UO

Supposons qae le point n coïncide avec le point O et qu'il sorte de cette position en glissant suivant OX avec la vitesse i : Fangle tétant nul, l'équation (4) devient

(S) y^, = xi,.

Mais alors, de même que le point n se confond avec le point m, et la droite D avec la tangente U , de même aussi la vitesse angulaire àg est celle de cette même tangente à l'origine de son déplacement.

Prenons la droite OL {fig. 29) de manière qu'elle divise en deux parties égales Fangle XOY. Il vient en ce cas x s=^; et l'équation (5) donne en conséquence

Traduite en langage ordinaire, l'équation (6) exprime une propriété curieuse qui comporte de nombreuses applications et qu'on peut énoncer comme il suit :

Soit P un plan tangent en à une surface A; OX, OT les traces sur le plan P de deux sections normales N«, N,. Nous désignons sous le nom de tangentes réciproques deux tangentes conjuguées entre elles et respectivement assujetties. Tune à rester parallèle au plan de la section N;, tandis que son point de contact glisse sur la section Ny, l'autre à rester parallèle au plan de la section N, tandis que son point de contact glisse sur la section N^

Gela posé, voici l'énoncé dont il s'agit :

Lorsque deux tangentes réciproques sortent en même temps ei avec une égale vitesse des sections normales qui les déterminent, leurs rotations autotêr des directions qu'elles suivent respectivement sont égales et de signe contraire ^

* Lorsqu*un solide tourne autour d'un axe, on représente sa vitesse de rotaUon par une portion de Taxe égale en longueur à la grandeur de cette même vitesse. On tient compte du sens en fixant sur un point quelconque de Taxe Torigine de la longueur prise pour mesure de la vitesse et portant cette longueur du c6té où la rotation s'effectue de gauche à droite pour un observateur placé le long de Taxe, les pieds à t origine.

On observera que Pégalité des vitesses angulaires i,, C^ implique relie des

54. Le théorème que uous venons d'énoncer peut s'établir à priwi de plusieurs façons différentes. Bornons-nous à en donner ici une seconde démonstration *.

Sans rien changer à ce qui précède , supposons Taxe OX déterminé de manière à coïncider avec la caractéristique du plan P, cette caractéristique étant prise dans Thypothèse où le plan P se déplace en touchant la surface A le long de la section N, **. A Torigine de son déplacement, la tangente Ty est animée de deux mouvements simultanés, l'un de translation s'effectuant avec la vitesse jr, l'autre de rotation autour de la caractéristique OX. Ces deux mouvements n'altérant en rien la direction de la tangente Ty, il s'ensuit que Ton a nécessairement

De là résulte la conséquence suivante :

La séparation des points m^, m^ s'effectue, au sortir du lieu 0, comme s'ils se mouvaient simultanément, avec la vitesse commune X sur deux droites distinctes , et qu'en même temps ces deux droites, d'abord confondues en OX, s'écartassent Tune de l'autre avec la vitesse y et tournassent parallèlement au plan ZOX , Tune autour du point m^, l'autre autour du point m^, toutes deux d'ailleurs avec une seule et même vitesse ô^^.

rotations introduites au lieu de ces vitesses dans renoncé donné comme traduction de réquation (6). Pour le voir, il suffit de faire les remarques suivantes :

1° La vitesse ày résulte d'une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan ZOX. Elle équivaut, en ce qui concerne la tangente ty, à la rotation dy : sio XOY autour de Taxe OY ;

2o La vitesse Ce résulte d'une rotation autour d'un axe perpendiculaire au l>lan ZOY. Elle équivaut, en ce qui concerne la tangente U, à la rotation Ce ' sin XOY autour de l'axe OX.

Il est clair, en effet, que l'égalité des vitesses angulaires à^ et À implique celle des rotations équivalentes à, : sin XOY , d ^ sin XOY.

* Nous renvoyons aux applications géométriques pour d'autres démonstrations , moins directes peut-être, mais plus rapides et plus simples.

*' On sait que ce déplacement commence par rotation autour d'une droite passant par le point et située dans le plan P. C'est cette droite qu'on désigne sous le nom de caractéristique.

Lldentité, qui s'établit ainsi de part et d'autre, montre évidemment qu'à l'origine du déplacement de la tangente U, la vitesse angulaire de cette tangente est égale à zéro. On a donc, comme cooséquence de l'équation (i):

Plaçons -nous dans l'hypothèse où le plan P se déplace en touchant la surface A le long de la section N^, et cherchons ce que devient alors sa caractéristique. Pour reconnaître qu'elle coïncide avec Taxe OY, il suffit d'observer qu'en ce cas l'équation (2) subsiste nécessairement, tandis que pour toute autre position cette même équation deviendrait impossible K Concluons que l'équation (i) subsistant comme conséquence de l'équation (1), il y a de part et d'autre réciprocité complète, c'est-à-dire que si, d'une part, l'axe OX est la caractéristique du plan P pour un déplacement du point de contact dirigé suivant l'axe OY, réciproquement Taxe OY Q«t la caractéristique du plan P pour un déplacement du point de contact dirigé suivant l'axe OX. Liées entre elles d'après ces eondîtions les deux caractéristiques OX, OY prennent le nom de caractéristiques conjuguées.

Cela posé, considérons les tangentes réciproques déterminées par les sections normales N^, Nt fig. 34. L'une est parallèle au plan N| et son point de contact glisse suivant N^. L'autre est parallèle au plan N^ et son point de contact glisse suivant N^.

S'agit-il d'abord de la première? à l'origine de son déplacement , elle a même mouvement angulaire que l'intersection du plan N| avec le plan P supposé mobile le long de la section N. et tournant, en conséquence, autour de la caractéristique oY.

Soit nij, le point de contact supposé mobile suivant la section N« et V la vitesse de ce point au sortir du lieu o. Si nous représentons par w la rotation de la directrice du point m, pour une

* Si la caractérislique du plan P n'était point dirigée suivant Taxe OY, la rotation qui commence autour de cette caractéristique équivaudrait à deux rotations simultanées, Tune autour de Taxe OY, Tautre autour d'une perpendiculaire à cet axe. La conséquence éYidente est que réqnatipn (2) ne terait pas. ^

vitesse de ce point égale à Tunilé, il s'ensuit que la rotation correspondante à la vitesse v a pour expression le produi t v. w.

Elevons en o une perpendiculaire à la droite oX , et sur cette perpendiculaire, située dans le plan P, prenons la longueur oa égale au produit v. w.

Si par le point a nous menons une parallèle koX, il' est visible que la longueur ob, interceptée sur oY par cette parallèle, représente la rotation du plan P autour de la caractéristique oY. Par le point 6 menons une parallèle à oL et désignons par e le point où cette parallèle vient couper Taxe oX. Le segment oe représente la rotation de la première tangente réciproque autour de la direction suivie par son point de contact.

S'agit-il, en second lieu, de la tangente réciproque qui reste parallèle au plan N» et dont le point de contact glisse suivant N^? En désignant par à la vitesse angulaire qui anime cette droite à Torigine de son déplacement, on a, conformément aux déductions des numéros 27 et 28 ,

ûi

D'un autre coté, nous venons de voir que la vitesse angulaire ây se réduit ici à zéro. On a donc simplement

eigm

Par le point c, où le prolongement de la droite ba vient couper la droite oL, menons la droite en parallèle à Taxe oY, et désignons par n le point d'intersection de cette parallèle avec Taxe oX.

Si le point de contact supposé mobile sur N^ sortait du lieu o avec la vitesse oc, la rotation â^ autour de l'axe oa serait représentée par le produit on. w. 11 s'ensuit que, pour une vitesse de

ec point prise égale à v, comme dans le premier cas, il vient immédiatement

à =z d, =i on, w — = — • oa^

oc oc

Prenons sur oa la longueur oa'j égale ii—^oa, et achevons le triangle oa!c\ semUable au triangle oac.

La rotation oa' se décompose en deux autres , Tune oc' ayant pour axe la direction suivie , Tautre représentée par c'a\ et ayant pour axe la droite oX. Celle-ci n'influe en rien sur la vitesse angulaire h, : on peut donc en faire abstraction et considérer exclusivement la rotation composante oc\ On a d'ailleurs

, oc on oc , •

oc = ott . — = oa» — • — =s on =5 6c = oc.

oa oc oa

On voit ainsi que les deux rotations considérées sont égales et de sens contraire^ conformément à l'énoncé du numéro précédent '.

* Montrons, par anticipation, un exemple des ressources qu'offre notre méthode pour résoudre les questions de géométrie transcendante.

Reprenons les données du n? 33, en supposant, comme au n° 34, que les droites oX , oY soient deux caractéristiques conjuguées.

La droite T<, entraînée par le point m^, tourne autour de Taxe oY avec une vitesse facile à déterminer, en se reportant aux déductions du n« 34, et représentée comme il suit

Fig. 3$.

R sin il

R étant , pour le point o , le rayon de courbure de la section N, et y Tangle que fout entre elles les deux caractéristiques oX, oY.

Substituons les x aux y et réciproquemeut.

La droite T| est remplacée par une droite Ui tangente en m/ à la surface A et parallèle au plan Ny. Il s'ensuit d'ailleurs que la droite l-i

2^ Des dérivées successives d'une fonction de plusieurs variables.

35. Soit f(x, y) une fonction à deux variables; x^^ y^ deux valeurs quelconques déterminées de ces variables ; a, 6 les valeurs

tourne autour de Taxe oX avec une vitesse représentée par

R' sin ^ '

R' étant, pour le point o, le rayon de courbure de la section Ny. Prenons, à partir du point o sur les droites oX, oY, deux longueurs op, oq

Tune op égale au quotient ^r^. — , l'autre oq égale au quotient j> f •

Si nous achevons le parallélogramme optq, la diagonale ot représente en direction , sens et grandeur la rotation du plan P supposé mobile avec le point mi et tangent en ce point à la surface Â.

Désignons par y, y' les angles que la direction oL fait avec les axes oX, oY. Les perpendiculaires abaissées sur OL des points p ti q sont représentées respectivement , la première par

y sin Y

pp' = op siu y = ^7"^^ — ; '^^ '^ R' sm If

la deuxième par

i; sin y'

qq' = oq sin y' = rr-—.

^^ ^ . R sm ly

On voit d'ailleurs aisément que la vitesse angulaire de la directrice du point mi sur la ligue ISi est représentée par la sonuue de ces deux perpen^ diculaires.

Soit p (pour le point o) le rayon de courbure de la section N^; t? =:oc la vitesse du point m^, au sortir du lieu o (fig. 54); to Ja vitesse angulaire de la directrice du point mj. On a d'abord

1 w i fif siii y 05 sin y' \

' ' p V oc \W sin if R sin jy / '

et, en même temps (voirflg. 34, page 143)

À- sin ly y sin uf

(2) oc ^ —. ;- = —,

^ ' sm y' sm y

De là résulte,' eu substituant,

sin* jf sin* y' sin* y

L'équation (3) est l'équation polaire d'une ellipse ayant son centre en o et

correspondantes des dérivées partielles /L'{x, y), f^ (x, y). Nous avons, par hypothèse,

Posons (i) ^ = f{x, y) — aar — 6y,

et considérons la surface A, représentée par l'équation (I), dans un système quelconque où l'axe des z soit perpendiculaire à ceux des X et des y.

m étant un point pris, comme on veut, sur la surface A, soient P et Q les deux sections planes qui se coupent en m et qui sont respectivement parallèles. Tune P au plan des zx^Fautre Q au plan des zy. Si Ton désigne par a Tangle qu'une tangente à une section quelconque parallèle au plan des zx fait avec Taxe des x, on a généralement

(2) tg. a = /•;(x, y) — a.

De là résulte pour la vitesse angulaire dy avec laquelle cette tangente tourne, lorsque son point de contact est en m sur la section P et qu'il se déplace suivant la section Q,

(3) àg=yriy{x,y).cos*a\

Soit € Tangle qu'une tangente à une section plane parallèle au plan des zy fait avec Taxe des y^ on a, de même,

(4) tg. ?=/-;(x,t,)- b,

pour rayon vecteur v = [/p. La considéralion de cette ellipse, coiuiae sous le nom (ï indicatrice, et dont les droites oX, oY sont des diamètres coiyagués, montre qu'en général, les caractéristic[ues conjuguées se coofoodoit avec ces diamètres, et que les rayons de courbure des secUons nonnales soot rc|>résenlés par les carrés des rayons vecteurs correspondants. Noos revie»drons plus loin sur ces détails quMl suffit ici d'indiquer.

' On voit aisément comment les éciuations (2) , (3), (4), (3) se déduisent de (m; ({ui précède et, aussi, comment on peut les établir directement par voie géométrique.

et^ désignant par ^ la vitesse angulaire avec laquelle tourne cette tangente lorsque son point de contact est en m sur la section Q et qu'il se déplace suivant la section P :

(S) ^ = ^- Ty.» (^^ y )• cos* ^•

Supposons le point m déterminé par les valeurs

a: = X|, y = Vi

les équations (2) et (4) donnent

tg. a = 0, tg. G = 0,

Il en résulte que le plan , mené par le point m parallèlement au plan des xy^ touche en ce point la surface A, et, par suite ^ que l'équation (5) du n"" 33 devenant applicable, on a nécessairement

Mais, d'un autre côté, les équations (5) et (5) donnent en même temps

Il vient donc en substituant, supprimant le facteur commun x.y et remplaçant par a;, i/ les valeurs quelconques déterminées

f'iy[^yy) = f'y.xi^^yy- ' L'équation fondamentale

rx,y(a?, y)=^ ry,z(X, y),

peut s'établir à priori de la manière suivante : On a, conformément à la règle du n<> 8,

et remplaçant y par y -t- a y.

(2) . . lim '-^ ■ — = f *{x, y-t- Ay).

On déduit de là, en soustrayant membre à membre Téquation (1) de Té-

On voit ainsi que, dans le cas de deux dérivations laites successivement par rapport h deux variables, le résultat définitif est indépendant de Tordre suivi dans ces dérivations. Cette conséquence s'étend d'elle-même h un nombre quelconque de dérivations successives faites sur une même fonction de n variables. De là, le principe général énoncé comme il suit :

Quel que soit r ordre dans lequel on effectue plusieurs dérivations successives , si l'ordre seul change et que toutes choses SOIENT ÉGALES d' AILLEURS , le résultat définitif reste toujours le même.

qualion (2) et divisant par ^y

. f( x-k-^œ, y'^^y) — f{x,y-^^y) — f(X'\-x^, y)'^f(x,y ) lim — ■ ■

Gela posé, puisque, par hypothèse, les quautités ùkX et ày convergent eu même temps vers zéro, l'équation (3) devient

(4) lim A'g-H^^>y-^At/)-A^>y-^Ay)-Aa?-4-Ad?,y)-t-/'(a?,y) __^„ ^^^^^

AJ7. Aî/ ''*

Le premier membre de réqualion (4) resterait évidemment le même, si l'on répétait les opérations précédentes en opérant sur y, comme on Ta fait sur X et réciproquement.

De là résulte immédiatement :

(3) f:,y(J!.y)=flJ^'y)- C.Q.F.D.

Partant de ce résultat et procédant directement sur la surface représentée par récpiation

on a d'abord comme au n«> 33,

^y=' ii f'iyi^> y)- c^s* '^, 4 = i^ï, X i^> y) <î^s* ^'

et ensuite, eu égard à l'équation (5), de la présente note

yCt x.ay

cos' b cos* a

De là se déduit, comme conséquence immédiate, le théorème des tangentes réciproques établi ci-dessus n^ 33.

Les conventions adoptées pour représenter les dérivées successives et partielles d'une fonction à plusieurs variables , sont les suivantes :

Soit

une fonction des variables x, y, w, etc. On écrit

et, généralement,

fl,,..,(x,y,n....) = [a^aydu....} '

le nombre des dérivations étant toujours marqué par Findice supérieur, et leur ordre successif, ainsi que les variables auxquelles elles se rapportent, par les signes inférieurs.

3** Des différentielles totales et partielles de tous les ordres.

56. Soient n variables liées entre elles par p relations : la différence n — p exprime le nombre des variables dont on peut disposer arbitrairement, soit en les faisant croître ou décroître avec uniformité , soit en établissant entre elles des relations quelconques exprimées ou sous-en tendues. Les variables dont on dispose, et qu'on assujettit à croître ou décroître d'une manière uniforme , sont dites indépendantes; leurs différentielles du premier ordre sont des constantes, et, par suite, leurs différentielles des ordres supérieurs sont toutes égales à zéro.

Dans tous les cas, lors même qu'il y aurait autant d'équations simultanées que de variables moins une, on peut toujours introduire par la pensée une nouvelle \\iv\d\At , prise pour variable indépendante y et, afin que toutes les autres en deviennent fonction, concevoir au besoin line ou plusieurs relations arbitraires, que l'on ne détermine point aussi longtemps qu'on le juge convenable, et dont pourtant ilest toujours permis de disposer. Ce

simple artifice est souvent d'un grand secours , soit pour faciliter les déductions , soit pour les éclairer davantage.

En se reportant au n** 27, il est aisé de voir que la di£FérentieIle d'une fonction à plusieurs variables est la somme des diflférentielles que Ton obtient en opérant tour à tour sur chaque variable, comme si elle variait seule, tandis que toutes les autres sont supposées constantes. Chacune des dl£férentielles que Ton obtient successivement est dite différentielle partielle : leur somme est la différentielle totale de la fonction considérée.

Gela posé, montrons, par un exemple, comment on procède en général.

Soit une fonction à deux variables,

On a d'abord (1) . . i«ix •+- iy = x/;'(x,y) + y^/(a:,y), ou , ce qui revient au même, sous une autre forme,

Il vient, en second lieu ,

( + xf^(x,y) + yf'y{Xyy), ou, ce qui revient au même, la forme seule étant changée,

dy.

' 11 importe de ne point perdre de vue que les expressions fractionnaires

idxdy] * sont de purs symboles et non pas des quotients,

Et ainsi de suite^ indéfiniment, les résultats obtenus pouvant s -appliquer à tous les cas possibles.

S'agit'il d'une fonction implicite

f(Xy y) = cons**.

Pour passer du cas général à celui dont il s'agit actuellement, il suffit dé poser

z «SB cons**,

et, par suite, de réduire à zéro les di£férentielles successives dz, éPzj (Pz, etc.

Considérons en particulier le cas où les variables x, y étant indépendantes , on les assujettit à croître ou à décroître uniformément. Il vient alors

(5) . . . x = dx==eons*% y = dy = cons*%

et, par conséquent, pour toute valeur de n supérieure à Funité,

Les fprmules (1), (3), etc., deviennent, en conséquence,

i == ijp -♦- iy

Les formules équivalentes (2), (4), etc., deviennent en même

* Le symbole Zx,y exprime le résultat de deux différentiations opérées successivement, la première en considérant y comme constant, la seconde en considérant comme constantes les deux quantités œ et x.

temps ,

On observera que l'hypothèse où nous venons de nous placer est restrictive. Ainsi, par exemple, s'il s^agit d'une surface ayant pour équation

par cela seul qu'on suppose les deux vitesses x et y constantes, il en résulte que le rapport des accroissements simultanés àx et Ay est lui-même constant, et, par suite, que la variable y devient une fonction linéaire de la variable x, La conséquence est que les valeurs, exprimées ci-dessus pour les différentielles des ordres supérieurs, s'appliquent exclusivement aux sections planes faites dans la surface parallèlement à l'axe des z.

Il est visible que les déductions précédentes s'étendent d'ellesmêmes à un nombre quelconque de variables liées entre elles par une ou plusieurs équations. 11 s'ensuit qu'on peut dès à présent effeotuer la différentiation d'une fonction quelconque, et c'est, dans la simple application des règles exposées ci-dessus que se résout tout entier le calcul différentiel proprement dit.