AX X

Le rapport ï n'étant pas en général constant, mais variant au contraire incessamment dans Fintervalle ^x, on peut prendre cet intervalle assez petit pour que le rapport y soit toujours croissant ou toujours décroissant. On peut d'ailleurs, ainsi que nous l'avons vu, attribuer à x une valeur constante. Dans tous les cas, si nous représentons par |- la valeur initiale du rapport | et par â | le changement subi par ce rapport dans Fintervalle ax, on a évidemment

— ou ^ -♦- A T-

Ax > Xo X

selon que le rapport H croissant ou décroissant dans Fintervalle Ax^ la quantité a^ est positive ou négative.

On a d'ailleurs en même temps et avec la même évidence

ày > %

— ^ ou -7- • AX <^ Xo

De là résulte en général

\l), ••.••• s= -^ -f- ytC A -; ,

AX Xq X

fi étant une quantité comprise entre zéro et l'unité. Cela posé, le rapport <f étant, par hypothèse, incessamment

variable, il s^ensuit que ce rapport varie continûment, et il sniBt de resserrer indéfiniment Tintervalle ^x pour que raecroissement A^ se rapproche indéfiniment de zéro.

L'équation (i) prouve que le rapport des accroissements Ay, àx comporte, en général , un développement composé de deux parties essentiellement distinctes : la première est indépendante de l'étendue attribuée à l'intervalle ax; la seconde décroit indéfiniment et converge vers zéro avec cet intervalle. Pour obtenir isolément la première, il faut supprimer dans le développement tous les termes qui dépendent de rintervallc ^x et qui diminuent avec cet intervalle. Or cette première partie est précisément la dérivée cherchée, et, en général, il suffit d'annuler l'intervalle ax pour annuler en même temps tous les termes à supprimer. On voit donc aisément comment la recherche de la dérivée d'une fonction se ramène à la formation d'un développement dont on ne conserve que les termes indépendants de la quantité ax et dont on fait disparaître les autres en annulant cette même quantité.

De là résulte comme expression générale du procédé fourni par la méthode des limites pour la recherche des fonctions dérivées i l'équation fondamentale établie ci-dessus et réductible à la forme suivante:

(2) % =f(x) = lim. ^.