AB' A'B' AA

Supposons que Tune des trois longueurs AB', A'B', AA' soit prise pour mesure de la vitesse qui lui correspond; la même condition s'applique en même temps à chacune des deux autres. Ce résultat est connu sous le nom de parallélogramme des vitesses. On peut l'énoncer, comme il suit, sous forme de règle générale :

<'* RÈGLE. — Le point m éta7it animé de deux vitesses actuelles Fia, 2. ^^ simultanées , représentées en direction, seîis et grandeur par les portions de droites ma, mb, la vitesse résultante est représentée en direction y sens et grandeur par la diagonale mn du parallélogramme manb construit sur les côtés ma, mb.

La réciproque est d'ailleurs évidente. On peut donc dire aussi comme règle générale :

2"* RÈGLE. — Étant donnée la droite mn qui représente en directioHy sens et grandeur la vitesse actuelle du point m, si sur cette droite, prise pour diagonale, on construit un parallélogramme quelconque manb , la vitesse du point m peut être considérée comme résultant de deux vitesses simultanées, représentées en direction , sens et grandeur, par les côtés ma , mb.

De là résulte encore cette autre règle :

3"* RÈGLE. — Étant doîinées l'une des deux composantes de la vitesse d'un point, et la directio7i de l'autre composante, si l'on trace à partir du point la composante connue et que, par son extrémité, l'on mène une parallèle à l'autre composante, l'extrémité de la résultante est située sur cette parallèle.

Le point m pouvant être considéré comme décrivant la droite

ÂB', on observera que les vitesses u, u' sont en même temps, d'une part, les composantes de la vitesse v suivant les directions AC, AL, d'autre part, les vitesses des projections du point m sur deux axes coordonnés parallèles à ces directions '.

DU DÉPLACEMENT d'ON POINT SUR UNE COURBE.

Détermination de la vitesse,

3. Considérons un point sortant de la position qu*il occupe : ce point est animé d'une certaine vitesse. Ainsi que toutes les gran-

* On reconnatt aisément qne les résultats du n^ 2 s'appliquent à tout mouvement simultané d'an point sur une droite et de la projection de ce point sur une autre droite, les lignes projetantes étant toutes parallèles à un même plan. Soit m le point mobile, AB la droite qu'il décrit, P un plan de direction

constante passant par le point m , D une droite fixe, p ^*9» •• jg poiuj qj, ig plan p coupe la droite D.

Prenons sur la droite AB un point quelconque A , et par ce point, menons la droite AC parallèle à la droite D. n étant le point où le plan P coupe la droite AC, il est aisé de voir que la droite mn est de direc» tion constante*et que le point n se meut sur AC , comme le point p se meut sur la droite D. On peut donc substituer le point n au point p : le mouvement /" de l'un sera le mouvement de l'autre.

La droite mn étant de direction constante, rien n'empêche qu'on n'assujettisse, en outre, le point n à conserver sur cette droite une seule et même position. Dès lors le mouvement de la droite mn est complètement déterminé par celui du point m. Il en résulte :

1° Que le mouvement du point n sur AC est complètement déterminé par le mouvement du point m sur AB ;

2« Qu'à un seul et même état de mouvement du point m sur AB correspond un seul et même état de Ynouvement du point n sur AC.

Cela posé, v étant la vitesse actuelle du point m sur AB, il n'importe m rien que cette vitesse soit- constante ou bien incessamment variable. Dans un cas comme dans l'autre, il ne pf'ut jamais y avoir, pour la vitesse actuelle et simultanée du point n sur AC, qu'une seule et même. détermination, celte qui correspond à la vilcsse r supposée constante.

deurs mathématiques, cette vitesse peut être constante ou bien incessamment variable. Dans tous les cas , elle est à chaque instant complètement déterminée. Lorsqu'elle varie et qu'on veut exprimer ce qu'elle est pour une position donnée du point mobile , on considère exclusivement la détermination particulière qui correspond à la position donnée. On suppose qu'à partir de cette position y la vitesse demeure invariable, et l'on procède comme si elle rétait effectivement. Par ce simple artifice^ le cas des vitesses variables se ramène au cas des vitesses constantes, et les règles établies pour celui-ci s'appliquent à celui-là. Soit abc une courbe plane et AP , AQ deux droites quelconques .. , situées dans le plan de cette

courbe. Imaginons que le point A de la droite AQ se déplace uniformément le long de la droite AP, la ^^ droite AQ se mouvant tout ^, entière avec le point A, et conservant toujours une seule et même direction. Soit Q a le point où la droite AQ rencontre d'abord la courbe abc. Concevons un point m mobile sur la droite AQ et s'y déplaçant k partir du point a de manière à occuper sans cesse la position précise où la droite AQ coupe la courbe abc. Cela revient à dire que le point m décrit tout à la fois la droite mobile AQ et la courbe fixe abc.

Soit u la vitesse du point A sur la droite fixe AP et u* celle du point m sur la droite mobile AQ. Par hypothèse, la vitesse u est constante : si la vitesse u' Tétait, en même temps, pour une portion quelconque de la droite AQ, il s'ensuivrait que la ligne, décrite par le point m dans le plan PAQ, serait droite sur toute l'étendue correspondante à celte portion. Or la ligne décrite est la ligne abc, supposée courbe dans toutes ses parties, la vitesse u' est donc incessamment variable ^

^ Toute variation incessante est nécessairement continue. Gela ne veut point dire que la vitesse w' ne peut subir aucun changement brusque sur toute

Considérons la droite AQ dans une position quelconque A'Q'. Le point m est alors en 6 et les vitesses qui l'animent simultanément sont Tune «, l'autre tù\ Construisons d'après la règle du parallélogramme, la résultante v des vitesses actuelles ti, u\ La composante u est constante en grandeur ainsi qu'en direction; la composante w' est aussi constante en direction, mais sa grandeur varie sans cesse à partir du point 6, au delà comme en deçà. La conséquence est qu'à partir du point b, au delà comme en deçà , la vitesse v a une direction incessamment variable.

Soit n un point pris sur la courbe abc, h proximité du point 6. Projetons ce point sur A'Q' par une droite 7io parallèle à PA. Les longueurs bn, bo se correspondent, étant toutes deux décrites simultanément par le point m, l'une sur la courbe fixe abc, l'autre sur la droite mobile AQ. Supposons la longueur bîi suffisamment petite : dès lors nous pouvons admettre que la grandeur u' varie continûment de 6 en o, et qu'en outre, elle est constamment croissante ou constamment décroissante dans toute l'étendue de cet intervalle. Admettons que de 6 en o , la grandeur w' soit constamment croissante : il en résulte que de 6 en n l'angle de la droite A'Q' avec la vitesse v décroît continûment. Soient bî, bf, les directions de la vitesse v, l'une en b, l'autre en n : si la grandeur

retendue de la courbe abc. Cela veut dire que , sMI y a des chaDgements brusques, ils se succèdent à certains intervalles , pendant chacun des(iuels1a continuité subsiste sans interruption.

Cette observation ne s'applique pas seulement à la grandeur de la vitesse u'. Elle s'applique en même temps à la direction de la vitesse du point m sur-la courbe abc. On voit d'ailleurs que cette grandeur et cette direction dépendent Tune de l'autre, et qu'à cet égard, elles varient toutes deux dans les mêmes conditions.

En résumé, Ton peut et l'on doit poser comme axiome le principe suivant , qui, s'il n'est pas toujours exprimé, est au moins toujours sous-entendu.:

Toute variation f supposée incessante et ayant une origine quelconque déterminée, est nécessairement continue sur une étendue plus ou moins grande , comptée à partir de cette origine.

Ce principe ne saurait être contesté, par cela seul que toute hypothèse contraire est un non-sens impliquant absurdité et contradiction.

v! demeurait constante sur la longueur 60, selon qu'elle affecterait la valeur qui correspond au point 6^ ou celle qui correspond au point Oy le point m décrirait la droite hi ou la droite 6/*. En réalité . la grandeur v! croît continûment de 6 en 0, et, en même temps Tangle de la vitesse v avec la droite A'Q' décroît continûment depuis la valeur o6i jusqu'à la valeur 06/*. La ligne décrite par le point ^ de. 6 en n est donc nécessairement comprise entre les droites 6/, &/"(*). Cela posé, imaginons que le point n et sa projection o se rapprochent indéfiniment du point 6. Dans cette hypothèse, la droite 6/" tourne autour du point 6 et se rapproche indéfiniment de la droite 6e : rien ne change d'ailleurs ; il y a donc

(*) Pour ne laisser aucun doute sur cette déduction, nous allons la démontrer avec une entière rigueur.

Par le point h menons une droite he parallèle à PA et considérons le mouvement du point m , à partir du ^^* point 6, sur l'arc \m' égal à hn ou

plus petit.

Soient e', t', n' , f les points de

rencontre des lignes he , 61, hn ,

f „ hf avec une même droite A"Q"

^ parallèle à*AQ. Soient en même

temps u'b , et u'o les valeurs de

la vitesse u' aux points h et 0.

Tandis que la drojte AQ se transporte de A'Q' en A"Q", le point m décrit sur cette droite la longueur e'n'. La vitesse qui anime le point m pendant cette description et suivant cette droite, commence par être égale à ii'b : elle est d'ailleurs constamment croissante et toujours inférieure à w'o*, si cette vitesse, au lieu de varier comme elle le fait, demeurait constante, selon qu'elle serait égale à %^b ou à ii'ot 1^ longueur décrite par le point m sur la droite AQ serait moindre ou plus grande qu*ellc l'est effectivement. Or, dans le premier cas, cette longueur serait e'i\ et dans le second e'f. On a donc nécessairement, d'une part,

et, d'autre part,

en' > e'i' e'n' < e'/"

La conséquence évidente est que l'arc hn' est tout entier compris entre les deux droites 61, hf. C. Q. F. D.

toujours 9 à partir du point 6^ une portion de l*are 6c comprise entre la droite fixe bi et la droite mobile (/*.

Nous venons de voir que la droite 6/* peut se rapprocher indéfiniment de la droite bi, sans que ces deux droites cessent de comprendre entre elles une portion de Tare 6c. Cela revient à dire qu'aucune portion de droite ne peut, à partir du point b, rester comprise entre la droite 6i et Tare bn. Il s'ensuit que la droite 6t est, de toutes les droites passant par le point 6^ celle qui se rapproche le pli^ de Tare bn, dans le voisinage de ce point. La droite bi, ainsi déterminée , est nécessairement unique : on la distingue de toutes les droites passant par le point 6 en la désignant sous le nom de tangente ou sous le nom de directrice , selon qu'on la considère par rapport à la courbe décrite, ou par rapport au point décrivant.

Nous avons supposé la vitesse u' continûment croissante de 6 en o. La démonstration se ferait de la même manière ^ si, de 6 en 0, la vitesse u' était constamment décroissante. La seule différence consisterait en ce qu'au lieu de s'abaisser au-dessous de la droite bi, l'arc bn et la droite 6/* s'élèveraient au-dessus.

Concluons que ^ dans la description d'une courbe par un point, la vitesse de ce point a une direction incessamment variable. Concluons, en outre, que cette direction est, pour chaque position du point décrivant , celle de la tangente à la courbe décrite *.

4. La vitesse u peut être quelconque, constante ou variable. Dans tous les cas, la démonstration du n"* 3 se fait de la même manière, et l'on voit aisément que la résultante des vitesses u, u' est

^ Les considérations qui précèdent suffisent pour établir la méthode des tangentes créée parRoberval , et exposée, comme il suit, dans les Mémoires de r Académie royale des sciences, année 1690.

Principe. — « La direction du mouvement d'un point qui décrit une ligne » courbe, est la touchante de la ligne courbe en chaque position de ce point. »

Règle générale. — « Par les propriétés spéciQques de la ligne courbe ( qui » TOUS seront données), examinez les divers mouvements qu'a le point qui la » décrit , à Tendroit oti vous voulez mener la touchante. De tous ces mouve- » ments, composez-en un seul : tirez la ligne de direclion du mouvement » composé ; vous aurez la touchante de la ligne courbe. »

O princi|)e cl cette règle donnent, dans la plupart des cas, le moyen de

toujours dirigée suivant une même droite , la droite la plus rapprochée de la courbe au point que Von considère. De là résulte le principe suivant :

On peut attribuer indifféremment une valeur quelconque soit à la vitesse v, soit à l'une ou l'autre des deux composantes u, u' : les rapports que ces vitesses ont entre elles restent toujours les mêmes en un même point.

Détachons de la courbe abc Tare bn, et considérons-le séparé- ^. ^ ment;métantun point quelconque de cet arc,

soit smt la tangente en ce point. Eu égard aiii conditions qui subsistent sur toute l'étendue de l'arc bn, la démonstration du n"" 3 implique les conséquences suivantes :

i** L'arc bn est tout entier d'un seul et m^me côté de la tangente smt, en deçà comme I^ au delà du point m.

2"" De toutes les droites passant par le point m, la tangente smt est la seule qui ne coupe pas l'arc bn en ce point.

5^ Les distances des différents points des arcs mb, ron d la tangente smt vont en croissant à mesure que ces points s'éloignent du point m.

4^ Lorsque le point m se déplace en glissant de h en x\ sur Varc bn, la tangente smt tourne continûment dans un seul et même sens*

réduire à une simple opération graphique la détermination de la tangente en un point quelconque d'une courbe définie géométriquement. Pour ailer au delà : pour pénétrer plus avant dans la nature intime de la ligne courbe : pour apprécier, définir et mesurer la courbure proprement dite , il faut d'abord introduire un principe nouveau ; il faut ensuite considérer avec quelques détail s les conditions relatives à la rotation d'une droite dans un plan. Les dévelop- I)emenls qui suivent fournissent , à cet égard , tous les éclaircissements nécessaires. Non moins simples que l'énoncé de Roberval, ils comportent une extension beaucoup plus grande. C'est ainsi, par exemple, qu'ils permettent d'établir, conune nous l'avons fait ailleurs, une théorie purement géomé- • trique de la courbure des lignes et des surfaces.

Concevons une droite D, assujettie à s'appuyer en un point de Tare 6m et à tourner, sans glisser, autour de ce point, jusqu'à ce que venant à s'appuyer sur un autre point du même arc, elle prenne cet autre point pour centre de rotation, et ainsi de suite indéfiniment.

Supposons la droite D dirigée suivant la tangente smt et tournant de gauche à droite. Je dis que le centre de rotation, situé d'abord en m, glisse continûment le long de Tare mn.

La rotation commencée autour du point m, h partir de la position smtf ne peut pas continuer autour de ce même point. Gela résulte évidemment de ce qu'aucune droite, menée par le point m, ne peut rester comprise entre l'arc mn et la tangente smt. D'un autre côté, on ne saurait admettre que le centre de rotation se transporte brusquement du point m en un point nh' séparé du point m par un intervalle quelconque déterminé. Pour qu'il en fut ainsi, il faudrait qu'il n'y eût aucun écart entre le point m' et la tangente smt. Le contraire ayant lieu pour tout point m' séparé du point m , on voit que le déplacement du centre de rotation sur l'arc mn et sur la droite D est nécessairement continu.

Nous venons d'établir qu*au sortir de la position smt, la droite mobile ne peut s'appuyer sur aucun point m' séparé du point m par un intervalle quelconque déterminé. Il en résulte que le centre de rotation qui succède au point m, se rattache continûment à ce point, et qu'au delà de ce centre, comme en deçà •, l'arc bn reste tout entier d'un seul et même côté de la droite D. On voit ainsi que la droite D réalise constamment la double condition de passer par un point de l'arc bn et de ne point couper cet arc en ce point. On déduit de là les conclusions suivantes :

V La droite D ne cesse pas d'être tangente à l'arc bn.

2** Varc bn peut être considéré comme la trace d'un point qui glisse sur la droite D , en même temps que cette droite tourne autour de ce point.

3° La vitesse du point qui décrit ainsi l'arc bn s'emprunte

* Il est visible qu*eD tournant de gauche à droite autour du point m , la droite D laisse entre elle et l'arc mb la tangente smt.

tout entière f dune part et comme grandeur au ylUsement de ce point sur la droite D, d'autre part et comme direction à la position de cette même droite,

5. Résumons les résultats obtenus, dans les. numéros qui précèdent, concernant le mouvement d'un point dans un plan.

Aujieu de procéder comme ci-dessus , on peut donner à priori cette définition de la ligne courbe :

La courbe est la trace d'un point qui se meut suivant une direction incessamment variable.

On peut aussi, développant davantage, présenter la même définition sous cette autre forme :

La courbe est la trace d'un point qui se meut sur une droite mobile y dite directrice, te point glissant sur la directrice et la directrice tournant autour du point, tous deux simultanément et incessamment.

Partant de là , on voit d'abord que la vitesse du point décrivant s'emprunte tout entière au glissement de ce point sur la directrice, la rotation de celle-ci n'ayant d'autre effet que de modifier incessamment la direction. Il est ensuite très-aisé d'établir que, pour diaque position du point décrivant, la directrice est tangente à la courbe décrite, c'est-à-dire qu'entre elle et la courbe, on ne peut mener aucune droite.

Gela posé, ce sont, de part et d'autre, les mêmes résultats, en ce qui concerne la courbe, la directrice, la. vitesse du point décrivant.

La définition donnée (n* \) pour la vitesse, dans le cas d'un point supposé mobile sur une droite, s'étend d'elle-même au cas du mouvement d'un point sur une courbe. La seule différence consiste en ce que, au lieu d'être fixe, la droite sur laquelle le point est censé se mouvoir tourne incessamment autour de ce même point. Voici d'ailleurs les conséquences. -

La vitesse d'un point qui décrit une courbe comporte à chaque instant deux modes distincts de détermination. On peut se la rej présenter directement ou indirectement.

Dans le premier cas, elle est déterminée, en direction, par la tangente à la ligne décrite, en grandeur, par le degré de rapidité imprimé sur cette ligne au point qui la décrit.

Dans le second cas , elle est la résultante des vitesses communiquées au point décrivant dans chacun des mouvements partiels et simultanés dont se compose le mouvement total. A ce point de vue , on peut dire aussi qu'elle est la résultante des vitesses qui animent les projections du point décrivant sur deux droites quelconques situées dans le plan de la courbe *,