ET SIMPLIFICATIONS

57. Résumons les règles du calcul différentiel, et comme l'exposé de ces règles n'exige point tous les développements donnés précédemment, montrons les simplifications qu'il comporte.

Partant des principes établis n**' 5, 4, 5 et 6, on peut démontrer immédiatement les propositions des n"" 26, 27, 28, 55 et 55, résumées conmie il suit :

i'* La différentielle d'une fonction de fonction s'obtient en prenant la dérivée de la fonction principale par rapport à la fonction secondaire considérée comme simple variable et en multi" pliant cette dérivée par la différentielle de la fonction secondaire.

2* La différentielle d'une fonction composée ou complexe est la somme des différentielles qu'on obtient en distinguant dans la fonction ses éléments variables , et en opérant tour à tour pour chaque élément distinct, comme s'il restait seul variable , tandis que tous les autres sont supposés constants.

5* Quel que soit l'ordre dans lequel on effectue plusieurs dérivations successives^ si l'ordre seul change, et que toutes choses soient égales, d'ailleurs, le résultat définitif reste toujours le fnéme.

Cela fait, on est en mesure de résoudre, en général ^ toutes les questions relatives à la différentiation simple ou répétée d'une fonction quelconque à une ou plusieurs variables.

S'agit-il ensuite d'applications particulières? Pour les rendre aussi faciles que les opérations les plus simples de l'algèbre, une seule chose reste à déterminer : ce sont les différentielles qui correspondent à chacune dos fonctions élémentaires.

On a TU comment la marche à suivre, pour la diffërentiatioii des fonctions élémentaires, peut être à la fois très-simple et trè»rapide , sans cesser néanmoins d*étre purement géométrique. La même observation s'applique, en général, à tous les théorèmes dont nous avons donné la démonstration et sur lesquels nous nous sommes appuyé pour établir les règles dont on a besoin. Parmi ces théorèmes, il en est deux moins simples que les autres : Tun a pour objet la différentiation des fonctions composées; l'autre est relatif à Tidentité des résultats fournis par plusieurs dérivations suc4!essives dont Tordre seul a été changé. Lorsqu'on veut, amsi que nous Pavons fait, suivre ici la voie purement géométrique, fl faut d^abord établir la propriété caractéristique du plan tangent i une surface et celle des tangentes réciproques : c'est ensuite, en se fondant sur ces propriétés que l'on en déduit les deux théorèmes rappelés ci-dessus. 11 n'échappera point au lecteur que ces deux théorèmes peuvent, comme nous l'avons montré % se déduire en quelques lignes du procédé général fourni par la méthode des limites et exposé géométriquement dans le n^ 8. Ici donc, s'il y a en apparence quelque complication , il suffit pour la faire disparaître, d'emprunter le secours de la méthode des limites. Dès lors tout devient extrêmement simple, et c'est, sans la moindre difficulté, que Ton parvient directement aux deux équations fondamentales

(I) z ^= z» -*- Zy

(2) /"i.yC^?, y) •==/';,«{«, y).

Veut-on, d'ailleurs, établir, comme conséquence immédiate, h propriété caractéristique du plan tangent et celle des tangentes conjuguées? Il ne reste plus qu'à considérer la surface représentée par l'équation

(5) z = f(xy y)y

' Voir les notes des n°" 27 et 33.

et à donner, pour cette surface, l'interprétation géométrique des équations (4 ) et (2).

Nous avons déjà fait voir ^ comment Téquation (i) a pour traduction géométrique l'énoncé suivant :

Le plan tangent en un point d'une surface contient, en général, les tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface et passant par ce point.

Montrons ici comment l'équation (2) peut aussi se traduire géométriquement.

Soit A la surface représentée par l'équation

Par hypothèse, la surface A est rapportée à trois axes choisis comme on veut, sous la condition que Taxe des z soit perpendiculaire à chacun des deux autres.

m étant un point quelconque de la surface A, soient s», Sy les deux sections faites en ce point, la première par un plan parallèle aux zxy la deuxième par un plan parallèle aux zy.

Désignons par a l'angle que fait, avec l'axe des x, la droite T, assujettie à toucher en m la section Sg. On a généralement

0) tg« = /;'{x, y),

X, y étant les coordonnées du point m.

De là résulte, pour le cas où le point m sort du lieu qu'il occupe en glissant sur la section Sy %

(2). .... « «= y Ay (a;, y). cos« «,

et, dans cette formule, à exprime la vitesse de rotation avec laquelle la tangente T^^ s'écarte angulairement de sa direction primitive.

•* Voir la note du n«» 27.

* Lorsqu'on différentie dans cette hypothèse, on doit considérer la variable ce .comme constante,

Soit C l'angle que fait avec Taxe des j^ la droite U, assujettie.! toucher en m la section Sy. En désignant par S la vitesse de rotation avec laquelle la tangente Uy s'écarte angulairement de sa direction primitive , lorsque le point m sort du lieu qu'il occupe en glissant sur la section S;^^ on a comme tout h l'heure

(3) é = xfl„(x, y). cos*6:

Supposons que le plan, qui touche en m la surface A, soit parallèle au plan des xy et que les vitesses x, y soient égales. Les angles a y ^s'annulant tous les deux, les sections «^^ ^y deviennent des sections normales, et Ton voit aisément que Fégalité des dérivées secondes f'x,y(Xj y), fy^^ (^y y) implique comme conséquence immédiate la relation très-simple

Gela posé, si Ton désigne sous le nom de tangentes réciproqtin les tangentes T„ Uy, qui se déterminent Tune par l'autre d'après les conditions mentionnées plus haut, on a renoncé suivant :

Lorsque deux tangentes réciproques sortent en même îenipSj it avec une égale vitesse, des sections normales qui les déterminent , leurs rotations autour des directions qu'elles suivent respectivement sont égales et de signe contraire *.

38. Veut-on procéder plus simplement encore? Veut-on établir toutes les règles de la différentiation, sans recourir à la méthode des limites, et sans emprunter d'autre secours que celui de la géométrie plane? Voici comment la marche à suivre peut devenir en même temps la plus prompte et la plus facile.

Établissons d'abord la règle générale, qui comprend toutes les autres.

Soit z une fonction composée ou complexe, dépendant k la fuis

* Voir au besoin la note du n<> 33, pour les éclaircissenieiits que cet énoncé suncînci peut laisser à désirer.

(i37 ) de deux variables x^ y et représentée par

Il s'agit de déterminer la différentielle i pour le cas général où les deux grandeurs x, y varient simultanément, lune avec la vitesse x, l'autre avec la vitesse y>

Désignons par i,et par fj (x, y) la différentielle et la dérivée qu'on obtient en opérant sur Téquation (1] dans Thypothèse y s= constante. De là résulte

(2) z^ = X fj(x,y).

On a de même, en désignant par i^ et par /y' (x, y ) la différentielle et la dérivée prises dans Thypothèse x == constante,

(3). ...... i, = y fy{x,y).

Soient OX, OZ deux axes coordonnés. L'équation (I) étant rapportée à ces axes, chaque valeur attribuée à y peut se combiner avec l'ensemble des valeurs admissibles pour x. En opérant ainsi , on obtient, pour chaque valeur de la variable y, une ligne s complètement déflnie de forme et de position.

'. «^ Soit ce' une détermination particulière

affectée par la ligne s et correspondante à ^ ' à une valeur quelconque déterminée de la variable y.

Représentons-nous la ligne s à Tinstant ^ précis où la variation continue de la gran- ^ deur y la fait' sortir du lieu ce' *. Chacun

La démoDstration développée dans le texte peut être remplacée par les cousidcrations suivantes, très-directes et très-simples.

Soit une ligne s assujettie à rester dans un plan P et à s'y déplacer en changeant déforme.

m' étant un point supposé fixe sur la lignes, désignons par D la tangente en ce point, et par w le lieu qu'il occupe dans le plan P, à Tinstant que l'on considère. Le point m' sortant , par hyiwthèse , du lieu n , on peut choisir arbi-

des points de la ligne $ peut être considéré comme sortant du lira qu'il occupe sur ce' en glissant le long de l'ordonnée correspondante, et puisque, dans ce glissement, le point quelconque àéVU' miné par l'abscisse x conserve cette même abscisse, il s'ensuit qae la vitesse de ce point a pour expression générale^

W ^y = y fvi^^y)'

Gela posé, deux cas sont possibles, selon que la dérivée partielle

trairement * la direction suivant laquelle il est censé sortir de ce lieu , et déte^ miner, en conséquence , sa vitesse actuelle. Soit v' cette vitesse et c/ la vitesse angulaire simultanée avec laquelle la droite D tourne autour du point m'.

Il est visible, que, abstraction faite du changement de forme qu^elle subit, b ligne s peut être considérée comme participant tout entière au mouvement de la droite D, c'est-à-dire comme tournant autour du point m' avec la vitesse»' et comme glissant dans le plan P avec la vitesse t/ rendue commune à tous ses points. Gela posé, s'il y a changement de forme, il ne peut plus résulter que d'un déplacement subi par les différents points de la ligne s par rapport à la droite D , cette droite étant regardée comme fixe et la ligne s comme assujettie à lui rester tangente au point m\

Soit m un point mobile assujetti à décrire la ligne s avec la vitesse o, et sortant ainsi du lieu n en même temps que le point m\ Désignons par u la vitesse totale qui anime le point m dans le plan P, au sortir du lieu n.

D'après ce qui précède, «7 est évident que la vitesse u résulte des deux corn' posantes v, V, de la même manière que si la ligne s persistait dans la forme qu'elle affecte à Vinstant considéré.

S'agit-il maintenant de la directrice du point m sur la ligne s? Il est clair que, sans altérer en rien le mouvement angulaire de cette directrice, on peut IXHk' jours restreindre à la partie située en avant du point m le changement de

* Lorsqu^on se donne une détermination particulière de la ligne s et an point qndconque m' supposé fixe sur cette ligne , toute droite fixe , qui est menée par le lien actuel de ce point et que la ligne t ne cesse pas de rencontrer an sortir du lieu qu'elle occupe, peut être considérée comme fixant, par rapport au point tn', la direction qn'il suit en se déplaçant avec la ligne s , à l'origine du changement qu'elle aobit. Si la ligne s ne changeait pas de forme , le choix de cette droite ne cesserait point pour eda de rester arbitraire. Il s'ensuivrait seulement que pour toute direction choisie en dehors de celle qui correspondrait à rinrariabilité de forme , la ligne s devrait 4lre conlidérée comme changeant en même temps de forme et de posiUon. Cetto dreoosUaet ne modifie en rien lea dédoetions suivantes.

ff (x,y)ne dépend pas de la variable x, ou qu'au contraire, elle ea est dépendante.

Considérons d'abord le premier cas, celui où la dérivée fy (x, y) ne dépend pas de la variable x. En ce cas, une même vitesse pa-< rallèle à FaxeOZ anime, en même temps, tous les points de la ligne s. La conséquence évidente est que cette ligne sort du lieu cd comme si elle était de forme invariable et qu'elle se mût par translation avec la vitesse iy parallèle k Taxe OZ.

Soit m un point mobile sur la ligne s et déterminé en position

forme subi par la ligne a. On sait, d'ailleurs, que dans la deseription d*une ligne par un point , la vitesse angulaire de la directrice dépend de la courbure de la ligne au lieu occupé par le point décrivant, et non pas delà rapidité plus ou moins grande avec laquelle cette courbure varie dans le passage d'un lieu à un autre. De là résultent immédiatement les déductions suivantes :

1<> La forme affectée par la ligne s en deçà du point m' peut être regardée comme invariable à partir de Tinstant où le point m sort du lieu n,

2* Si, plus tard, il y a changement de forme pour la partie de la ligne s située au delà du point m\ ce changement n'a d'autre effet que de modifier la rapidité plus ou moins grande avec laquelle la courbure varie sur la ligne s à partir du point m',

30 Lorsque le point m sort du Heu n, la directrice de ce point sur la ligne s tourne, par rapport à la droite D, avec la même vitesse que si la ligne s persistait dans sa forme actuelle.

A^ En désignant cette vitesse par «0, la vitesse totale èL avec laquelle la directrice du point m sur la ligne s tourne dans le plan P, au sortir du lieu n , est égale à la somme lo -4- cd' = ix.

Les résultats qui précèdent se résument en un théorème susceptible d'être énoncé coumie il suit :

Loraqv^une ligne de forme incessamment variable est décrite par un point mobile, Vétat de mouvement de ce point et celui de sa directrice sont les mêmes que si la ligne persistait dans la forme qu'elle affecte à rinstant que Von considère, rien, bailleurs, n'étant changé ni dans la vitesse du lieu occupé sur la ligne par le point décrivant, ni dans la vitesse angulaire de la tangente en ce lieu.

La partie de cette démonstration qui se rapporte à la détermination de la vitesse totale u suffit pour qu'on puisse en déduire immédiatement la relation générale i^ssiZg -f- iy, et , comme conséquence de cette relation , l'égalité finale A = «' -h to, (Voir au besoin le texte du n» 38 et la première note du n® 39.)

par les valeurs attribuées eu même temps, Tune à la variable]^, l'autre à la variable x. Supposons d'abord le point m placé en h sur la ligne cc\ Lorsque les grandeurs x, y varient simultanément, la ligne s sort du lieu ce' en se déplaçant par translatioD avec la vitesse iy commune à tous ses points. 11 suit de là qu'elle communique au point m cette même vitesse. D'un autre côté, le point m glisse sur la ligne $ comme si elle était invariable et fixe, c'est-à-dire comme si la grandeur y demeurait constante* De là résulte pour le point m une vitesse propre, dirigée suivant la tangente en n à la ligne ce' et ayant pour composante parallèle à l'axe OZ la vitesse i,. Cette composante s'ajoute à la vitesse z^, de manière à former la vitesse totale i : on a donc, en conséquence ,

(5). . . . i == i, + iy = à- /;' (x, y) -h y fy (x, y).

Considérons, en second lieu, le cas où la dérivée^' (x, y) dépend de la variable x, et désignons par m! le point de la ligne s qui sort du lieu n en glissant sur l'ordonnée pn. En ce cas, la vitesse i, est variable avec x pour les différents points de la ligne cc\ Rien, d'ailleurs, n'est changé ni dans la vitesse i, avec laquelle le point m' glisse sur l'ordonnée pn au sortir du lieu Uy ni dans la vitesse z^ avec laquelle le point m s'écarte en même temps du point m'. La seule modification consiste en ce que la directrice du point m sur la ligne 5, au lieu de tourner, comme dans le premier cas, avec la vitesse qui correspond à la courbure affectée en n par la ligne cc'^ tourne avec cette même vitesse accrue ou diminuée d'une certaine quantité *. Or, ici , il n'importe en rien que cette directrice tourne plus ou moins vite : cela n'altère ni sa direction première,

* On peut se représenter la ligne cc^ comme glissant, sans changer de forme, avec la vitesse du point m' sur Tordonnée pn, et comme toomant en même temps autour de ce point de manière à ramener le point m sur sa trajectoire. Cette rotation devant être prise à Tinstant précis oh le point m sort du lieu n et se confond, en conséquence, avec le point m', il est visible qa*elle n'altère, ni en direction , ni en grandeur, la vitesse actuelle du point m sur la ligne cc\

ni la vitesse qui anime le point m suivant cette même direction. On a donc, comme dans le premier cas,

(6). ; . . i =i= i, -*-. iy = ir /*/ (x, y) -4- y fy' {x, y) \

* Étant données trois droites parallèles et non situées dans un même plan , prenons ces droites pour lieux des points qui décrivent les longueurs substitnées comme équivalents numériques aux grandeurs x, y, z. Soient a, 5, c, trois positicms simultanées des points décrivants et P le plan qu'elles déterminent. Par hypothèse, le point a correspond à la grandeur œ, le point b à grandeur y, le point c à la grandeur z. Sur la droite ca déterminons le point /•par la condition -^ = ^'(a?, y) et tirons la droite hf. Il est visible qu'une rotation établie autour de hf de manière à communiquer au point a la vitesse X communique en même temps au point t la vitesse

i, = l^x = x. fx{or,y).

af

Fig. 37.

Sur la droite cb déterminons le point g par la condition ^ = fy' {x, y)

et tirons la droite ag. Il est visible qu'une rotation établie autour de ag de manière à communiquer au point b la vitesse y, communique en même tem))s au point c la vitesse

go

Soit t le point d'intersection des deux droites bf, ag. Les rotations établies autour de ces droites se composent en une rotation unique établie autour d^uné droite passant par le point t et communiquant au point c la vitesse totale

js = a, -f- a.

xU{oo,y)-\-yfy'(x,y).

De là résulte, eu égard à l'équation (6) du n<> 38, la conclusion suivante :

li existe un point i complètement déterminé par rapport aux points a , b, c, par les valeurs respectives des dérivées partielles fx' (x, y), fy' (x, y). La dépendance établie entre les vitesses simultanées x, y, z, par l'équation

Pour étendre la règle exprimée par TéqualioD (6) aux fonctions qui comprennent un nombre quelconque de variables, il suifit de réduire ce nombre à deux au moyen des relations qui subsistent entre les variables données ou qu'on peut établir entre elles arbitrairement. De là résulte la règle générale énoncée comme il suit :

La différentielte d'une fonction composée ou complexe est la somme des différentielles qu'on obtient en distinguant dans la fonction ses éléments variables, et en opérant successivement pour chaque élément distinct comme s'il était seul variable, tandis que tous les autres sont supposés constants.