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constituent un tenseur covariant, appelé dérivée cova-
riante de AÀ..
De même
est la dérivée covariante du quadrivecteur A* contrevariant. Généralisation. — Soit un tenseur quelconque, Af,, par exemple; sa dérivée covariante est le tenseur :
(11-23) ; LP RS 7 SCOR 2.22 A ur SL # } : (A 2 l " (A: ]
(LL a
| At \ 12%
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ni ©
La dérivée covariante remplace, dans les équations tensorielles exigées par le principe de la relativité, la dérivée « ordinaire qui en est la forme dégenérée, en coordonnées gali- « léennes (car en coordonnées galiléennes les symboles de Christoffel sont nuls).
Supposons qu'on déplace un vecteur suivant un certain contour. Dans un espace euclidien et en coordonnées galiléennes, la condition nécessaire et sufhsante pour que le vecteur reste de même longueur et parallèle à lui-même
é dA* [02 ne :
pendant le déplacement est ere 0 our 0) - Cette 0x, Nr | condition étant la forme dégénérée de l'équation tenso-
rielle A —0 (ou A, — 0) nous dirons que l'annulation
de la dérivée covariante d'un quadrivecteur en tout point d'un contour exprime un déplacement sans variation absolue ” (Eddington) ou un ‘ déplacement parallèle ” (Weyl) bien qu'il ne puisse, en général, être question de parallélisme au sens de la géométrie euclidienne,
13° QUELQUES FORMULES UTILES. — On démontre
dg"* == — g g‘dg et dg: mt. Luugadg"", (l 1-25) A° dgu: ENT A::dg° "
DL R TRS =
(11-26) d(logg) = — gudg" — g'dg….
0) HE, (11-27) ; Dre + e dry
14 DIVERGENCE. — Dans la théorie vectorielle ordinaïre, on appelle divergence le scalaire
D ue ou 22.
is Ôy 0z dx.
La généralisation est immédiate. Pour un quadrivecteur contrevariant, la divergence est la dérivée covariante contractée A}, (scalaire).
Introduisant la densité tensorielle, et tenant compte
de (11-27) (11-29) dot —
db" 54 dx
La divergence d'un tenseur du second ordre est, de
même, la dérivée covariante contractée : c'est un quadri-
vecteur, a) Tenseur mixte À,.— La divergence est A;, (Y devient indice muet)
OA (a y.) OA)" A; TRS PRET A ou DUAT (un (11:31) Me FC D dx, ( E expression qui, Lorsque À, est symétrique, se simplifie Éd LR ne de +’ do?
| (132) &, — Loge re Tu Lot FT 2 dx Ôxs 2 0x y 11. BECQUEREL
b) Tenseur contrevariant A. — La divergence est”
A; en introduisant les densités tensorielles, on trouve
4 db” (<y) (11-33) RP
dx #A \
le dernier terme disparait lorsque le tenseur est symétrique gauche.
Dans la théorie vectorielle, l'annulation de la diver-
gence d’un vecteur exprime la continuité du flux de ce vecteur. Dans la théorie de l'univers quadridimensionnel, où intervient une coordonnée de temps, l'annulation d’une divergence est la condition la plus générale de conservalion ou de permanence d'un quadrivecteur ou d'un tenseur.
15 LE TENSEUR DE RIEMANN - CHRISTOFFEL — La dérivée covariante du tenseur g,, est identiquement nulle, On peut cependant former un tenseur par différenciation à partir du tenseur fondamental seul.
Formons la dérivée seconde covariante À... d'un vecteur arbitraire À, puis le tenseur À. — À,,., le calcul donne
L'OE GE » . (ee — R: 2 2 (139
Puisque À; est arbitraire et que A, — À,,, est un tenseur, la dernière des règles indiquées (n° 6) montre que R:., est un tenseur. /[ n'est constitué que par les g» et leurs dérivées ; c'est un tenseur d'Univers.
Le tenseur contracté est
we EX »
(11:35) ” RE ,, — — LE NE à \uel (uv)(es
2/ dxel 0) AA) xl 5 \ 2 \72\ (z et = sont = ARTE 4 A qu'on peut écrire, en utilisant (11-27)
(11-36) Ô (2 Das (up} (vs 0? PE g |u2v)Ù logt/ 1e | Ru = — k + es A A | dxel 6 4 Ce \le xs 0x lz) Ôx: | Les el rR termes disparaissent si l'on choisit les coordonnées de manière que |/—5—1|.
Enfin, en multipliant par g”*’ on forme l'invariant contracté
qu'on démontre être une généralisation de la courbure de Gauss.
Note 12,
