A*— 5} (RE AUS

où R;,, tenseur de Riemann-Christoffel généralisé, est absolu, c'est-à-dire indépendant de tout système de jauges. Dans ce tenseur, les symboles de Chnistoffel du tenseur ordinaire sont remplacés par des symboles généralisés, qui sont absolus, parce qu'ils s'introduisent sans que le système de jauges intervienne. On a

(uv) (uv :

(16-13) Bree HS.

S,, étant un tenseur symétrique en % et (non absolu). Contractant “R?,,, on obtient la généralisation de R... # 7 * »

Les deux tenseurs absolus "R;,, et ©R,, traduisent les

propriétés intrinsèques du continuum. On n'en voil pas d'autres jouissant des mêmes proprietes.

Pour introduire les 2,, 1l faut adopter un système de jauges. Nous définissons la longueur / d'un déplacement À* par

(16-14) Den ATA”.

l est un invariant à l'égard du système de coordonnées ; 2, est un tenseur symétrique. Un système de coordonnées étant adopté, les A sont des nombres purs ; mais / dépend, ‘par les g,…, du système de jauges; la longueur n'est pas un invariant absolu, c'est une convention purement géométrique.

Posons

(16-15) La = Don

et soit Z:, la dérivée covariante du quadnivecteur 7,. On peut écrire

(l 6-16) B.. IT er Ry FE —— | R;. FES R,

| 2 2 (16-I 7) R. —— Bi ue | 2e B,, est symétrique et F,, symétrique gauche. On démontre que ds, Vo, OISE, — 0. — 9, —"*—-" (rot. de 9).

0x, dx J.

Les tenseurs B.. et F,, sont des tenseurs absolus. Le tenseur R:, se divise de même en deux tenseurs

(16-19) Bu FF

le premier symétrique gauche en {: et ?, le second symé-

trique en {4 et ?, symétriques gauches tous deux en Y et 3. | Mais aucun de ces tenseurs n'est absolu, car les Su» Interviennent pour abaisser l'indice £.

La variation d'un vecteur est ainsi mise sous la forme (16-6) et l'on a la formule (16-7), sans aucune restriction.

Invariants absolus. — Il n'existe pas de fonction invariante absolue des potentiels, mais on peut trouver des densités invariantes absolues.

RV— 35 CRÉROV— 5 RLÉRIV FF Ve, g CRI V— 8

*R étant le scalaire g“*R... Il existe peut-être encore une densité invariante absolue dérivée de “R:,5002.

Le nombre des caractères d'Univers distincts dont les combinaisons peuvent s'exprimer par des nombres purs, indépendants de tout système de coordonnées et de jauges ne dépasse probablement pas 6.

Weyl a fait remarquer que c'est seulement dans un Univers à nombre pair de dimensions que les tenseurs fondamentaux donnent naissance à des densités invariantes abso-. lues. On ne saurait imaginer un univers à nombre impair de dimensions, car il n'aurait aucun caractère absolu.

En plus de ces densités absolues, qui sont des caractéristiques absolues de l'Univers en chaque point, il y a un invariant absolu simple lié à un déplacement A“ : c'est

"RAA? :

d'autres combinaisons plus compliquées pourraient être imaginées,

IDENTIFICATIONS PHYSIQUES. — Le système de jauges naturel. — Si nous voulons que la longueur

EL ne

« bn