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(form. 16-14) cesse d'être une convention géométrique pour devenir une entité physique, il faut que ° soit un invariant absolu. Or il n'existe qu'un invariant absolu lié « L “ ét |

à un déplacement A* et qui soit une forme quadratique :

* Due A - 17

cest R..A’A’. Nous sommes donc conduits à considérer cet invariant comme donnant une mesure naturelle de la longueur et nous devons poser

(620) 3.ArA— LR. AA = BArA’ | D'où (16-21) B,, — Aguv,

À étant une constante universelle, qui nous laisse d’ailleurs libres d'adopter telle unité de longueur que nous voulons en un point d Univers déterminé. Le choix étant fait en un point, les jauges en tous les points sont fixées par (16-21).

La différence qui sépare B.. du tenseur R: de la théorie d Einstein provient des termes issus de S.. Nous allons voir que ce tenseur S,, détermine les phénomènes électromagnétiques ; plus le champ électromagnétique est faible, c'està-dire plus l'espace est vide, plus B.. est voisin de R... Dans le vide, l'équation fixant le système de jauges est

(16-22) Ru. — du —0.

C'est précisément la loi de la gravitation d'Einstein, qui est obtenue ainsi par des considérations aussi générales que possible, absolument indépendantes de celles qui ont été exposées précédemment. Ce résultat nous montre que, dans le vide, l'Univers est effectivement jaugé conformément au système de jauges naturel, ou encore qu'en transportant les

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Fr

étalons d’un point à un autre pour la comparaison des intervalles on emploie, dans le vide, le système naturel.

Propagation de la lumière. — Une perturbation lumineuse issue d'un point occupe dans l'univers un cône qui doit satisfaire une équation de la forme

(16-23) axdx,dx, — 0,

Comme ce cône est bien déterminé et na aucun rapport avec un système quelconque de coordonnées ou de jauges, 1] est nécessaire que a. soit un tenseur absolu : ce ne peut être que R: On a donc

(16-24) “R..dxidx, = B:,dxidx, = 0.

Nous voyons que, dans la théorie d'Einstein, où la propagation de la lumière s'exprime par

ds — g,,dx,dx, — 0,

l'Univers est jaugé conformément à l'équation (16-21), partout où la lumière se propage, c'est-à-dire en tout point (sauf à l'intérieur de l’électron). À pourrait être une fonction de point, mais la loi de la gravitation dans le vide nous montre que cest une constante.

Le fait que, dans nos observations, la lumière a une propagation parfaitement définie prouve que nous effectuons nos mesures avec le système de jauges naturel. Il est vrai que dans un champ électromagnétique :l existe une ambiguité concernant la longueur, mais cette. ambiguïté disparait pour un déplacement infiniment petit, et si nous transportons nos étalons d’un point à un autre dans un domaine très petit pour comparer des intervalles, nous employons le système naturel à une quantité du second ordre près.

Eddington a donc réussi à supprimer la difhculté qui avait conduit Weyl à poser Fyss — gueFr. La longueur

Tu PES

£ LE ED A Less æ

nulle peut ne pas rester nulle par déplacement parallèle ; peu importe, puisque le cône lumineux est défini par la seule équation invariante absolue qu'on puisse former.

La courbure constante. — Prenant les scalaires des deux membres de (16-21), on a, en tout point

= R—A\ qui, dans le vide, devient == AK;

Il est évident que À n'est pas nul, car il n'y aurait plus de système de jauges naturel. Nous sommes donc directement conduits à la conception de la courbure constante et de l'espace fermé. La constance de la courbure est imposée par la condition qui détermine le système de jauges : cela revient à dire que le système naturel consiste à prendre pour jauge en chaque point le rayon de courbure d'Univers; ou encore que tout objet est une portion déterminée et constante de l'Univers; que tout électron doit avoir pour rayon une fraction constante du rayon de courbure d'Univers au point où 1l se trouve. Si le rayon d'Univers changeait d'un point à l'autre — par rapport à un sur-étalon que . nous ne saurions d ailleurs imaginer — l'électron, nos instruments, nous-mêmes, tout changerait dans le même rapport ; par conséquent le rayon de courbure doit nous apparaître comme constant.

"R a la même valeur partout. Si l'on conserve le point de vue de la théorie d'Einstein, en séparant le champ de gravitation et le champ électromagnétique, et si l'on appelle

‘courbure le scalaire R qui ne fait pas intervenir les S’., on

doit considèrer les électrons comme des déformations locales. L . . pa L'électron devient une région de forte courbure, bien que,

avec le système naturel, *R ait la même valeur que dans le vide. Cela signifie que les S°, qui font différer B..(—= 45.) de R:. doivent être considérables dans l'électron: autrement dit, le champ électrique doit y être colossal.

Matière et électricité. — Pour identifier la substance” contenue dans l'espace, nous devons chercher les tenseurs géométriques qui correspondent aux tenseurs physiques. Ces tenseurs n'ont d'ailleurs pas besoin d'être absolus car nous utilisons le système de jauges naturel (aux faibles erreurs près dues à l'ambiguïté résultant de la non-intégrabilité des longueurs) et nous n'avons aucune raison de penser que les lois de notre science se conserveraient toutes dans un système de jauges arbitraire.

Tout d'abord, rien n'est changé à la loi de la gravitation dans la matière, car la généralisation de W/eyl-Eddington n introduit pas de nouveau tenseur à divergence nulle auquel on puisse identifier T..

Le tenseur F.. des forces électrique et magnétique doit satisfaire le premier groupe des équations de Maxwell généralisées, et ces équations deviennent des identités (14-6) si F,, est le rotationnel d'un vecteur. Nous voyons qu'il ny a qu'un seul tenseur géométrique que nous puissions identifier avec le tenseur des forces électrique et magnétique, c'est celui que nous avons précisément désigné par F,. (16-17). Le vecteur 7:. dont F, est le rotationnel, est le potentiel.

Le vecteur courant-densité de charge doit satisfaire à la loi expérimentale de conservation de l'électricité. Il faut donc que J} —0; cette équation devient une identité si J' est la divergence d'un tenseur symétrique gauche contrevariant ; nous devons donc identifer J" avec la divergence

& de F*’; nous obtenons ainsi le second groupe de Maxwell. ‘ … L'électron. — Nous avons vu (note 14, n° 3) qu'il “ est impossible de construire un électron et par conséquent de la matière à partir du champ électromagnétique seul ; on sait d'ailleurs que l'électron ne peut exister qu'en admettant des forces de cohésion non-maxwelliennes (pressions de Poincaré). Si l’on admet la continuité dans la structure géométrique de l'Univers, 1l est possible de calculer en chaque point le scalaire T du tenseur total d'énergie c'est-à-dire la densité de substance ”. L'expression est d'ailleurs assez compliquée. Le résultat intéressant est le - suivant: 1l est permis de penser que les forces de cohésion,

jusqu'alors mystérieuses, qui permettent l'existence de

l'électron sont les S;, qui ajoutées aux composantes

js }* du champ de gravitation constituent les forces absolues

L , sl (éq. 16-13). L'union du tenseur de gravitation g.,

et du tenseur d'électricité S;, (ou plutôt d'un tenseur 7, à partir duquel sont formés La S;.) ou plus bles si l'on admet la restriction de Weyl, l'union de g,, et de 2, suffit pour rendre compte de l'existence des électrons et de la matière, alors que le champ de gravitation et les forces maxwelliennes F,, ne suffisaient pas.

* Le potentiel électromagnétique a en lui quelque chose de fondamental qui disparaît quand on en prend le rotationnel pour obtenir la force électromagnétique observable (Eddington).

Toutefois dans le problème de la matière, 1l ne parait pas exact de supposer une structure d'Univers continue, car . l'expérience nous a révélé l'étrange loi des quanta. Les

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lois du continu ne sont probablement pas applicables à l'électron, mais on ne voit pas où intervient une discontinuité dans la constitution de l'électron.

Les généralisations de Weyl et d'Eddington completent la théorie d'Einstein sans l'altérer. On peut, dans la description géométrique de l'Univers, considérer séparément le tenseur B., (ou g..) qui décrit le champ de gravitation et le tenseur F,, qui décrit le champ électromagnétique : c'est ce qu'avait fait Einstein: |” “” intervalle ” d'Einstein est absolu, puisque c'est l'invariant absolu B., dx:dx. L'œuvre d'Einstein reste donc intacte; elle nest atteinte en rien par l'ambiguïté que l'existence du champ électromagnétique apporte dans la comparaison des longueurs.