Deux droites ne peuvent entourer un espace

(a) A = B, A'=B', donc A — A'=B— B'.

(b) A^B, A'=B', donc A+A'^B+B'.

(d) A = B, donc 2A = 2 B.

(e) A = B. donc iA = ^B.

(D Définition de Végalité géométrique,

(g) Définition du mot plus grand que, ou de Vlnégalité en général.

{h) Axiome connu improprement sous le nom de postuîatum d'Euclide. (Voir h ce sujet la Note VL)

(t) C'est-à-dire qu'entre deux points on ne peut mener qu'une ligne droite.

Sûr une droite finie donnée A B (flg. i), construire un triangle équilatéral.

Fig. 1.

d! A^ ^B iB

Du centre A, avec le rayon A B, décrivons le cercle B C D [dem. 3] ; du centre B^ avec le rayon BA, décrivons le cercle ACE. Du point C, où ces deux cercles se coupent (*), menons aux points A et B les droites CA^ CB [dem. i]. ABC sera le triangle demandé.

En effet, puisque Ton a AC = AB [déf. i5],

et BC = BA,

il en résulte AC = BC [ax. i].

Par conséquent AC = AB=BC, et il s^ensuit [déf. 24] que le triangle construit sur AB est équilatéral.

A partir d*un point donné A (flg. 2), placer une droite égale à une droite donnée BC (^),

(a) La démonstraiion d'EucIi^e semble incomplèie, en ce qu^elIe ne fait pas voir que les deux cercles se coupeni nécessairement. Il suftit, pour U compléter^ de faire remarquer que chacun des deux cercles a un point intérieur et un point extérieur par rapport à l'autre cercle.

{b) Cette proposition est devenue, pour les auteurs modernes, un cas particulier d*une demande plus générale que tous font^ au moins tacite* ment, savoir : Qu'une figure peut être Irarmporlée d'une manière quel' comjae dans son plan, ou plus généralement^ dans Vespace, san$ qu^aueun de ses éléments ^ distances mutuelles ou angles, change de grandeur.

DES ÉLÉMENTS D'eÙGLIDE. i5

Menons de A en B la droite AB [dem. i]. Sur cette droite, construisons le triangle équilaiéral ABD [pr. i]. Prolongeons les droites DA et DB vers E et F [dem. 2]. Du centre B, avec le

Fig. 2.

rayon BC, décrivons le cercle CGH; et du centre D, avec le rayon DG, décrivons le cercle GIK [dem. 3]. La droite AK=BC sera placée à partir du point A, comme on le demandait.

En effet, puisqu'on a DK = DG [déf. i5],

et DA = DB [déf. 24],

il en résulte AK = BG [ax. 3].

Or on a BG = BG, et par suite AK et BC sont Tune et l'autre égales à BG ; par suite AK = BC [ax. i].

PBOPOSlTiON 3.

Etant données deux droites inégales AB, G (flg. 3), retrancher de la plus grande AB une droite égale à la plus petite G («).

Fig. 3.

('0 Même observation que pour la proposition précédente.

16 PREMISm UYKS

Ail point A plaçons une droite AD = C [pr. 2]^ et du centre A^ avec le rayon AD, décri¥ons le cercle DEF [dem. 3], rencontrant AB en E. On aura ainsi retranché de AB la ligne AE = C.

Car on a AE=AD [déf. i5]; d'ailleurs C= AD. DoncAE=:C [ax. i], et par suite BE = AB — C{«).

Si deux triangles ABC, DEF (flg. 4) ont les deux côtés AB, AC respectivement égaux aux deux côtés DE, J)¥, et si les angles

BAC, EDF, compris entre les côtés égaux, sont égaux ; ces triangles auront leurs bases BC, E¥ égales; les triangles seront égaux, et les angles restants, opposés aux côtés égaux, ABC et DEF, ACB et DFE, seront égaux chacun à chacun.

Appliquons, en effet, le triangle ABC sur le triangle DEF(*), et, pour cela, plaçons le point A sur le point D, et la ligne AB sur la ligne DE. Le point B coïncidera avec E, puisque AB = DE. Ensuite, AB étant placé sur DE, et l'angle BAC étanl égal à EDF, AC prendra la direction de DF, et puisque AC = DF, le point C tombera sur le point F. Donc, puisque B coïncide avec E, et C avec F, BC coïncidera avec EF ; car, s'il en était autrement, ces deux droites, qui ont mêmes extrémités, ren-

(a) Si Ton donne la droite AD toute prête placée au point A, la construction se réduit à tracer sinïplemenl le cercle DEF [dem. 3], et Ton a immédiatement AE = AD [déf. 15].

{b) 11 semble qu'à partir d'ici Euclide admette impiicitement la demande dont il est question dans les notes précédentes. Il en fait usage non-seulement peur la d(''moDstration acluelle^mais encore dans d'autres cas (prop. 8, par exemple).

DES ÉLÉUBNTS D'EDCLEDE. ' 17

ment «Dtre elles un espace, ce qui est im possible [ax. 12], boaalux. S]

BC = EF, triangle ABC = triangle DEF,

^le ABC = angle DEF, angle AGE = angle DFE. .

Dans tout triangle isoiscèle ABC (ûg-5), 1° les angles à la base ABC, ACB sont égaux entre eux ; 2* si l'on prolonge les

côtés égaux AB, AC, les angles formés au-dessous de la base, DBC, ËCfi, seront aussi égaux entre eux.

Sur le prolongement BD de AB, prenons à volonté un point F, et sur AE > AF, prenons une longueur AC =:AF [pr. 3, note]. Joignons ensuite FC, GB.

i" Dans les triangles AGF, ABG, on aAF = AG,AC=AB,et l'angle A est commun. Donc [pr. 4]

FC=GB, ACF = ABG, AFC=AGB.

Comme on a d'ailleurs AF = AG, et AB = AC, il en résulte tax.31BF=CG. Par conséquent, dans les triangles FBC, GCB, osa

BF = CG, FC = BG. BFC = BGC.

Donc [pr. 4] FBC = GCB, c'est-à-dire que les angles au-desêous de la basç sont égaux.

2» De plus, BCF = GBG ; et, comme on a d'ailleurs

ABG = AGF, CBG=BGF,

18 PBEMIBR UTRI.

il en résulte [ax. 3] ABCs ACB, c'e8t»à«dire que les angles à la base sont égaux (**).

Si, dans un triangle ABC (fig. 6)^ deux angles ABC, ACB

Fig.6.

sont égaux entre eux, les côtés AC^ AB^ opposés à ces angkt égaux, seront aussi égaux entre euâ?.

wSi les côtés AC^ AB ne sont pas égaux^ soit AB le plus grand. Prenons sur AB la longueur BD = AG [pr. 3]^ et joignons DC. Dans les deux triangles ABC^ DCB^ on a BD=AC; BG commun, etDBC=ACB;donc[pr. 4]

triangle DBG = triangle ABC,

ce qui est impossible [ax. g] (^}. Dôtic AC et AB ne peutent être inégaux. Donc AC = AB.

Si Von joint les extrémités d'une m^e base AB (flg. 7) à deux points différents C, D, situés d'un mém$ côté de celte droite, les deux distances CA^ CB du premier point G aux ex-

(a) Cette dcmoDStration aurait pu êire abrégée, si Euclide eût appliqué la proposition 4 aux triangles ABC et ACB, et s'il eût placé, comme il eût été plus naturel de le faire, la proposition 43 en tête de ce lifre. (Voj. la note relallye k ceue dernière proposition, page 23.)

(6) U serait peut-être plus clair de remarquer que» de TéguiM éet Irian* gles, Il rétalteraîl que Tangie DCB >= ABC [pr. 4]« et eomue, par h|poilièse, ABC = ACB, on aurait DBC=ACB [ax. 4], ce qui est absurde [ax. 9]. On éviterait ainsi la considération .des aires des deux triangles.

DES ÉLÉMINT8 D'BUGLIDE. 19

trémités de la haêe ne petwênt itre égales charme à chacune aux deux distances DA^ Dé du second point D aux mêmes extrémités.

Soit, en effet, s'il est possible^ Ai) =ÂC eifiD=BC!. Joignons CD [et prolongeons BC vers E, BD vers F],

Puisque AD = AC, on a ADC = ACD [pr. 5] , et par suite ÀDC > ÛCE [ax. 9] ,

et à plus forte raison FDODCE.

Mais on a en même temps BD = BC, d'où résulterait

FDC=:=DCE[pr. 5], ce qui serait en contradiction avec ce qui précède.

Si deux triangles ABC, DEF (flg. 8) ont leurs deux côlés AB, AC respeclivement égaux aux deux côtés DE, DF, et leurs bases

BC> EF auHi égales entre elles, les angles^ tels que BAC, EDF, compris entre des côtés égaux, sont égaux.

Portons le triangle ABC sur le triangle DEF, en pl.nçant le point B sur le point E, et dirigeant BC suivant EF.

20 PREIftER LIVRE

Puisque BC = EF^ le point C tombera sur F. Or on a

BA = ED, et CA = FD.

Par conséquent^ le point Â tombera sur le point D ; car si A tombait en un autre point G, on devrait avoir

GE=AB=:DE, et GF=AC = DF [ax. 1],

en même temps que G différerait de D, ce qui est impossible [pr. 7]. Donc BA coïncidera avec DE, et AC avec DF. On a donc [ax. 8]

angle BAC = angle EDF, [et triangle BAC = triangle EDF.] [Donc, $i deux triangles ont les trois côtés égaux chacun à chacun, ils peuvent coïncider Vun avec Vautre, et ils sont égaux.]

Partager un angle rectiligne donné BAC (fig. 9) en deux parties égales.

Prenons sur AB un point quelconque D, et retranchons de AC la droite AE = AD [pr. 3, note]. Joignons DE, et construisons sur DE le triangle équilatéral DEF [pr. i]. Si Ton joint AF, cette droite partagera Tangie BAC en deux parties ^^es.

Car, les deux triangles ADF, AEF ayant AF commun^ AD = AE, DF = EF, il en résulte [pr. 8]

DAF = EAF

DES ÉLËtKRTS D'EOCLIDB. 31

Partager une droite finie donnée ÀB (fig. lo) en deux parties égales.

Fig. 10.

Construisons sur AB le triangle équilatéral ABC [pr. i]. Partageons Tangle ÂCB en deux parties égales par la droite CD [pr. 9] : cette droite partagera AB en deux parties égales au point D.

Car les deux triangles ACD^ BCD ayant

AC = CB, CD commun, angle ACD = angle BCD, ona[pn41 AD = DB.

PBÔPOSITION H.

En un point donné C (fig. 1 1) d'une droite donnée AB, élever une perpendiculaire à cette droite.

Fig. U.