AX X

* On peut placer les points P et Q sur une même perpendiculaire aux droites PX, QY. Nous n'avons pas supposé qu'il en fût ainsi. Néanmoins, il est aisé de voir que Téquation générale du m 6 peut, dans tous les cas, s'écrire de la manière suivante :

y Qn an , . . Q6 io

- = — = — ; on a donc ici -- = t-- X pm am Vh a»

avec une translaiion précisément égale à la vitesse de ce point, 8^ Lorsqu'une droite se meut dans un plan, son mouvement se compose d'un glissement sur elle-même, et d'utie rotation autour d'un point dtoisi, comme on veut, sur la perpendiculaire abaissée du centre instantané de rotation. Quel que soit ce point, la vitesse angtilaire reste toujours la même, La vitesse de glissement est la vitesse effective du point substitué comme centre au centre instantané de rotation,

Du mouvement dans l'espace d'un plan et d'un solide,

59. Etant donnés trois points d'un solide, non situes en ligne droite; les points de ce solide sont tous déterminés. De là résultent les principes suivants :

i° Lorsque les mouvements simultanés des diff'érents points • d'un solide sont déterminés pour trois points de ce solide non situés en ligne droite, ils le sont en même temps pour tous les autres points,

2** Lorsque les vitesses simultanées des diff'érents points d'un solide sont déterminées pour trois points de ce solide non situés en ligne droite, elles le sont en même temps pour tous les autres points,

3** Tout mode de déplacement qui communique d trois points d'un solide non situés en ligne droite leurs vitesses actuelles et simultanées remplit en même temps cette même condition par rapport à tous les autres points,

4*^ Lorsque trois points d'un solide ont en même temps même vitesse ,' cette vitesse est commune à tous les autres points.

Soit un point quelconque pris sur un solide qui se meut, ou

Hé k ce solide d'une manière invariable.

Supposons, en premier lieu, que le point o soit fixe : m étant un point pris sur le solide en dehors du point o et t? la

vitesse de ce point, deux cas sont possibles selon que la vitesse v

est ou n*est pas nulle.

Ed désignant par z la longueur or^ on volt aisiément que les triangles oam 9 onr, toujours semblables y fournissent la relation constante

z = xy.

Cela posé, il s*agit de déterminer la vitesse z avec laquelle le point r glisse sur la droite oA , tandis que les points m et n glissent en même temps sur la droite oB , le premier avec la vitesse quelconque X , le second avec la vitesse également quelconque y.

Soit mm' une longueur prise à partir du point m, sur la droite oB et égale à x. Par les points m' et m menons deux droites, l'une m'm'\ parallèle à ma, l'autre mm" y normale à la première.

En désignant par &) la vitesse angulaire que la vitesse x du point m communique à la droite am > dans la rotation de cette droite autour du point a, et par C Tangle oma^ il vient

,^, mm" X sin C

am am

Par hypothèse, la droite nr tourne autour du point n avec la vitesse », et, en même temps , elle est entraînée par le point n qui glisse sur la droite oB avec la vitesse y. De là résultent pour la droite nr deux mouvements sumultanés, mais distincts et susceptibles d'être considérés séparément, l'un de rotation, l'autre de translation, tous deux d'ailleurs complètement définis.

Représentons par i^ la vitesse que la rotation de la droite nr autour du point n communique au point r sur la droite oA. L'angle orn étant égal à l'angle ona et, par conséquent, à C, supposons la longueur rr\ prise sur oA , égale à z, et par les points r\ r menons deux droites, l'une rV", parallèle à rn, l'autre rr'\ normale à la première. Le triangle rr'r" semblable au triangle mm'm" donne, comme tout à l'heure,

,, rr" i, sin C

nr fir

leurs vitesses actuelles et simultanées, il sullit d'une rotation qui commence autour de la droit>c D avec une vitesse angulaire égale au rapport de la vitesse v à la distance comprise entre le point o et la droite mn. De là et de ce qui précède résulte la déduction suivante :

5** Lorsqu'un solide tourne autour d'un point fixe y parmi les droites passant par ce point, il en est une dont l'état actuel de mouvement se réduit d zéro. Cette droite est désignée sous le nom d'kXE INSTANTANÉ DE ROTATION. Lcs vitcsses simultanécs des différents points du solide sont les mêmes que s'il tournait autour de cet axe , considéré comme fixe.

Supposons, en second lieu, que le point o participe au mouvement du solide, et désignons par u sa vitesse actuelle.

Si nous communiquons à tous les points du solide la vitesse u du point o^ il est visible que Tétat de mouvement de ce solide peut être considéré comme se composant d'une translation rc^ présentée par la vitesse u et dune rotation établie autour du point 0, comme si ce point était fixe.

Soit D la droite suivant laquelle Vaxe instantané de rotation serait dirigé, si la rotation établie autour du point o subsistait seule. La vitesse u du poin( opeut se décomposer en deux autres, Tune u' dirigée suivant la droite D, l'autre u" perpendiculaire à cette même droite. Il suit de là que Tétat de mouvement du solide se compose comme il suit :

Une rotation autour de la droite D ;

Un glissement u' suivant la droite D;

Une translation u" perpendiculaire à la droite D.

Considérons une droite D' parallèle à la droite D, liée au solide et telle que la vitesse communiquée à ses différents points par la rotation établie autour de la droite D soit précisément égale et de sens contraire à la vitesse u". 11 est visible que la droite D'existé nécessairement, qu'elle est unique * et que son état de mouvement

< La jlroite D' est située dans le plan mené par la droite D perpendiculairement à la direction de la vitesse u'\ La distance de la droite D' à la droite D

Règle générale de la différentiation d'un quotient. 41. En appliquant les déductions qui précèdent à la relation

on peut écrire immédiatement, comme conséquences des équations (1 ) et (6) dunMO,

ta\ ^ i . ^^ — ^ (2) . . . . y = ^(z ^ yx)= -— ;

De là résulte la règle générale énoncée comme il suit :

La différentielle d'un quotient s'obtient en soustrayant du produit du dénominateur par la différentielle du numérateur le produit du numérateur par la différentielle du dénominateur et en divisant le tout par le carré du dénominateur.

Dans le cas particulier où le numérateur du quotient donné est constant, la règle prend cet autre énoncé :

La différentielle du quotient d'une constante divisée par une variable s'obtient en formant le produit du numérateur par la différentielle du dénominateur, changeant ce produit de signe et le divisant par le carré du dénominateur.

Les règles établies dans ce numéro et dans celui qui précède sont d'un fréquent usage. Il importe de se familiariser avec elles, et plus généralement de s'exercer à la différentiation , comme on s'exerce au calcul en arithmétique et en algèbre, par des applications multipliées.