__ 4° LOI DE LA GRAVITATION DANS LA MATIÈRE

. — Les équations! R.. —

0, qui expriment la loi {dans le

vide, remplacent Se de Re.

AO — A () potentiel newtonien.

e NE , . : ‘7, . . Ê Ë Il s'agit maintenant de trouver Me qui doit remplacer l'équation de Poisson 1

AQ — 4;Gs (: densité, G const. de la gravit. newt.).

La densité est l'énergie par unité de volume divisée par c. Or l'impulsion-énergie trouve son expression la « plus générale dans un tenseur qui précisément se réduit à © dans le cas de la matière au repos, en coordonnées gahiléennes. C’est ce tenseur qui doit remplacer £.

a) Le tenseur impulsion-énergie. — Les trois tenseurs d'impulsion-énergie associés ont pour expressions 2 dx, dx, (126) TE pes ds ds (2, densité au repos ou densité propre) dx: dx, (237) To, = gas T7 = guPo | ds ds Le. ON dx; dx- (12-8) 4: — Fe PRELONS ds FE LasQy20 7. = (ÿ deal ds ds T*’ et T., sont symétriques. En coordonnées galiléennes x1, X>, x, Xi —= ci, les composantes de T, sont les suivantes. ; re | | | 7, HU y [ha PUx, EL 'Æ FUx,Ux re Æ PUx,Ux, Vie FUx, (e C C C A ] ] cire ] ] 4 Te Pr x, Se Pr, 7 PO 4 ge: È C C C

pts?" Lr . TRANS + F ,

(129) 1 ÿ. Pr EEE 2 > PUx,Ux, PNR PRUR,. 7 2 5 MOMCRN FUx C C . C C ah Fe 2 ; IT FÜüs, EAP Ds Eh 4-7 F C C C

Ux,» Ur, Ux, Sont les composantes de la vitesse v de la matière au point x:, x2 x, © est sa densité, égale à

hey 5)

b) La loi de conservation de l’impulsion-énergie. — En coordonnées galiléennes l'expression de la loi de conservation s'écrit

(12-10) ed) re indice muet).

Ces quatre équations (2— 1, 2, 3, 4) ne sont autres que les équations bien connues de l'hydrodynamique en l'absence d'un champ de force et dans les milieux depour-

vus de frottement.

Nous remarquons que l'équation (12-10) est la forme dégénérée de l'équation tensorielle

Cette équation tensorielle est donc l'expression générale de la loi, dans un Univers non euclidien, Nous avons d'ailleurs déja dit que l'annulation de la divergence exprime la conservation.

c) La loi d'Einstein. — Du fait que les tenseurs T, et

R;, ——g,R ont tous deux une divergence nulle, il ne ]

résulte pas forcément que ces tenseurs sont égaux (à un facteur constant près). Cependant si, avec M. Eddington, nous posons en principe que tout tenseur physique est l'aspect sous lequel nous apparaît un tenseur géométrique d'Univers, et si nous considérons la loi de conservation de l'impulsion-énergie comme une loi expérimentalement établie et rigoureuse, T, doit être identifié avec un tenseur conservatif; comme le plus simple des tenseurs conservatifs est

R. re .R, nous sommes conduits à écrire

Gt PRET

z constante universelle

quitte à vérifier ensuite par l'expérience les conséquences de cette loi.

C'est la loi d'Einstein, mais Einstein a suivi pour l'établir une marche différente. Il a mis R., — 0 sous la forme des équations classiques de Lagrange, a reconnu que certaines quantités #, (au nombre de seize, mais en formant pasuntenseur) représentent une forme d'énergie, l'énergie de gravitation, et a ajouté simplement le tenseur impulsion-énergie T,

à l'énergie de gravitation (il a remplacé #, par £ + T.), Il a ainsi obtenu la loi précédente. Cette loi impose la conservation de l'impulsion-énergie car, la divergence du premier membre étant identiquement nulle, la divergence du second membre est nulle,

Cette loi se déduit aussi du principe d'action station-

naire (méthode de MM. Hilbert et Lorentz).

La loi de la gravitation peut encore se mettre sous

d’autres formes

DD) R.— > gR=— AT.

Multiplions par g“”; remarquant que #,,g* 4 (11-10), nous obtenons

(12:14) Rx T 0, (T's | car on voit facilement, d’après (12-9), que (12-15)

" TT = TT HT HT HT xp ps

valeur indépendante du système de coordonnées, puisque

c'est un scalaire.

Remplaçant, dans (12-13), R par ZT, la loi s'écrit

5° LES ÉQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE. — . En mécanique classique, les quatre équations de l'hydrodyna- * mique dans un champ de force peuvent se mettre sous la - forme suivante, où £F,,... sont les composantes de la force . s'exerçant sur l'unité de volume.

D (Cr Fr PF.0

0x; de C CG

en coordonnées galiléennes. En réalité il ny a plus de telles coordonnées, mais c'est un fait dont on ne tient pas compte.

Les équations rigoureuses sont les équations T0,

. qui s'écrivent d'après (11-31)

om NN es (12:18) ES nt M

(densité tensorielle).

Ce sont les quatre conditions (= 1, 2, 3, 4) auxquelles | la matière doit satisfaire ; elles déterminent l'impulsion et « l'énergie communiquées à la matière par le champ de force. |

Pour les comparer aux équations anciennes, comme en pratique l'Univers est presque euclidien et que les vitesses sont faibles, nous pouvons prendre des coordonnées très « voisines des coordonnées galiéennes, les choisir de manière que V —g— 1 et admettre que T, se réduit à T;: nous | obtenons l’approximation faite en nées ordinaire ê