait sur lequel tous les observateurs doivent se trouver d'accord. Il est donc nécessaire que les composantes de la force mécanique se transforment comme celles de la force électrique.

ni à " mo On trouve ainsi une masse longitudinale —- et une

mo

masse transversale » la masse étant définie comme coefficient d'inertie.

Mais les équations (10-13) peuvent s’écrire :

(DD ES d md) —F d{mdy\__F d/md\

| A 2 dt ä 2 2) Ÿ mr a dt ) Fe

sous cette forme symétrique, la restriction due au choix particulier des axes est levée; les équations sont absolument générales. F,dt, F,dt, F;dt sont les composantes de l'impulsion dG ; on a donc, en intégrant et prenant la quantité de mouvement nulle au repos

; S : : m la masse définie comme capacité d'impulsion est ——-

2° L'INERTIE DE L'ÉNERGIE. — Multipliant les équations (10-14) par dx, dy, dz et ajoutant, on obtient d| ie —= Kmc) = F,dx + F,dy + F,dz = aW e | dW étant l'énergie fournie au point matériel. On a donc (10-16) mc = WE

La variation de masse est proportionnelle à la variation d'énergie cinétique.

a) Masse de l'énergie rayonnante. — Considérons un train d'ondes planes tombant normalement sur une surface noire S. L'énergie 2 W absorbée pendant le temps ?{ exerce

une pression ÿ — (égale à la densité de l'énergie) :

Sc2t

elle communique au corps absorbant une impulsion

mn Katie

L'énergie rayonnante W possède donc une quantité de

mouvement G — —— c'est-à-dire une masse (capacité d'im-

+ On a la relation (10-16) avec une constante

nulle.

…. b) Un corps qui rayonne éprouve une perte de masse

égale à la masse —; de l'énergie rayonnée W. — Prenons

un cas simple : une lame plane normale à Ox rayonne par ses deux faces, avec la même intensité, des ondes planes se propageant de part et d'autre normalement à son plan. Dans un système de référence S par rapport auquel - elle était immobile avant de rayonner, la source envoie, de part et d'autre, des quantités de mouvement électromagnétiques égales et opposées ; elle reste donc immobile,

Soit W une certaine quantité d'énergie rayonnée | “ni de

chaque côté), mesurée par un observateur du système S. Pour un second observateur S animé, par rapport à la source, d'une vitesse v parallèlement à Ox, l'énergie se transforme d’après (10-8) (où 2 — 0 et 2 — 7). Cet observateur mesure

dans le sens opposé.

dd R # ble à: be nd ET à Q [ÈS]

Fe

La quantité de mouvement qui s’est propagée, pour S, dans le sens de v est

Horn MEME ENESS

C Z (— ») est la vitesse de la source pour S’. D’après la con-

servation de la quantité de mouvement, —

quantité de mouvement perdue par la lame. Comme la vitesse n a pas changé, cette variation provient d'une variation de masse de la lame

Ï + pour l'observateur S' 4 OC

et

La lame a donc éprouvé une perte de masse au repos — précisément égale à la masse de l'énergie rayonnée.

c) L'énergie potentielle totale d’un électron est égale à

sa masse au repos multipliée par c. (M. Langevin). — Assimilons l'électron à une sphère de rayon a possédant une charge superfcielle e.

L'énergie potentielle du champ électrostatique À est :

à à : k 2 Dr 72 WW: ! IN —=É£- 2-0 DES

EI he.

* Soient 5 —-—. la densité superfcielle de charge, p la

Ta . pression de Poincaré, nécessaire à admettre pour expliquer que la charge ne se dissipe pas. La pression p fait équilibre

à la tension 275 résultant de la répulsion mutuelle des élé- - ments qui composent la charge.

On a donc

- [len résulte une énergie potentielle W2 égale au produit de p par le volume de l'électron.

US — LS Fa p a CR ee 3 6 a L'énergie potentielle totale de l'électron au repos est t

ainsi

“ Or la masse de l’électron est k.

“ mc — W. c 3 D OC ralbation. — Dans tous les cas où l’on peut calculer l'énergie totale W d'un système, on la trouve égale à mc. On est donc conduit à généraliser et à donner les lois énoncées page 66.

e —— ; on à par suite a

3° L'IMPULSION D'UNIVERS. — Soit dt Ta de =) Les dérivées

lemps propre d'un point matériel (d

dx dy d cd d: d= d: d:

se transforment comme les composantes dx, dy, dz, cdt

d'un déplacement élémentaire, puisque d° est un invariant: Ce sont donc les composantes d'un quadrivecteur, la vitesse généralisée.

Multiplions par l’invariant m0 (masse au repos) les composantes de ce quadrivecteur ; nous avons les composantes de l'impulsion d'Univers.

(10-19) m dy, ,& d

Les trois premières composantes (composantes d'espace) sont les composantes de la quantité de mouvement ; la quatrième (composante de temps) est l'énergie divisée par c.

La conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie qui, pour un système de points matériels isolé, s’écrivent :

(10:20) 2G,=Cr, 2G,=C:, 2G.=C EM

se résument maintenant dans l'affirmation que la somme des vecteurs impulsions d'Univers, somme entendue au sens géométrique reste constante dans un système matériel isolé. Elle est indépendante du système de référence, alors que la quantité de mouvement et l'énergie varient d'un système de référence à un autre. Le principe de la conservation de l'impulsion d'Univers a seul un sens absolu.

PR

Note 11.

LES TENSEURS.

| TRANSFORMATION DU DÉPLACEMENT ÉLÉ- MENTAIRE. — Passons d'un système de coordonnées (xs, x, 23, x) à un autre (x, x, x, x) l'élément de ligne se transforme d'après les quatre équations

Hi D us VE de + du UE qu

dx dx dx

qu'on résume sous la forme abrégée

ER ris (11-1) de — D du

3 étant le même indice dans les deux membres et la sommation étant faite, pour chaque indice 5, en remplaçant y successivement par |, 2, 3, 4.

2° QUADRIVECTEURS. — Tout groupe de quatre quantités À’ qui se transforment suivant la même loi que les dx,

(11-2) Am VX À;

constitue un quadrivecteur ou fenseur de premier ordre contrevariant. On met l'indice en haut (sauf pour dx’ qui est cependant contrevariant).

Tout groupe de quatre quantités B, (indice en bas) qui se transforment suivant la loi |

eve (11:3) B.— ) 55 B.

constitue un quadrivecteur ou {enseur de premier ordre covariant.

On voit facilement que

(11-4) E AB, — AB, — invariant.

Ün invariant, appelé aussi scalaire. est un tenseur d'ordre nul.

Remarque. — La sommation est faite par rapport à l'indice qui figure deux fois sous le signe ©. Cet indice n’a pas de signification propre puisque dans l'expression complète d'une même composante on lui donne successivement les valeurs 1, 2, 3, 4 : on l'appelle indice muet. La lettre qui le désigne peut être à volonté remplacée par une autre pourvu que la nouvelle lettre ne figure pas déjà dans le terme considéré. Dans la suite nous supprimerons le > ; il sera sous-entendu quon doit toujours sommer par rapport aux indices muets, faciles à reconnaître d'après ce qui vient d'être dit.

3° TENSEURS D'ORDRE SUPÉRIEUR. — Seize grandeurs qui se transforment suivant la loi

CPAS dx: A’ (EË sous-entendu)

Oxu dx, um y

sont les composantes d'un {enseur du second ordre contrevariant.

Seize grandeurs qui se transforment suivant la loi

(11.6) Ar À,

dx Ôx-

forment un tenseur du second ordre covariant.

On généralise aisément pour définir des tenseurs d'ordre n. Un tenseur d'ordre n possède 4° composantes (dans une multiplicité à 4 dimensions). Un tenseur qui participe à la fois des deux modes de transformation est dit mixte : 1l est contrevariant vis-à-vis de certains indices et covariant vis-à-vis des autres.

12 __ dxe Oxu VX p Ex. : A = 2 Ty ES As.

Ôxe dXS dx- Un tenseur tel que À: — A: est dit symétrique par rapport à !z et . Un tenseur tel que À, — — À... est

dit symétrique gauche par rapport à ! et ”. Un tenseur symétrique gauche d'ordre 2 possède six composantes distinctes (au signe près); il n y a pas de tenseur symétrique gauche d'ordre supérieur à quatre (du moins dans une multiplicité quadridimensionnelle).

4 MULTIPLICATION. — Si l’on multiplie deux à deux les composantes d'un tenseur d'ordre net celles d’un tenseur d'ordre n , on obtient un tenseur d'ordre nn.

Ex.: A. B'—=TS.

5° CONTRACTION. — Partant d'un tenseur mixte, on peut former un tenseur d'ordre inférieur de deux unités en égalant un indice de caractère covariant et un indice contrevariant. Ex. : soit À;,,; imposons la condition 5 — +, nous obtenons À’. qui n'est plus que du second ordre et peut se

représenter par À. Une multiplication suivie de contraction se nomme multiplication interieure.

6” PROCÉDÉS POUR RECONNAITRE LE CARAC- TÈRE TENSORIEL. — a) Lorsqu'un groupe de quantités A(u%... 28...) déterminées par n indices est tel que

(147) AU JB — invariant

pour un choix arbitraire d'un tenseur B;:'° à n indices. dont n covariants et n contrevariants, on peut afhrmer que Au. 20...) est un tenseur contrevariant d'ordre n et covariant Tr ordre ñn.

Ex. : Si A(uY)B*C'— invariant, A(:%) est un tenseur A,

ce résultat est encore exact si pour un quadrivecteur quelconque B* le produit intérieur A(:)B*B’ = invariant, à condition que Au) — A»).

b) Un groupe de quantités dont le produit intérieur par un quadrivecteur arbitraire est un tenseur est lui-même un tenseur.

Ex.: si A(uv)B' est un quadrivecteur covariant, A(u») est un tenseur covarlant.

7° TENSEURS FONDAMENTAUX. — Dans l'expression de l’invariant ds

(1 1-8) ds” me g,dx, dx,

dx, est un quadrivecteur covariant arbitraire ; donc d'après l’une des règles précédentes g,,, qui est symétrique, est un tenseur covariant. C'est le tenseur covariant fondamental. Le tenseur contrevariant fondamental g,, s'obtient en écrivant le déterminant des g., formant le mineur de chacun des #. et divisant ce mineur par la valeur g du déterminant.

D'après une propriété des déterminants on a:

(11-9) gg — 1 ou 0 selon que # — * ou 4 F *.

Posons g,,8 — g., g, est le {enseur mixte fondamental. Il jouit de la propriété d'avoir les mêmes composantes (égales à | pour 4 —Y et à O pour z ») dans tous les systèmes.

Remarquons qu'en contractant ce tenseur nous obtenons CMETOD NN gi — gi + g2 + g + gi — 4.

Remarquons aussi que g, est un opérateur de substitution, car