Étant donnée la fonction algébrique

on demande de déterminer la différentielle y.

Supposons d'abord que l'exposant m soit positif et entier, x"* est, en ce cas, le produit de m facteurs tous égaux à x. De là résulte immédiatement, d'après la règle générale exposée n® 10,

Supposons maintenant que Texposant m soit positif et fractionnaire. En le représentant par ^, on a

et par suite

De là résulte, en vertu de Téquation (2),

qyi-^y =r yx^^.x] et conséquemment

p ^-i t/ = — X* , X = mx"'~K X.

Supposons, en dernier lieu , que l'exposant vi soit négatif, entier

{ liO ) ou fractionnaire. £n le désignant par — /i ^ on a

De là résulte , d'après la règle du n*" \\ et conformément à l'équation (2) du présent numéro,

Concluons que , quel que soit l'exposant m , positif ou négatif, entier ou fractionnaire, eommensurable ou incommensurable *, la fonction algébrique*

a constamment pour différentielle

Ce résultat peut s'énoncer comme il suit, sous forme de règle générale:

La différentielle d'une puissance s'obtient en diminuant Vexpih saut d'une unité et en introduisant comme facteurs j d'une part j V exposant primitif y d'autre part y la différentielle de la quantité soumise à l'exposant,

i3. Le résultat établi ci-dessus conduit directement et par voie de réciprocité à la déduction suivante :

Étant donnée la relation

(1) y = car.-'.i,

ow c est une constante , il suffit d'obsen^er que le produit cx"*~*. x

1 La proposition établie pour une valeur quelconque fractionnaire de l*ex- ])osanl m , s'étend d'elle-même au cas d'une valeur quelconque inconunensurable.

est la différentielle de la fonction c ^ pour en conclure d'une manière générale, conformément au principe exposé n** 7,