CHAPITRE IL

DE LA ROTATION d'uNE DROITE DANS UN PLAN.

Définition et mesure des vitesses angulaires.

G. Soit une droite passant par un point fixe et tournant autour de ce point dans un seul et même plan. A chaque instant la droite passe d'un lieu dans un autre, et affecte par là même un état particulier distinct de l'état de repos. Cet état d'une droite qui sort du lieu qu'elle occupe en tournant autour d'un de ses points , supposé fixe, est dit vitesse de rotation ou bien encore vitesse angulaire.

On entend ainsi par vitesse angulaire le degré de rapidité qui anime une droite dans sa rotation autour d'un point fixe, pris sur cette même droite. S'agit-il d'une droite qui se déplace dans un plan d'une manière quelconque et dont la direction change incessanmient? Elle a de même et à chaque instant une vitesse angulaire complètement déterminée. Cette vitesse est celle d une

* Il est sous-CQtendu que, relalivemcut à chacune des deux droites choisies |)our y projeter le i)oint décrlvanl, les projeclions se font parallèlement à l'autre.

droite quelconque assujettie h passer par un point fixe et à tourner autour de ce point en restant parallèle à la droite don> née.

Ainsi que toutes les grandeurs mathématiques, la vitesse angulaire peut être constante ou bien incessamment variable. Dans tous les cas, elle est à chaque instant;, complètement déterminée. Lorsqu'elle varie et qu'on veut exprimer ce qu'elle est, pour une position donnée de la droite mobilfe , on considère exclusivement la détermination particulière qui correspond & la position donnée : on suppose qu'à partir de cette position, la vitesse angulaire demeure invariable et l'on procède comme si elle l'était effectivement. Par ce simple artifice, le cas des vitesses angulaires variables se ramène au cas des vitesses angulaires constantes et celui-ci reste seul à examiner.

Cela posé, noiis pourrions répéter ici pour les vitesses de rotation, ce que nous avons dit plus haut pour les vitesses linéaires et reproduire presque littéralement les mêmes déductions. Bornons-nous à énoncer les règles suivantes :

i ** Dans la comparaison de plusieurs vitesses angulaires, chaque vitesse peut être exprimée par %m angle.

2** Les vitesses que Von compare animant certaines droites, les angles qui les expriment respectivement sont ceux que ces droites décriraient simultanément si chaque vitesse demeurait constante.

3° En général on est libre de fixer cmnme on veut, l'angle pris pour mesure de l'tme des vitesses qui sont à comparer. Les autres ^^en déduisent.

Rapport existant entre la vitesse angulaire d'une droite et les vitesses que la rotation de la droite communique à ses différents points.

7. Soient o^o' deux points supposés fixes , l'un sur la droite D, l'autre sur la droite D'. Par hypothèse, ces deux droites tournent uniformément, Tune autour du point o avec la vitesse angulaire w, l'autre autour du point o' avec la vitesse angulaire w\

Soicnl myTii' deux points pris respectivement, le point m sur

la droite D à la distance r du centre o ; le point m' sur la droite D' à la distance r' du ^n/ centre o'. s, s' étant deux arcs quelconques plans décrits simultanément, le premier par le point m, le second par le point m\ ces arcs sont circulaires, et les angles qu'ils sous- tendent ont pour mesure les rapports ~ 9 p . On déduit de là, conformément à la règle (2) du n"" 6 :

Soient v, v' les vitesses qui animent en même, temps les points m, m' dans la description des arcs s, s'. Il est aisé de voir, conformément aux déductions des numéros (4) et (3) , que ces vitesses sont normales aux rayons vecteurs r, r' et qu'elles satisfont à réquation suivante ' :

^ Les déductions des w» (4) et (5) se vériûent très-simplemeut , comme il suit:

Soil al une droite mobile, toujours tangente à la circonférence abcd, tournant sans glisser le long de celte circonférence, y appliquant successivement tous ses points et Tenveloppant ainsi par une sorte d^enroulement continu. Tandis que la tangente al tourne uniformément de a vers a\ concevons qu'un iwint m, situé d'abord en a, se déplace le long de cette droite, avec une vitesse con" stante en grandeur et de manière à occuper sans cesse la position précise oii le contact s'établit entrt» la tangente mobile al et la circonférence fixe abcd. Dans ce double mouvement simultané du point m et de la droite al, le point glissant sur la droite et la droite tournant autour du point, tous deux uniformément, il est visible que le point m décrit à la fois la droite mobile al et le contour fixe du cercle abcd. De là les consé(]uences établies plus haut, d'une manière générale, pour une courbe quelconque.

( 35 ) La combiualson des équations (1) et (2), donne

TV

tv'

Choisissons pour unité des vitesses angulaires eelle qui coni> muuique Tunité de vitesse au point qui décrit la circonférence de cercle ayant l'unité pour rayon.

Si nous prenons 7^'=i et que nous supposions t7'==1, il viendra u?' = i , et nous aurons en général

I/équation (4) implique les conséquences suivantes :

i'* Lorsqu'une droite tourne autour d'un de ses points supposé fixe, il y a lieu de considérer pour chaque position de la droite sa vitesse angulaire actuelle w, et en même temps les vitesses correspondantes de ses différents points,

2® Soit V la vitesse qui répond à la vitesse w pour un point quelconque pris sur la droite mobile j à la distance r du centre de rotation :

La direction de la vitesse v est perpendiculaire à la droite mobile.

La vitesse v est égale au produit de la dislance r par la vitesse w.

La vitesse w est égale au quotient de la vitesse v par la distance r.