Nous venons d'établir que l'équation

implique comme conséquence générale la relation suivante :

Réciproquement étant donnée l'équation

si l'on désigne par f[x) la fonction qui a pour dérivée ^(x) , on peut en conclure immédiatement :

(4) Ay = A f[x).

En effet, si Ton représente par u la fonction /*(x), on a d'abord

et par suite

Mais, par hypodièse, f(x) est précisément égale à ^x); on peut donc écrire aussi

à :sasi X <f (x).

(100 ) De là résulte, eu égard à Féqualiou (5)^

if = il.

Les vitesses yj û étant toujours égales pour de mêmes valeurs attribuées de part et d'autre à x etx, il est évident que la même égalité subsiste nécessairement entre les accroissements simultanés des grandeurs correspondantes y et u. Il vient donc, conformément à la règle (4) du n"* 5,

^y = Aw = A f(x). C. Q. F. D.

On voit par là comment la question générale des intégrations, désignées sous le nom de quadratures y se ramène à la considération très-simple de trois longueurs ^XJ ^y, au décrites simultanément par trois points mobiles. Â chaque position du point qid décrit la longueur ax correspond, pour chacun des deux autres points, une seule et mémo vitesse. La conséquence évidente est que les longueurs ^y et Mt décrites en même temps que la longueur Ax sont constamment égales.

Du procédé général fourni par la méthode des limites pour la détermination des fonctions dérivées.

8. Le procédé que nous allons exposer ne nous est pas nécessaire; néanmoins nous avons plusieurs motifs pour ne pas le passer sous silence. En certains cas, il peut être plus simple ou plus rapide que la voie purement géométrique. Déjà connu des géomètres , il fait immédiatement ressortir la généralité absolue et l'extension sans bornes que comporte notre propre méthode. Il fournit, d'ailleurs, des moyens de contrôle et de vérification qui, s'ils ne sont point indispensables, ont cependant leurs avantages, ne fût-ce qu'à raison des points de vue multiples sous lesquels il convient quelquefois de présenter et de résoudre une même question.

Soit

une fonction quelconque supposée continue et dont on se propose de déterminer la dérivée f (x).

Considérons les longueurs substituées comme équivalents numériques à deux accroissements quelconques simultanés ày^ ^x.

Soient y, x, les vitesses simultanées des points qui décrivent ces longueurs.

Si le rapport % demeurait invariable à partir de l'origine des accroissements Ay, ^Xy on aurait, conformément à la règle (4) du n*»5,