GRAVITATION ET DYNAMIQUE

|? LOI DE LA GRAVITATION DANS LE VIDE. — S; l'Univers est euclidien, et si l'on prend des coordonnées gahléennes, toutes les composantes de R°, s'annulent car tous les symboles de Christoffel sont nuls. Mais alors ces composantes s'annulent aussi dans tout autre système de coordonnées (propriété fondamentale des tenseurs, les équations de transformation des composantes étant linéaires et homogènes). L'annulation du tenseur de Riemann- Christoffel est donc une condition nécessaire pour que l'Univers soit euclidien. On démontre que cette condition est sufhsante.

Si l'on admet que l'Univers est euclidien à distance infinie de toute matière, la loi de la gravitation dans le

vide est nécessairement R:, — 0 (voir chap. X).

Mas si l'Univers est courbe dans son ensemble et si l'espace est fim, 1l n'est plus nécessaire de conserver R',, —0 comme solution limite, et la covariance est

respectée s1 l'on pose

(I 2-1) R: = Ra — gs — 0 À étant une constante universelle certainement très petite. Pour le moment nous supposerons Rs :

R:. est la seule expression générale d'un tenseur du second ordre, fonction seulement des £.. et de leurs dérivées, ne contenant pas de dérivées d'ordre > 2 et linéaire par rapport aux dérivées secondes.

2° THÉORÈME FONDAMENTAL. — La divergence du tenseur

* Fu R, 2 g,R est identiquement nulle, ce qu'on peut écrire : | OR 12-2 Ro EX | 2 dxs

Ces quatre identités (2 — 1, 2, 3, 4) sont celles qui réduisent à 6 le nombre des conditions exprimant la loi de la gravitation dans le vide (Ch. X, p. 108).

3° ÉQUATIONS DES GÉODÉSIQUES. — Soit A’ le

Û dx; LR | :

vecteur contrevariant - Sa dérivée covariante est

(423) :A = 2 (as) J jé] de.

Ôxe \ ds) 5 ds

Eee). IA: di Multiplions par A°— pa nous obtenons s