AD C E B
Prenons sur AB un point quelconque D, et faisons CE = CD pr. 3, note]. Construisons sur DE le triangle équilatéral DEF pr. i], et joignons FC. La droite FC sera perpendiculaire à AB au point C.
Car les deux triangles DCF, ECF ayant CF commun , DC = CE, DF = EF, on a [pr. 8]
DCF = ECF.
Donc [dof. lo] FC est perpendiculaire sur AB.
22 PREIIIER LIVRB
D'un point donné C(flg. 12), abaîsêer une perpendiculaire sur une droite indéfinie donnée AB.
Fig. 12.
tf
Prenons au-delà de ÂB par rapport à C^ un point quelconque D ; décrivons, du centre C, avec le rayon OD, le cercle EFG ; partageons EG en deui parties égales au point H [pr« 10], et joignons CH : cette ligne CH sera perpendiculaire sur ÂB.
Car, en joignant CE, CG, on a,EH=H(j, CH commun, et [déf. i5] EC = CG. Donc [pr. 8]
EHC = CHG.
Donc [déf. 10] CH est perpendiculaire sur AB.
Le% angles adjacents ABD, ABC (fig. i3), que forme une droite AB avec une autre droite CD, à laquelle elle se termine,
Fig. i3.
sont i^ tous tes deux droits, ou bien 2^ leur somme est égale à deux angles droits.
10 Si ces angles sont égaux entre eux, ils sont tous les deux droits [déf. 10].
DBS ÉtÉMEIlTS D'BOGLIDE. 23
â"" S'ils i^sont inégaux^ comme ABC^ ABD^ élevons sur DC, au point B^ la perpendiculaire BE [pr. iil« Alors CBE, EBD seront deux angles droits [déf. lo].
Puisque CBE = CBA + ABE,
on a^ en ajoutant de part et d'autre EBD [ax. 2\,
CBE 4- EBD= CBAh- ABE + EBÎ).
De même, puisque ABp = DBE4-EBA,
on a, en ajoutant de part et d'autre CBA,
ABD + CBA =DBE + EBA + CBA .
Par conséquent [ax. i],
ABD + CB A = CBE 4- EPD,
c'est-à-dire que Ton a
ABD + CBA =2 droits (•).
PROPOSITION ♦4r
Si en un point B d'une droite AB (âg.i4)> deux droites BC, BD, font avec la première AB, et de côtés différents de AB, des
angles adjacents ABC, ABD, dont la sotnme soit égale à deux angles droits, ces deux droites BC, BD seront le prolongement Vune de l'autre.
(a) On peut s'étonner qu'Euclide ait employé un si grand appareil de logique pour prouver que Tangle CED, formé par les deux directions BD, BC, est égal à la somme Àe ses deox partiett, égal<fi ou inégales», et surtout quMI ait donné aussi tard une proposition qui aurait dû venir une des premières de M lifre, comme noua l'avônt déjà faîl remrqiier dans la fioie sur la proposition 5, page 18.
^ PRBMIER LIVRE
En effet, si BD n'est pas le prolongement de BC^ soit BE (e prolongement. On aura alors [pr. i3]
CBA-HABE=2droits.
Mais on a, par hypothèse,
CBA-f-ABD=2dr.
Donc[ax. I et lo],
