ABC > ACB

DE8 Éi4nBMT8 p'bdCUDE. 37

Deux angles ABC, ACB d'un triangle ABC (flg. 19) étant inégaux , at4 flus grand angle ABC est opposé un plus grand côté AC.

Fig. 19.

Si Ton n'avait pas AC>AB, il faudrait que Ton eût ou AC= AB, ouAC<AB.

Si AC =AB, on aurait [pr. 5] ABC=: ACB ;

8iAC<AB,onaurait [pr. 18] ABC < ACB.

Ces deux conclusions étant contraires à Thypothèse de ABC > ACB^ il^ s'ensuit que Fon ne peut pas ne pas aToir AC > AB.

Dans tout triangle ABC (fig. 20), la somme de deux côtés quelconques AB, AC est plus grande que le troisième BC.

Fig. ÎO.

Prolongeons AB vers D ; faisons AD= AC [pr. 3^ note]^ et joignons CD.

Puisque AD=AC, on a ACD= ADC [pr. 5]. Or on a BCD> ACD [ax. 9]; par suite, BCD> ADC. Donc [pr.ï9]BD>BC, c'està-dire BA+AC>BC.

On démontrerait de I^ même manière que Ton a

AB-f-BC>AC, et BC-hCA>AB. '

Si des deux extrémités B, C de la base 6C (flg. 21) du triangle ÀBC^ on mène deux droites BD^ CD à un point D intérieur au

triangle; i^ la somme de ces deux droites est moindre que celle ^ de deux autres côtés BA , CA du triangle ; a"* l'angle BDC qu'elles comprennent est plus grand que V angle BAC du triangle, opposé à la même base BC.

10 Prolongeons BD jusqu'à la rencontre de AC en E. Dans le triangle ABE, on a [pr. 20]