EXPOSITION I

Un contour polygonal fermé et convexe est moindre qu'un contour polygonal quelconque qui l'enveloppe de toules

parts H-

Si d'un point on mène à nne droite une perpendiculaire et diverses obliques,

V La perpendiculaire est plus courte que toute oblique ;

2" Si deux obliques s'écartent inégalement du pied de la perpendiculaire, celle qui s'en écarte le plus est la plus longue.

Autre énoncé. — Si la hauteur d'un triangle ne tombe pas au milieu de la base, au plus grand segment est adjacent un plus grand côlé.

Pour démontrer cette proposition, si les obliques sont de côtés différents de la perpendiculaire, on compare l'une d'elles aune oblique égale à l'autre, et menéi^ du même côté de la perpendiculaire que la première. Le triangle formé par les deux obliques a alors un angle obtus, opposé à l'oblique la plus éloignée ; donc celle-ci est la plus longui?.

On peut encore énoncer cette proposition ainsi :

Tout point bors de la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est plus rapproché de celle des deux extrémités de la droite qui est située du même côté que, lui par rapporta perpendiculaire.

Réciproquement, dans un triangle non isoscèle. la Aaii/eur est plus rapprocbée du plus petit côté.

Autreénoncé. — De deux obliques inégales, la plus longue s'écarte le plus du pied de la perpendiculaire.

Autre énoncé. — Tout point inégalement distant des deux extrémités d'une droite est hors de la perpendicul;iire élevée

lignes, Toj. Noie VIII.

sur le milieu de cette droite, et il est du même côté de cette perpendiculaire que celle des extrémités de la droite dont il est le plus rapproché.

Cas d'égalité des triangles. — i** Deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux^ chacun à chacun (Euclide^ l, 4)*

2^ Deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux, chacun à chacun. — La démonstration donnée par Legendre (liv. 1, pr. Vil) est plus simple que celle d'Euclide (I, 26).

3® Deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun. — Adossons les deux triangles (fig. 43) de manière que leurs sommets C, C se trouvent de

côtés différents de la base commune AB. Chacun des points A, B étant équidistant des points C et C, la ligne AB est perpendiculaire sur le milieu de CC, Si donc on replie la figure autour de AB, le point G tombera en C.

— Autre^nenty la perpendiculaire AB sur la base du triangle isoscèle ACC^ étant bissectrice de l'angle au sommet, on a CAB = BAC', ce qui ramène au premier cas d'égalité.

— On peut dire encore que, les triangles CAC, CBC' étant isoscèles, on a l'angle ACC' = AC'C, l'angle BCC'= BC'C, d'où ACC ± BCC = AC'C ±: BC'C, c'est-à-dire ACB = ÀC'B, etc.

58 EXPOSITION DE8 PR1NG1PB8 DE 14 aÉOMÉTRlE,

Deux triangles rectangles sont égaux^ lorsqu'ils ont deux côtés de même nom égaux chacun à chacun.

r Si ce sont les deux côtés de l'angle droite on est dans le premier cas du paragraphe précédent.

2^ Si ce sont Thypolénuse et un autre côté^ on adosse les deux triangles rectangles^ de manière à former un triangle isoscèle, que sa hauteur partage en deux triangles égaux.

— Cette dernière proposition est un cas particulier de la suiva^ite :

Deux triangles sont égaux^ lorsqu'ils ont deux côtés égaux chacun à chacun, et Tangle opposé au plus grand de ces deux côtés égal.

Si deux triangles ont un angle inégal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, au plus grand angle est opposé un plus grand côté (Euclide, 1, 24).

— Réciproquement, si deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun et le troisième inégal^ au plus grand côté est opposé un plus grand angle {Euclide^ 1^ 25).

JWote I.

Sur IHovariabilUé des fig^rep.

Toute la (^oipétrie es| fondiée sur |rid<ée de rinvariabijité des formes. On commence par admettre qu'il e^ste dans les ^gure^f une certaine propriété^ qui si^bsiste lorsque ces figures se trouvej^t transporlées dans uqe autre région de Tespace^

Cette propriété ne saurait êt^e définie en termes géométriques, sans pétitioa de prinçjlpe. L'idée d'invariabilité de forme nous vient de l'expérience. Après avoir-acquis Tidée de grandeur ou d'étendue par la considération du mouvement (voy. la Note suivante), nous constatons que certains corps, ceux surtout qui offrent au toucher le plus de résistance, nous présentent toujours, de quelque manière qu'on les déplace, des dimensions et de« confîgui^ons que nous jugeons être les mêmes^ c'est-à-dire qui, appréciées d'après le mouvement de l'œil, en tenant compte de l'éloignement plus ou moins grand, nous causent des impressions toujours identiques. Nous donnons à ces corps le nom de corps solides.

Nous dépouillons ensuite, par abstraction , ces corps de toutes les parties dont la considération ne nous intéresse pas; ou, si l'on veut, nous supposons ces parties parfaitement translucides et pénétrables; et l'ensemble des parties conservées ou restées visibles constitue ce qu'on appelle une figure géométrique.

Note II.

Sur le mouvemenk géométrique.

C'est par suite d'une confusion d'idées que plusieurs géomètres veulent bannir des éléments de géoinétrielaconsi(iéraiion du mouvement.

L'idée du mouvement, abslracliun faile du temps employé à l'accomplir, c'est-à-dire l'idée du mauMinmt géométrique, n'est pas une idée plus comp1ex.e que celle de grandeur ou d'étendue. On peut raènie dire, en toute ligueur, que cette idée est idenliquu avec celle de grandeur, puisque c'est précisément par le mouvement que nous parvenons à l'idée de grandeur.

Ce mouvement géométrique, qn'une équivoque de langage a fait confondre avec le mouvement ians le temps, objet de la cinématiqut, ne peut pas dépendre d'une autre science que de la géométrie purt.

Il est avantageux d'introduire celle idée de mouvemenl géométrique le plus tôt et lu plus explicitement possible. On y gagne beaucoup sous le rapport de k clarté et de la précision du langage, et l'on se trouve mieux préparé h introduire plus lard dans le mouvement les notions nouvelles de lemps et de vitesse.

Cest d'ailleurs ce que tous les auteurs font à leur insu et malgré eux; et il eerait difDcile de trouver une seule démonstration d'une proposition fondamentale de géométrie, dans laquelle n'entre pas l'idée de mouvement géométrique, plus ou moins déguisée.

ixiômes relaiifs li l'e

e du plan i>t de k ligne droite.

Nous avons admis, pour plus de simplicité, comme deux axiomes indépendants, l'existence de la ligne dioite et celle dn plan. I^sdeux géomètres dans les ouvrages desquels nous trou>ons la vraie théorie des parallèles, W. Bolyai et Lobalschewsky, ont poussé pltu loin leurs recherches, et ont fondé les delinilions du plan et de la ligne droite sur d'autres axiomes plus simples el d une évidence plus Irappante. Voici à peu près comment Bolyai établit ces notions (*).

On peut d'abord défmir l'égalM de deux dislances indépendamment de la ligne qui sert à les mesurer, et sans laquelle on ne pourrait définir ce que c'est qu'une dislance plus grande qu'une autre. Si A et B, A' et B' sont deux systèmes de points, on peut imaginer que chacun de ces systèmes fasse partie d'un système solide quel-

(,") Teninmeii iii elitnenta mithefeos, clc. T, 1, p. iGfi el sui*. Hariit Vi^-Jriiely, iS33.—h'ur:er GruitilrU» einai Veriuchs u. ». (U.,S33 elsuiv. Miri» Viiirhelj, 1SSI.

APP£NDIC£. 6i

conque (*}. Si Ton peut tiansporter Tune de ces figures sur l'autre de manière que, A étant placé sur A'^ B puisse se placer sur B^, on dira que les distances XB, A'B' sont égales.

Le point A étant considéré comme fixe, l'ensemble de tous les points B de Tespace également distants de A forme une surface continue et fermée, appelée sphère, et dont le point A est le centre.

Une sphère partage Tespace en deux parties. Tune intérieure,. Tautre extérieure, Ua point ne peut passer de l'une de ces parties* dans l'autre sans avoir rencontré la sphère. • .

Une sphère ne fait que glisser sur elle-même, lorsqu'on la fait tourner d'une manière quelconque autour de son cetitre.

Deux sphères de centres différents ne peuvent coïncider.

D'un centre donnée on peut toujours décrire une sphère patf* sant par un point donné.

On peut aussi, d'un centre donné, décrire une sphère qui renferme dans son intérieur une figure donnée quelconque de dimcn-* sions finies.

Soient S, S^ deux sphères de centres 0, O, et telles que chacune d'elles passe par le centre de l'autre. Puisque chacune de ces sphères a une partie intérieure à l'autre sphère^ il faudra nécessairement qu'elles aient des points communs. Si A est un de ces points^ et qu'on fasse tourner l'ensemble des deux sphères autour des deux centres, supposés fixes^ A décrira le lieu des points communs aux deux sphères. Ce lieu sera une courbe fermée C, pouvant glisser sur elle-même^ et à laquelle nous donnerons le nom de cercle.

Si Ton retourne la figure, de manière que vienne en (V et 0^ en 0, S coïncidera avec S*' et S' avec S. Par suite le cercle C retombera sur son ancienne position. Donc le cercle est superposable à^ lui-même par retournement.

Des centres et 0' décrivons deux autres sphèreS) S^, S^^, égales^ entre elles, et enveloppant respectivement les sphères S et S'.. Chacun des centres 0^ 0' sera à la fois intérieur aux deux sphères,, d'où l'on conclut aisément que les deux sphères, ayant une partie* intérieure commune^ doivent nécessairement se rencontrer, enverrait de même que leur intersection est un nouveau cercle C^^ pouvant glisser sur lui-même, et superposable à lui-même par retournement.

(') Voy. la Note 1.

62 APPENnKË.

Si l'on construit: ainsi deux sûvies de sphères égales, s'iSteTUtant d'une manière continue jusqu'à l'inlini, le lieu des cercles suivant leaqutila elles se coupunt deux à deux s'étendra indétinimenl, et formera une stirface pouvant glisser sur elle-même, torsqn''ûn la fait tourner autour des points 0, 0', et snperpusable à ellc-mâmt: par retournement. IVous appelhrona cette surface no plan.

Lorsqu'on retourne la ligure en plaçant en C et (^ en (>, on peut taire en sorte qu'un point A du cercle C revienne aur son ancienne position. De part et d'autre de A, les points^ du cercle se placeront deux à deux les uns sur les autres, et se distribueront ainsi xymétriiiuement par rapport à' A. Si l'on désigne par M, M' deux quelconques de ces points symétriqnts, ils pourront être considères comme les positions simultanées dc deux mobiles parlant de A et parcourant le cercle en sens contraire. Ces mobiles se rencontreront nécessairement en un point B, qui, avec A, parta^ra le cercle en deux moitiés auperposables AMB', AM'B.

Le retournement de la figure pourra être considéré comme produit par une demi-révolution autour des points A et B, que le retoumementlaisseimmobiles.

Dans ia demi-révolution de la figure autour de A et de B, chaque point m du plan, appartenant au cercle c, décrit un demi^cercle, en venant se placer sur un point m' du même cerclée, et tant que ce cercle ne S'^ réduira pas à un point unique, il ne pourra revenir à sa première position qu'après avoir aclievé la révolution entière.

Or. dans chaque cercle c, il y a deux points qui se trouvent dans leur position primitive après la demi -révolution. Donc ses points ont dû décrire des cercles nuls, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas changé de place pendant la révolution.

L'ensemble de tous ces points forme une hgue qui reste immobile lorsqu'on la fait tourner autour dc deux de ces points. f.etlc ligne s'appelle la ligne droile.

Transportons maintenant la droite le long d'elle-même, de manière que deux de ses points a, b tombent sur deux autres points ir', 1^ de la première position. La nouvelle position restera immobile, lûi'squ'on la fera tounier autour de a' et de i/, et l'on en'concini qu'elle coïncidera née essai i-ement dans toute son étendue avec l'ancienne position, les points de celle-ci étant les seuls qui décrivent des cercles nuls. Donc on peut faire glisser uue droite le long d'ellemtmc saus qu'elle cesse de coïncider avec sa première position.

APPÈnbum. ' 63

Si d'un point à comme centre on déctit une sphère qui etiveloppe les points A el B, et rencontre la droite en 6 et 2/, la portion de droite ab pourra être placée de manière que « tombe en 6^ et 6 en Ow Alors se trouvera comblée la lacune qui existait encore entre A et B.

En faisant maintenant tourner la figure autour de 00^^ la portion de droite AB eiigendt*era une portion de plan qui comblera la lacune laissée dans Tintérieur du cercle G.

Si l'on fait tourner la droite a6 autour de a de manière que b l'esté dans le plan^ la droite restera tout entière dans le pian. Car si elle en sortait d'un côté, elle lie serait plus supetjiosable à elle-même^ lorsqu^on ferait faire au plan line demi-révolution atitôuf def points du cercle qui sont les milieuï des deux arcs a&.

On peut donc joindre par ime droite le point à à un point quel^^ conque m dû plati.

Si Ton fait mouvoir la droite èm le long d'une autre droite queU conque bm, tracée sur lé plàii, la droite mobile décrira le plan.

Si l'on fait tourner le plan aut<mr du point a de manière que bm rencontre toujours deux positions de ém^ le ptâii ne cessera pas de coïncider avec lui-même.

Il en sera de même si Ton fait glisser àé la même manière la droite am le long d'elle-même.

Donc le plan est une surface superposàble à élle-^ême lorsqu^on la fait glisser sur elle-même d'une manière quelconque, et de plus superposable à elle-même par retoûrûement .

De là résulte que par trois points non en ligne droite on peut toujours faire passer un plaii et un seul.

nrote IV.

Sur h dêfifiititm de hi ligné d^Uè.

Supposons uu ob^rVateur plaicé au milieu d'une va&te plaine. Il aperçoit de loin un point, et veut se transportei* en ee po^nt.

Vinstinct le porte à marcher dans la direction suivant laquelle ce point lui envoie ses impressions lumineuses. La preuve ^pm ce procédé est insHfuMf^ c'est qu'il est suivi par tous les anin&nx. ' Vexpériencéy aidée de la réflexion, lui appren.l plus tard qu'en suivant cette i^ute, il accomplit le trajet eu moins de tempfe que s'il se fût écarté de la direction des rayons lumineux.

6i - Al'PENDICE.

De là cette vérité vulgaire, mais assez complexe au point de v« géoméli'ique : La liyne droite tU le jdus eourt chmnîn d'un fioînt à iiii autre. C'est cet énoncé que les autenra de la plupart des traités de géoméli'ie ont cru pouvoir prendre pour dtSfinitioD de la ligne droite.

En discutant l'origine et la véritable signification de cette notion du senx commua, nous verrons sans peine que l'inscripliuii d'ane telle proposition en lêle des éléments du géométrie indiqua que l'on n'a pas suffisammËnt analysé les idées très-simples qui ^e ruppoitmi à cet objet.

Certains philosophes Je l'antiquité, au dire de Provlus, loulanl railler agréablement la 20° proposition li'Euclide, prétendaient que les ânes eux-mêmes l'admettaient sans démonstration. On peut répondre à cela que les ânes, en suivant telle route plulôt que telle antre pour atteindre leur but, ne se préoccupent en aucune fat.-on Je la longueur du cbemin. Leur instinct les porte à marclier dans la ligne suivant laquelle l'objet impressionne leurs sens, et cette ligne sera la ligne droite, parce que c'est la roule que suivent ta lumière, le son, etc. Il n'est pas impossible, d'ailleurs, que les animaui: fassent quelquefois acte d'intelligence, en adoptant le cbemin que l'expérience leur a montré être le plus court.

C'est donc l'expérience, aidée de la mémoire et de la léUcxion, qui nous apprend que te chemin rectiligne est, toutes choses égales d'ailleurs, le plus loi parcouru.

1^ jugement concordant, ijue l'on forme en appréciant au coup il'ail la longueur du chemin, doit èlre rapporté à la même origine, puisque l'idée de grandeur, que nous transmet immédiatement le sens de la vue (abstraction fuite des notions t'uurnies par les autres sens, ainsi que par ta mémoire et la réflexion), n'a pas d'autre source que le mouvement plus ou moins considérable que doit exécuter l'axe de l'œil pour parcourir tel ou tel contour.

Il nous paraît donc établi que l'adoption du chemin recliligne a une origine primitivement instinclive et irréfléchie, et que sa piopriété de minimum, qui en a fait Conserver l'usage, nous a été révélée par l'expérience.

Examinons maintenant de plus près quelle est la signification de ce iu|{emcnt,*quelie en est l'exacte interprétation géométrique, après qu'on l'a, pour ainsi dire, épiu'é par la faculté d'abstractiuu, et dépouillé de toutes les circonstances physiques qui avaient accomp^né sa formation.

Le chemin de direction constante (*), que nous parcourons en sui« vant le rayon lumineux, nous conduit à Tidée d^une ligne de direction constante, en remplaçant, par la pensée, notre corps par un point, c'est-à-dire en réduisant indéfiniment les dimensions de notre corps par rapport à ce qui Penvironne ; ce qui donne à Tidée de chemin une précision de plus en plus grande.

En appliquant le môme procédé d'abstraction aux autres chemins possibles, on ar dû continuer d abord, sans s'en rendre compte, à mesurer la longueur du chemin par le nombre des pas, le temps du parcours par le temps employé à faire un pas; l'idée de temps n'étant ici, du reste, qu'une idée auxiliaire, qui doit être éliminée à la fin de l'opération intellectuelle. Dans le langage abstrait, cela revient à supposer le mobile décrivant un polygone, et à admettre^ comme un fait d'expérience, qu'un côté d'un polygone est moindre que la somme de tous les autres.

Pour aller plus loin; pour acquérir des notions relatives à la longueur de slignes courbes, on est forcé de recourir à un nouveau procédé, au procédé du passage à la limite, qui remplace la comparaison directe, devenue impossible.

Il ne sufiSt pas, en effet, de faire appel ici à Vidée vague que chacun a ou croit avoir de la longueur d'une courbe. On peut bien, il est vrai, définir nettement ce qu'on entend par un arc plus grand ou plus petit qu'un autre^ lorsque ces deux arcs sont comptés à partir d*une origine commune. Mais déjà^ dès qu'il ne s'agit plus du cercle ou de rhélice, il n'est plus possible de comparer directement deux arcs de la même courbe, lorsqu'ils ne sont pas comptés à partir de la même origine. A plus forte raison cette comparaison est-elle impossible^ lorsque l'on considère des arcs pris sur des courbes différentes.

Il faut bien, cependant, que l'on trouve im moyen de suppléer à cette comparaison directe^ sans quoi^ en disant que telle ligne est plus ou moins longue que telle autre, on ne ferait que prononcer une phrase absolument vide de sens. Voyons donc quels moyens peuvent proposer ceux qui se refusent à invoquer le principe des limites.

do Le temps employé par le mobile pour parcourir un certain chemin. — Mais il faut alors supposer tacitement que la vitesse est

(*) Nous jugeons que^la direction estconstante> parce que nous n'avons faii aucun effort pour imprimer à notre corps un mouvement de roiaiion.

la m&aie dans hs (leu\ t^liemiiiE qits l'un veut comparer. Qu'cst-c<' maintenant que la vileseeî Ou, si l'on renonce it déBsir la vitesse, en rniiiuetlaDt au nombre des quantités primitives, qu'est-ce que deui viiesses égales? — De quelque manière que l'on essaye de répondre à cette question, on se trouvera toujoui's obligé, lût ou tard, de pai^seï' par les nations de limites, et l'on n'aui'a fait que reculer ioutilemeut la diriîcultë, en inlroduisant des auxiliaires inutiles, pour taii'e une comparaison qu'on aurait aussi bien pu faire directement.

3" On applique un fil tleitible sur la courbe, puis on le redresse. — On suppose ici le fil inextensible. Qu'est-ce donc qu'un Til inevlensible, dès qu'il cesse, d'être en \igat droite ou d'Être appliqué sur la même courbe i Toutes les déiinilions que l'on peut tenter de donner du pliûnomène physique de l'allongement d'un Til curviligne revienncnl, en définilive, à lîter à ce 01 (supposé infiniment mince) son caractère de courbe continue, pour en faire un polygone à tdlé» trèspetits, el ce n'est que dans le passage à la limite que l'on Arrive à supposer ces tôtés infiniment petits. On voit donc que, là encore, on n'a fait qu'obscurcir la question en la compliquant do notions pbysiques étrangères.

Telles sont les difûcullés insurmontables que l'on rencontre, lorsqu'on veut définir la plus simple des figures de géoraiîtrie au moyen d'une de ses propriétés secondaires, qui n'est, au fond, qu'iin ibéori^me d'une nature assez compliquée, et exigeant, pour être compris, la connaissance préalable d'un grand nombre d'autres propositions.

Nous disons que la propriété de minimum de la ligne droite esl une propriété secondaire. En effet, aucune des propositions fondamentales de la géométrie ne repose sur cotte propriété, du moins quand un prend, pour arriver h leur démonstration, la voie U plus directe et la plus nuturelie,

1^ propriété dont il s'agit a son analogue dans touteK les figurps symétriques, sans que cependant on ail jamais songé à la preniii'e comme définition pour une autre figure que pour la ligne droite. Que dirait-on, en effet, d'un auteur qui définirait le cercle connue la courbe d'aire maximum parmi celles d'im périmclrc donné? Il aérait difticile de déduire simplement, de celle définition, les propriélis foudamentales du cercle. Et cependant c'est ce même procédé que la plupurt des auteurs suivent pour la ligne droite, et la forr« de l'iiabilude nous empêche seule d'en sentir l'éUangeté.

APPBfllHGE. 67

L'origine de celte f»*éleDdue définition de la ligne droite remanie à une fausse interprétation d'un passage d'i4roAtméd«. Lorsque ee gfand géomètre voulut; le premier, aborder les problèmes de la fectiication du cercle et de la quadrature de la sphère, il lui fallut bien définir ce qu'il entendait par longueur d'une ligi)ie courbe on par otre d'une surface courbe. Pour y parvenk^ il posa comme des prinoipeB (u77o6s(7et(;) certaines propositions^ sur lesquelles il s'appuya comme sur de nouveaux axiomes :

i** La ligne droite est la plus courte de toutes celles qui ont les mêmes extrémités.

2° Un contour convexe est moindre qu'un contour qui l'enveloppe en s'appuyant sur les mêmes extrémités.

3° La surface plane est la plus ^petite de toutes celles qui sont terminées au noiême contour.

Etc.

On peut aisément montrer^ cpmme chacun sait^ que la méthode d'exhaustiop, employé^ par lef Anciens dans leurs démonstrations^ est identique, pour le fond^ avec la méthode des limites, par laquelle les Modernes l'ont remplacée. La limite d'une quantité variable n'est déterminée^ en effet^ que par Terclusion de toutes les valeurs de la variable, autres que celle que Ton ne peut définir directement^ et yue la variable ne peut en général jamais atteindre; et ce procédé est précisément celui de la* méthode d'exhaustion.

En suivant le même ordre d'idées, on reconnaîtra facilement que les principes que nous venons de rapporter^ étant interprétés d'après les idées modernes, ne sont autre chose que des définitions de la longueur d'une ligne courbe, ou de l'aire d'une surface courbe. Ainsi Archimède, ne pouvant définir directement la ligne droite qui représente ime longueur curviligne, a défini celle-ci comme quelque chose plus grand que tous les contours rectilignes inscrits, et plus petit que tous les contours rectilignes circonscrits. Gomme on peut faire en sorte que deux contours rectilignes^ pris dans ehacune de ces deux séries^ soient rendus aussi peu différents que l'on voudra Tun de l'autre, il en résulte que ces deux séries tendent vers une limite commune, qui est la longueur de la courbe. On voit donc que nous sommes arrivés à la définition moderne de la longueur de l'arc de courbe, sans faire autre chose que de traduire et de développer ['idée i^Archimède^ et que les principes que nous avons cités^ loin de contenir une définition de la ligne drdtè^ serventau contraire

68 APPENDICt;.

à délinir, au moyeu de la ligne droite, la longueur de la ligne couil)e. On peut remarquer en même temps que les auteurs qui ont fait celle confusion au sujet de la ligne droite auraient dû, pour reslcr conséquents avec eui-mèmes. prendre le troisième principe pour di!iinition du plan, les propriétés exprimées par les principes i et 3 étant complètement analogues.

Note T.

Sur l'unité angulaire.

Les diverses fonctions trigonomélriques, le sinus, la tangente, etc., sont définies d'abord pour le premier quadrant, dans l'inlervalle duquel elles parcourent entièrement la série de lenrs valeurs nnmi'riqucs. C'est par l'inlroduction des signes + et — que l'on parvienl

à donner, aux angles non compris entre les limites et ^. des

fonctions trigonométriqtes, qui ne sont autres que celles de certains angles du premier quadrant, prises avec des signes convenables. On sait, en effet, que, pour obtenir les fonctioDS tri gon orné triques d'un

angle < ou > s' on commence par ajouter ou retrancher le

nombre de quadrants nécessaire pour ramener l'angle donné S èlre compris dans le premier quadrant, de sorte qu'il suffit d'avoir une table des fonctions trigonomélriques dressée scnlement pour le premier quadrant.

Si l'on exprime maintenant un angle en prenant le quadrant pour unité, et le soumettant à la division décimale, l'angle se composera d'une partie entière, positive ou négative, et d'une partie décimale, que l'on pourra toujours supposer positive. L'opération de l'addition ou de la soustraction des quadrants sera alors complètement analogue à celle du changement de caractéristique dans les logarithmes décimaux. C'est déjà là un premier avantage du choix'de la véritable unité angulaire.

Si, comme quelques auteurs l'ont proposé, on prenait le cercle entier pour unité, le quadrant serait représenté par la fraction 0,2."i, et, pour opérer la réduction d'un angle uu premier quadrant, on

serait obligé d'altérer les deux premières décimales^ ce qui serait beaucoup moins simple dans la pratique.

L'adoption^ comme tmité angulaire^ du centième de quadrant ou grade n'a d'autre raison d'être que le désir de se rapprocher du degré sexagésimal. 11 n'en peut résulter aucun avantage sérieux^ mais seulement une complication dans récriture, et une perpétuelle confusion des degrés nouveaux^ des minutes nouvelles, etc.^ avec les degrés anciens, les minutes anciennes, etc.

Nous avons signalé une première analogie entre la division décimale du quadrant et les logarithmes décimaux du système de Briggs, La raison de cette analogie est facile à saisir. Si Ton considère une exponentielle à exposant complexe^

la partie réelle de l'exposant est un logarithme réel, le coefficient

de y — 1 un arc de- cercle ; de sorte qu'on peut regarder les arcs de cercle comme des logarithmes imaginaires. D'après cela^ si l'on rapporte les logarithmes au système décimal^ les déplacements de la virgule dans la valeur numérique de Texponentielle répondront à des changements de la seule caractéristique; et, d'après la nature des exponentielles réelles^ qui ne sont pas des fonctions à période réelle, la caractéristique pourra prendre toutes les valeurs entières^ de — 00 à+oo.

De même, si Ton adopte la division décimale pour les logarithmes imaginaires, les changements de quadrant^ qui reviennent à la multiplication de l'exponentielle par une puissance de }J^^^ correspondront à des changements de la caractéristique du logarithme imaginaire; et, d'après le caractère périodique de Texponentielle imaginaire, cette exponentielle parcourra le cycle entier de ses valeurs, lorsqu'on fera varier la caractéristique de à 4, ou encore, ce qui revient au même, de — 2 à + 2, l'addition d'une unité à la caractéristique équivalant à la multiplication par yj — >i.

Ainsi, de même que 40 est la hase des logarithmes réels déci-

maux, e'^^ sera celle des logarithmes imaginaires décimaux.

Les autres unités angulaires dont on fait usage ont aussi leurs analogues dans les logarithmes, et il est aisé de s'en rendre compte au moyen des considérations précédentes.

Dans le calcul littéral, on emploie constamment les logarithmes

nature/*, relalifs à la ba(e e, et l'on (irenJ pour uniti! angulaire l'are

éga\ au rayon. Dans ce cas, l'analogue de la caraclëristiquc des logarilhnies décimaujt réels n'est plus un nombre entier; c'est le lo-

gai'ilhme naturel de 10, ou le nombre 3,30âo8S L'analogue de

la caractéristique des logarithmes décimaux imaginaires est, de

même, le nombre irrationnel i- Pour calculer numériquement dans c« système naturel, un serait donc obligé de se servit de caractéristiques fractionnaires, ce qui sérail peu commode dans la pratique,

11 reste à chercher l'analogue de la division sexagésimale du cercle. Il faut, pour cela, remonter dans l'antiquité au temps où les astronomes faisaient usage de la division sexagésimale du rayon, el où le calcul proprement dit était trop méprisé des hommes de science pour qu'ils songeassent à en perfectionner les méthodes. Les inventeurs des logarithmes se sont hien gardés de reprendre ces traditions, en choisissant CO ou 90 pour bases de leurs systÈmea, et la numération sexagésimale des Ic^arithmes imaginaires n'a plus aujourd'hui rien qui lui corresponde dans la numération des nombres réels, du moins dans les pays qui, comme la France, ont soumis leur système métrique à la division décimale.

On se demande souvent pourquoi les astronomes français, après avoir proposé les premiers la division décimale du quadranl[*), que les étrangers appellent encore la division française, ont été euimêmes les premiers à l'abandonner. Il y a, pour expliquer ce fail, nue raison très-grave dans la nécessité où sont les astronomes de puiser sans cesse dans des registres d'observations, qui, à toutes les époques, ont été constnùls d'aprJs le système sexagésimal. On conçoit quel immense travail entraineraitla conversion de tant dénombres d'un système dans l'autre, et quelle source d'erreurs el de eonfasïon résulterait d'un tel remaniement, sans parler des inconvénients qu'éprouveraient les observateurs actuels, forcés de changer leurs habitudes et leurs instruments. L'astronomie, enchaînée par son passé, a donc sagement fait de renoncer à nu perfeclionnemenl qui, en ail présenté plus de dangers que d'avantages réels.

Tablcn deettiidU» de

(■) VojfT. pour |ilu3 de déuila Boktrl «I liUUr. Ikriin. 1799.

APPIHDIGI. 71

Mais les astronomes observateurs ne sont pas seuls à se servir des tables trigonomé triques. Or, pour tout autre usage que le calcul immédiat des observations faites avec des instruments portant la division sexagésimale^ il est incontestable que la division décimale présenterait des avantages immenses^ et nous tie pouvons comprendre la persistance avec laquelle la plupart des calculateurs la rejettent* Il n'est pas besoin d'une bien grande expérience du calcul pour voir combien on gagnerait à l'adopter dans les calculs de mécanique céleste^ de géodésie, de totiographié^ en un mot^ dani^ tous les cas où Ton n'a pas à lire ses nombres dans un registre d'observations astronomiques.

La seule bonne raison que l'on pourrait nous opposer, c'est le manque de bonnes tables trigodométriques décimales. Les seules tables à sept figures construites dans ce système^ celles de Hobert et Ideler, dé Borda et de Ccillet, sont mal disposées pour les usages pratiques^ Tintervalle des divisions étant trop considérable. Les tables de Plau:ioleSy à six figures^ sont beaucoup plus commode!, et cepeddânt elles sont peu répandues. Pour (^ne les calculateurs pussent jouir des avantagés de la division décimale^ il faudrait que Ton tirât des grandes Tables manuscrites du Cadastre (*) une série de tables répondant aux divers degrés de précision dont on a besoin dans les calculs, c'est-à-dire des tables à sept^ à six^ à cinq et à quatre figures (**). Si cette publication était faite avec les mêmes soins et une disposition aussi convenable qtje celle des bonnes tables sexagésimales publiées récemibent en Allemagne^ nous sommes con*vaincu que le seul système vraiment rationnel rèprendmit bientôt faveur, et que les tables sexagésimales ne trouveraient plus place que dans les observatoires, où elles devront longtemps encore être exclusivement en usage.

(*) Il existe deux exemplaires de CvS Tables, déposés l'iiii à la biblioihèque de l'Observatoire de Paris, l'autre à celle de rinsiilut. Voy. Nouvelles Annales de Mathématiques, Bidlelin de Bibliographie, 183o, p. 14; Comptes rendus de VAcôdémie des sciences, 24 niai 1858, et Arinales de r Observatoire, t. IV.

(**) Voy. notre Becueil de Formules et de Tables numériques^ qui contient des Tableâ trîgonoinétriqties décimales à quatre figures. Paris, Gauthîer- Villars, 1866,

Sur l'axiJïme 1 1 (dii poslutalum) d'Eudîde.

Des recherches déjà ancienoes, mais qui ont passe inaperçues jusqu'à ces derniers temps, ont mis hors de doule que la démonstration lie l'aiiàme 11 d'EucliJe (notre axiome IV) ne peut pas se déduire des aïiôraes précédeuls. Ces recherches ont été faites versl'année 1829, par deuï géomètres, Lohatschewsky et J. BolyaiC), qui par des mëtliodes différentes et indépeudamment l'un de l'autre, sont parvenu? pvesqu'en même temps à retrouver les résultats que Gauss possédait déjà depuis près de quarante ans. Malheureusement ce grand mathématicien n'a jamais publié ses travaux sur ce sujet, et sans la publication récente de sa correspondance avec Schumacher, nous ignorerions encore i'eiistence des nouvelles théories qu'il a appuyées de son imposante autorité.

Je n'entrerai pas ici dans l'eiposition complèlc de ces théories, que l'on trouvera développées avec détails dans la brochure de Lohatschewsky dont j'ai donné une traduction ("). Je me contenterai d'en faire connaître les points principaux, et d'indiquer sommairement ce que la géotnélrie abstraite, fondée sur la négation de l'aiiâme 1 1 . a de commun avec la géométrie euclidienne ou expérimentale , et en quoi elle s'en écarte.

La théorie des parallèles ne fait qu'un avec la proposition 32 d'Euclidesur la somme des angles d'un triangle rectiligne. Aussi plusieurs géomètres, au lieu d'essayer la démonstration directe del'axirtme 11, ont fait porter leurs efforts sur la détermination de la somme des angles d'un triangle.

On peut d'abord élahUr, comme Legendre l'a fait ('"), quelques prnpositionij complémentaires des 2S premières propositions d'Euclide, et indépendantes comme elles de l'axiâme 11.

(•) Fils de W. Buipi, doul nous av^iia c'ilé ks uu^ra^es, p. (i(i.

i") Etudes géométriques mr la thmrie des paratlèlei, par N. t. Lobauchewskj, suivi d'un extrait de la Correxpondance de Gains et de Sehumachtr. Paris, Gaiilliier-Villars, 1366.

('") Mémoires de l' ÀeadéTnie des Stiences, t. XII, p. 3(j9, — £(«»biii< dv géométrie, 3" ï 8' édiiion. — Vogts encore LoBATScnEWSKY, Etudes sur lei panama, V <!» etSO.

I. La somme des trois angles d*un triangle rectiligne ne peiU pas surpasser deux angles droits. •

DésignoDs^ pour abréger^ par /ABC {fig, 44) ^^ somme des trois angles du triangle ÂBG^ et soit^ s'il est possible^ /ABC > 2 dr« Sur

AC prolongé portons les longueurs CE=ËG=...==AC^ et sur ces bases construisons les triangles DCE^ FEG^ ...^ tous égaux à ABC.

L angle BCD , supplément de la somme des angles AGB et DCE= BAC, sera, d'après rhypothèse admise, <ABC. Donc [Eucl,^ I, 24] BD < AC.

On voit d'ailleurs [EucL, 1, 4] que tous les triangles BCD, DEF,. .. sont égaux entre eux. Donc BD = DF = FH = . . . .

Soit maintenant 8 la différence AC — BD. Si Ton construit n triangles consécutifs égaux à ABC, la différence entre la droite totale AP=n-AC et la somme des droites BD + DF + ...==n.BD sera n^ ; et^ en prenant n assez grand, on pourra faire en sorte que n^ surpasse la longueur finie AB+PQ=:2AB.

Mais on aurait alors AP — (BDF...Q)> AB-f-PQ, d'où il résulterait que le côté AP du polygone ABD ... QPA serait plus grand que la somme de tous les autres, ce qui est contraire aux corollaires de la proposition 20 du premier livre d'Euclide [§ 24, p. 57].

Il est donc impossible qu'il existe un triangle rectiligne dont les angles aient une somme plus grande que deux angles droits.

II. S'il existe un seul triangle rectiligne dans lequel la somme des angles soit égale à deux angles droits^ cette somme sera égale aussi à deux angles droits pour tous les triangles rectilignes possibles,

io Soit ABC {fig. 45) un triangle rectiligne tel que jABC=2dr. Faisons le triangle BCD = ABC, en prenant l'atigle BCD=CBA et CD = AB, d'où BDC=:A, CBD=BCA, BD=AC.

Prolongeons AB, AC de longueurs BE^AB, CF= AC; joignons DE, DF. Des égalités précédentes et de /ABC=2dr.. il résulte

74 ArMfiDlGb.

DBE=BAG=DGF> à'ôh Ton conclut que chacun dM triangles DBE, DGB est égal à ABC. On en déduit en^tiite aiflëthent que la

somme des angles en D est z=2dr.^ el par suite EDF est une ligne droite. Donc oh peut construire ]uri triangle AËF, ayatit ses côtés doubles respectivement de ceux du ttlangle proposé ÀBC ; de plus, équiangle avec ABC^ et àyàht par siiite la somtne de seà angles =2dr.

On pourra répéter cette construction autant de fois que Ton voudra, et obtenir ainsi uii triangle dont lés côtés seront aussi grands que l'on voudra, et la somme dès angles égalé encore à 2dr.

2*» Si un triangle AMN {fig. 46) a tin angle A cômnâiin avec le triangle A6C dont la sotnme dés angles ==2dr,^ oii âiirà aussi

Fiç. 46.

/AMN = 2dr. Construisons^ en effet, d'après ce qu'on vif^nt de voir, un triangle AGH, dont les côtés AG, AH soient respectivement plus grands.que AM, AN, et tel que Ton ait /AGH=JABC= 2 dr.; menons GN. La somme totale jAMN-h jMNG-h/NGH=la somme des angles en H + la somme des angles en N + JAGH^ et^ par suite, = 6dr. ; et comûie aucune des trois sommes partielles ne peut

surpasser a dr. [fifop. i], il fiiut que cbftettne d'elles soit sB:ddr. Donc /AMNssadr.

3* Soit mainteiiafil aht {fig. 47) nn triangle queleonque. Si ses angles ne sont pas égaux à ceux da triangte ABC paver \esfuA

J*ABC=2dr., il faudra que Pun au inoiris d'entre eux soît moindre que l'angle correspondant de ABC, sans quoi î'^ôn aurait ya6c> idr. Supposons donc bac < B'AC ; fatisons bafz= 6AC et inehons hf à volonté. 0'après i^,ahfei AÈC ayant un angle cômraurr, rahf=2dr.; dbd et a6/ ayant un angle comniun^ Jabd = 2 dr, ; abd ei abc ayant un angle commun^ Jahcz=z2dv.

OÏÏirè ces théorèmes et les 28 premières propositions dEucIide, voici un aperçu des bropositions de la Géométrie qu: s^étabHssént indépendamment de raxiôme 14 fj.

Une droite peut avoir avec un cercte ùh ou deux points cofhmuns, et pas davantage. Trois points étant donnés sur un cercle, trouver lé centré de ce cerclé. Possibilité dés polygones réguliers; construction effective de ceux de 4, 8, (6,... côtés seulement. Deux cercles peuvent avoir, sans coïncider, un ou deux points communs, et pas davantage.

Propriétés des figures sphériques, en partie analogues aux 28 premières propositions d^Euclidc. Egalité iéi triangles sphéHques. Tt'iangles sphériques îsoscèles, etc. Trouver le centre (Fun cercle passant par trois points donnés sur la sphère (**) . Déterminer le rayon d^me

(*) SoLTAi, kurzer Grwidriss eines Versuchs u. s. to. C^) Ce proÛème n'^est résoluble pour trois points dîoDoés sur uif plan qaé lorsqu'on admet ràxiôme 4(. Si trois points quelconques, non en ligne

Sphère par une coastmctioD plane. Tracer un grand cei'cle passant par deux points donnés, ou perpendiculaire sur le milieu d'un arc de cercle donné, ou partageant un angle donné en deux parties légales, etc. Petits cercles et arcs de grands cercles tangeots. Construction des polygones sphériques réguliers de i, 8, IC,... cillfe. Aire du Iriangle spbérique et.de la sphère totale. La somme d«s angles d'im triangle sphérique dont les cûlés sont infiniment petili par rapport au rayon de Ja sphère a pour limite deux angles droiu.

Si donc on construit la surface qui est la limite d'une sphère passant par un point donné, et dont le rayon croit jusqu'à l'inGni, les triangles tracés sur celte surface auront la âomme de leuni angles égale à deux angles droits, et par conséquent toutes les conséquences qui découlent de l'axiome 11 en géométrie plane sont vraies, dans rhypothèse contraire, pour ces triangles tracés sur la tphère-Umitr. En particulier, on peut appliquer à ces triangles les formules de la trigonométrie rectiligne ordinaire, et en déduire ensuite les formules de la trigonométrie sphérique, qui se trouvent ainsi étahiies indépendamment de la théorie des parallèles (*).

Mais cette sphère-limite coïncide- t-elle avec un plan? Tout ce qu'on peut dire, c'est qu'elle n'en diffère pas sensiblement dans l'étendue accessible à nos mesures, les triangles rectilignes que nous connaissons ayant une somme d'angles que nous ne pouvons pas distinguer de 3 angles droits ["}. Rien ne uous démontre cependant qu'il en soit de même pour des triangles rectilignes plus grands, et que la somme des angles de ces triangles ne finisse pas par être sensiblement moindre que 2 droits,

II n'y a, en effet, aucune incompatibilité entre les premiers :s (nos axiomes 1, II et III] et la supposition que la somme

droite, pouvaient toujours être placés si démontré.

(') l.agrange avait reconnu l' in dépendance entre les l'onnule» de la Irigon limé trie sphèrjque «t l'aiiâme 1 4 , et il croyait pouvoir tirer de Ik une démoostraiiiin de cet axiârne. Il considérait d'ailleurs louies les autres leniatives de démon si m ti ou comme insulSiiantes, C'eat ainsi qu'il s'exprimait dans ses cou versa ti on ^i avec U. Ëiot. (Communiqua pur M. L»(ori,f

(") D'a^irësles calculs de Loba tscliewsk y, les observa tloni uHronomiquei indiquent que, pour un triangle dont les eûtes seraient ï peu près égaui 1 la distance de la Terre au Soleil, la somme des angles ne diffère pas de

3dr. de3dis-mill>èi

lE de seconde.

des angles d'un triangle soit moindre que 2 angles droits. J^ Bolyai et Ijobatscheiwsky ont tiré les conséquences de cette supposition, sans jamais se trouver en contradiction avec la logique, mais seulement avec l'expérience^ telle que nous la permettent nos moyens limités.

Si la somme des angles d'un triangle rectiligne est moindre que 2 droits^ on peut alors mener^ par un point donnée une infinité de droites différentes^ qui ne rencontrent pas une droite donnée. Celle de ces droites qui s'approcbele plus de la droite donnée est dite parallèle à cette droite. Deux droites parallèles sont asymptotes TunedeTautre.

11 n'y a plus^ dans cette hypothèse, de figui^es planes semblables. On ne peut plus partager par les procédés élémentaires une droite en trois parties égales, ni circonscrire un cercle à un triangle rectiligne quelconque. La somme des angles d'un triangle varie entre 2 angles droits et zéro^ et peut diminuer indéfiniment, lorsqu'on fait croître les côtés à rinfini. L'angle d'un polygone régulier n'est plus constant, et diminue indéfiniment, lorsqu'on fait croître le côté du polygone jusqu'à l'infini.

Au contraire, la somme des angles d'un triangle rectiligne infiniment petit tend vers 2 angles droits^ comme celle des angles d'un triangle sphérique infiniment petit.

Les formules de la trigonométrie rectiligne relatives à Thypotbèse où l'on rejette l'axiome 1 1 présentent une grande analogie avec celles de la trigonométrie sphérique ; elles s'en déduiraient en attribuant aux côtés du triangle sphérique des valeurs imaginaires.

Lobatschewsky a fait voir (*) que l'on pourrait construire sur cette hypothèse un système complet de géométrie, à laquelle il a donné le nom de Géométrie imaginaire, nom qu'il serait plus convenable de remplacer par celui de Géométrie abstraite. Les expressions des éléments différentiels des lignes courbes^ des surfaces et des vojumes sont les mêmes que dans la Géométrie réelle ou expérimentale,

£n résumé, Pexpérience ne nous ayant montré aucun triangle rectiligne^ si grand qu'il soit^ dont la somme des angles soit moindre que deux angles droits, la géométrie d'Euclide est certainement vraie^ au moins dans les limites de nos observations. Aussi suffira-t-elle

(*) Géométrie imaginaire (Journal de Grelle, t. XVIl, 1837). —Pangéométrie (Kazan^ 4855). — Yoir aussi J. Bolyai, Appendix scientiam spalii ahsolute veram exhibens, etc.» inséré dans le t. 1 du Tentamen, etc., de W.

BOLTAI.

luujours dsns la pratique, et l'étude de la Géométrie abstrailt n'olTrim jamais d'iiitéièl qu'au point de vue philosophique, où elle acquiert, iiu contraire, une importance capitale.

Sur la lUëorJe des parallÈle».

Si l'on juge de la iHrei-tiim d'une droite par l'angle dont elle e'écat'le d'une diiection donnée, deux droites qui forment avec uiu' troisième des angles correspondants égaux sercnl de même direetion, et le théorème ddmonli'd au § H pourra s'énoucer ainsi :

Deux droites de mêm'! difi-lion ne peuvent se Tencontrer^ et «ont poraltèles .

Celle proposition pourrait être prise pour axiome, en considértnl l'idée de dirtdion comme une donuée fondamentale de l'expérience. Dès lors, il serait évident que deux droites qui se rencontrent oril des directions dilTéreules, et par suite celles qui ont la même diiei-tioD ne peuvent se rencontrer.

Dans cet ordre d'idées, l'axiome réciproque, c'est-â-dirt l'axiiime IV du § 15, pouirail s'énoncer comme il suit :

Dans UH plan, un« droilt quelconque rencontre toutes cellet qui n'ont pas la même direction.

Cet énoncé devient encore plus évident, lorsqu'on le rapproche de ce que nous avons dit (§ 6} de la génération rectitigne du plan.

Celte manière de présenter la théorie des parallèles est plu) simple et plus sjmédique que la méthode ordinaire, et nous semble avantageuse pour un premier enseignement de la géométrie f)' Eu revenant plus tard sur cet objet, ou montrerait, comme nous t'avons fait au § 14, que le parallélisme des droites de même dii'ection est une conséquence des axiomes précédents.

Noie VIII.

r ï» langueur d'une ligne conrbe.

On démontre, dans la plupart des traités de Calcul intégral, co théorème, quil eœiste une limite commune, finie et diterminéff pour

les périmètteà des polygones infimtisimaux inscrits el drùonsorits à un arc de courbe donné. On peut présenter cette démonstration soos upe forme tout à fait élémentaire^ sans employer FaigcNrithme de l'ana*lyse transcendante.

La démonstration repose sur le principe fondamental du calcul in* tégral ('), savoir que^ dans me somme d'éléments infiniment petits^ on peut^ sans changer la limite de cette somme, altérer chacun de ces éléments d'une fraction de lui-même infiniment petite. «~ En effets en remplaçant toutes ces fractions par la plus grande d*entre elles, qui est encore infiniment petite, on voit que raltéralion de la somme est moindre que cette fraction maximum de la somme elle-* même, c*cst*à-dire que si s^, s,,.... sont tous moindres que s, on a e^aj4-6,a,-f-....<E(«j-h«,-H-..».). La somme étant supposée ônié^ TaUération sera donc moindre qa^une fraetton infisanaent petite d'une cpiantité finie^ et par siûle elle sera infinmoent petite» Don^ TaUération de la limite sera la limite d^fui infiniment petit^ c'est4« dire zéro.

Cette démonstration ne repose^ tomme on veit^ smr aucune eensidération qui dépasse ks principes que l'on a souvent occasion d4n« voquer en géométrie élémentaire.

Disons en passant que ce principe fournit immédiatement lesdé^ monstrations ks plus simples des théorèmes sur ^équivalence de deux prismes ou de deux pyramides de même base et de même hauteur.

Supposons maintenant que l'on ait un trian^ dont un seul angle soit infiniment petit. Le côté opposé à cet angle sera infiniment petit par rapport à chacun des deux autre» (^^), et il en sera de méme^ à plus forte raison, de k diiférence de ces deux côtés par rapport à chacun é^euœ, Nous énoncerons ce résultat d'une manière abrégée^ en disant que les deux côtés qui comprennent Fan^e infiniment petit différent infiniment peu Fun de Faatre.

}1 résulte de là que, sf Fon projette, par des parallèles de direo^ tion quelconque, orthogonale ou non, une droite de longueur donnée sur un axe faisant avec cette di'oite wa angla infiniment petat, lu

(*) Duhamel, Eléments de calcul infinitésimal, t. 1, p. 35. C*) Le rapport de cette diffièrence à chacun des côtés serait même infiniment petit du seçonç^ ordre^ si \fi wi^ngh était rççtap^Ie.

ililTérence entre la droite et sa projection sera infiniment petite pur rapport à chacune d'elles ; en d'autres termes, la droite et sa projectioD différeront infiniment peu.

Donc, si la droite qui ferine un contour polygonal fait avec cfaacfin des câtés de ce contour des angles infiniment petits, la longueur de cette droite ne diffùrcra qu'ialiniment peu de celle du contour polygonal.

Cela posé, considérons un arc de courbe, que nous supposerons plane, pour plus de simplicité, et admettons que cet ai-c soit entièrement convexe ('). D'après les coroliaii-cs de la proposition 20 du premier livre d'Euclide (§ 24), on voit ; 1° Que le contour d'un polygone inscrit dans l'arc convexe croit à mesure que l'on établit de nouveaux sommets inlermédiaires, en subdivisant lea arcs; 3° que le contour d'un polygone circonscrit au même arc diminue à mesure que l'on trace de nouveaux côtés, dont les points de contact subdivisent les arcs; 3° qu'un quelconque des contours inscrits est toujours moindre qu'un quelconque des contoura circonscrits.

Ou en conclut d'abord ; 1° Que le» contours inscrits, dont on augmente le nombre des câtés suivant une certaine loi, allant d'une part toujours en croissant, mais restant d'autre pai't toujours moindres qu'un polygone circonscrit quelconque, tendront nécessairement vers une certaine limite Unie, dépendante ou non de ta loi de subdivision ;

2° Que les contours circonscrits, allant toujours en diminuant par la subdivision des arcs, et restant toujours supérieurs à un polygone inscrit quelconque, tendront aussi vers une certaiue limite linie, dépendante ou non de la loi de subdivision.

Il reste à prouver que tous ces contours, tant inscrits que circonscrits, tendent vers une seule et même limite, indépendante de la loi de subdivision.

Considérons un cùté d'un contour inscrit, et un polygone inscrit dans l'arc sou»-tendu par ce côté. Si ce côté est assez petit, sa direction, ainsi que la direction d'un côté quelconque du polygone ea question, fera un angle aussi petit qu'on voudra avec la tangente en un quelconque des points de l'arc. Donc, d'après la proposition démontrée ci-dessus, le côté et le polygone diffèrent l'un de l'autre infinimenl peu.

Soient maintenant deux polygones inscrits quelconques, à côtés suffisamment petits. Si nous les comparons l'un et Tautre au polygone formé par la réunion de tous leurs sommets, et correspondant par conséquent à une subdivision de chacun des deux systèmes d'arcs, chaque côté de Tun quelconque des deux contours primitifs différera infiniment peu de la portion correspondante du troisième contour. Donc chacun des deux premiers contours différera infiniment peu du troisième^ et par suite les deux premiers contours dif-^ féreront infiniment peu l'un de l'autre. Donc ils ne peuvent tendre que vers une seule et même limite.

On étendrait de même ce résultai à deux polygones circonscrits, on à un polygone inscrit comparé avec un polygone circonscrit.

Ainsi se trouve établie l'existence de la longueur d'une courbe plane.

Il en résulte en même temps :

i^. Que cette longueur est plus grande que celle d'une ligne droite ayant les mêmes extrémités ;

2» Qu'une courbe convexe est plus courte qu'une courbe quelconque qui l'enveloppe de toutes parts sans la couper^ ou qui Fenveloppe en s'appuyant sur l^s mêmes extrémités ;

3^ Que la limite du rapport d'un arc infiniment petit à sa corde est égale à l'unité.

Le même mode*de démonstration servirait à établir l'existence de la longueur d'une courbe non plane^ et celle de l'aire d'une surface courbe.

Note IX.

RéfleiioDs sur renseignement de la géométrie élémentaire.

Tout le monde s'accorde à répéter que l'un des buts de l'enseignement des mathématiques doit être de donner plus de rectitude à l'esprit; en lui offrant un modèle d'une logique inflexible^ appliquée à des principes certains. Pour que ce but soit atteint^ il faut évidemment que l'enseignement ne se déparie jamais de cette rigueur qui distingue les mathématiques de toutes les autres sciences^ et c'est là une condition essentielle pour que cette étude soit fructueuse, aussi bien comme gymnastique intellectuelle que comme source d'applications pratiques.

SX APPENDICE. ^^^^^^H

MaJa la ri|,'Lieur, telle que nous la concevons, n'est nullement i:ompromise par l'omiBsion volonlaire de la démonstration d'une proposition, tandis qu'elle l'est par l'introduction d'une démonstration fausse ou incomplète. La logique n'a lien à souffrir d'une lacune laissée provisoirement dans la suite des raisonnements, pourvu que cette lacune soit clairement indiquife, et qu'on ne cherche pas à la dissimuler.

C'est d'après cette manière de voir que nous concevons la possibilité d'un enseignement gradué de la géométrie élémentaire, conduit, à tous ses degrés, d'après un plan unique et invariable, toujoui's soumis aux l'ègles de la plus sévère logique, et où les difficultés ne se montreraient qu'à mesure que les esprits seraient préparés à les aborder.

Pour cela, l'étude de la géométrie devrait Être reprise successivement à divers points de vue, correspondants aux divers degrés d'initiation des élèves. Pour les commençants, il s'agit avant tout de se familiariser avec les figures et leurs dénomi nations, d'apprendre des faits, d'entrevoir leurs applications les plus simples et les plus immédiates, celles surtout qui se rapportent aux usages de la vie ordinaire. On devra donc, au début, multiplier les allâmes, employer, au lieu de démonstrations, les vérificalions expérimentales, l'analogie, l'induction, en ne laissant jamais oublier que ce mode d'exposition est Essentiellement provisoire. On eierceca l'élève aux tracés (n'Sphiques, au maniement des instruments, à la solution de divers problèmes de levé des plans et d'arpentage, à la construction des figures en relief au moyen de ûls ou d'argile plastique, à la représentation de ces liguies à l'aide de leurs projections, etc., etc. Le maître saura proportionner au degré de développement intellectuel de l'élève la part plus ou moins grande qu'il devra faire au raisonnement, dans celte première ébauche des éludes géométriques; etig grande variété d'applications qu'olTrent la géographie, l'astronomie, l'arpentage, la stéréotomie, etc., suffira pour donner à cet enseignement un intérêt soutenu.

On pourra mêler ik la géométrie pui'e et appliquée l'élude des propriélés les plus simples des nombres entiers , que l'on l'eprésenter» par de) points régulièi'ement distribués sur des droites ou sur dc^ plans, ou encore par des longueurs de droites, des aires de rectangles ou des volumes de parallélépipèdes. Celle manière de traiter l'antlimétique conduit aussi promptcment que la méthode abslraila mu

APPE!IDIGB. 83

règles du calcul^ et chaque raisonnômetit acquiert une plus grande clarté par cette reprësentatioû qui parle aux yeux.

On exposera ensuite le système des poids et mesures^ tandis que^ d'un autre côte , on étudiera les propriétés des proportions entre nombres rationnels.

Remarquons que lés diverses théorie^ que nous venons d'ënumërer^ et qui devront servir de préliminaires à Tétude rigoureuse de la géométrie^ ne sont pas destinées ^ selon nous ^ à faire Pobjet d'une suite unique de leçons. On ne doit pas craindre de se répéter ^ dans un enseignement sbientifique^ et les élèves devront suivre suceessi^-e^ ment plusieurs cours gradués, dont chacun comprendra lei matières du cours précédent, plus les nouveaux développeitients qu'on y ajou« tera^ en faisant au raisonnement une plus large part«

Mais les programmes de ces cours successifs ne devront pas être tracés au hasard , indépendamment les uns des autres. Il ftiudra se garder^ avant tout^ d'altérer l'ordre des propositions pour substituer à une démonstration difficile un raisonnement plus simple en apparence et moins rigoureux. Si une démonstration présente quelques difficultés pour rintèlligence de Pélève^ qu'on la supprime , sans la remplacer autrement que par des explications, des analogies, des vérifications expérimentales. Mais que la subordination des vérités géométriques, telle que l'exigera plus tard une élude scientifique et ap* profondie, soit conservée sans altération à tous les degrés de l'enseignement. Qu'il y ait unité de plan, et que les cours les plus élémentailles ne diffèrent des cours les plus élevés que par des suppressions, de telle sorte que la place de chaque démonstration soit toujours réservée, et qu'on n'ait plus qu'à l'y intercaler j lorsque l'esprit de l'élève sera suffisamment préparé*

Le premier enseignement sera donc exclusivement expérimental^ et peu à peu on fera voir à l'élève comment toutes les vérités n'ont pas besoin d'être séparément constatées par l'expérience, et comment elles sont les conséquences d'un certain nombre d'entre elles, nombre que l'on restreindra de ptus en plus, à mesure que Ton avancera dans l'étude de la science, jusqu'à ce qu'on soit arrivé aux axiomes fonda* mentaux, dont le nombre ne peut plus être réduit.

Telle doit être, à notre avis , la première période de l'enseignement géométrique , et le programme que nous venons d^esquisser comprend toutes les notions mathématiques nécessaires aux corntiiiîâçants. Parallèlement à e#t etiseignemêfit , l'élève pourra suivie

utilement des cours élémentaires de cosmographie , de mécanique, de physique, de chimie , où il rencontrera à chaque instant des applications dû ses connaissances en géométrie et en arilhmétique-

Le second degré d'enseignement se rapprocherait, d'après nos idées, du système actuellement suivi dans les classes de science des lycées français. En géométrie , on adopterait la méthode euclidienne dans toute sa rigueur , et le cadre des éludes embrasserait à peu prËs lu l^]léments d'£uclide et les premières notions sur les sections conique!.

On Joindrait à celte étude celle des premières notions d'algèbre, en rattachant les règles du calcul algébrique aux propriétés des figures par des raisonnements analogues à ceux du second lirre d'£udide. On établirait ainsi par la géométrie, en mSme temps que pac l'analyse abstraite , tes principales règles de la multiplication algébrique, la résolution des équations du second degré , les principaui théorèmes sur les maxima et les minima, etc.

L'étude rigoureuse de la géométrie conduisant tout naturelleraent au principe des limites et à la considération de l'incommensurabilité, on serait alors amené à introduire les symboles appelés nombres ineotnmensurables, et h revenir sur la théorie des proportions, en l'étendant à des grandeurs continues, généralement incommensurables.

On pourrait passer de là à l'élude des logarithmes et de la trigonométrie.

Mais cette étude dû la géométrie scientifique et rigoureuse doit elle-même être graduée, comme celle de la géométrie expérimentale. S'il peut être avantageui , dans une première exposition , de s'attacher autant que possible à la méthode des anciens , atia d'établir d'abord avec brièveté et précision les faits fondamentausde lascience ; il nous semble, au contraire , que dans les révisions successives du cours de géométrie , on devra s'étudier de préférence à faire comprendre, par des applications aux vérités simples et désormais bien connues de la géométrie élémentaire , les grandes méthodes et les puissants procédés de l'analyse moderne. On pourra , de cette manière, sans sortir du cadre d'Euclide , initier l'élève à tous les procédés qu'il aura plus lard à appliquer dans tes parties les plus élevées de la science.

Ainsi, on sait quelles sont, en géométrie et en arithmétique , les nombreuses applications du principe des limites.

L'étude des lieui géométriques, employés comme moyens généraux de résolution des problèmes déterminés, conduira naturelleraent

à la notion de fonction d'une ou de deux variables indépendantes. En y joignant même le mouvement, on aura une représentation sensible des fonctions de trois et môme de quatre variables.

Le cercle et les sections coniques donneront lieu d'appliquer la méthode des tangentes, et de présenter la méthode des limites sous la forme plus cominode de la méthode inlinitésimale.

On reviendra alors avec plus de détails sur les questions de maxima et de minima^ei on les ramènera à la méthode des tangentes^ dans le cas d'une seule variable indépendante.

Les quadratures et les cubatures des lignes et des surfaces pourront s'effectuer non-seulement par les méthodes détournées des anciens, mais encore par les méthodes directes sur lesquelles est fondé le calcul intégral. Ainsi l'équivalence de deux prismes de même base et de même hauteur pourira s'établir par la division en tranches infiniment minces, comme nous Tavons déjà indiqué dans la Note précédente.

C'est alors qu'il conviendra d'introduire les notions de longueur d'une ligne courbe quelconque et d'aire d'une surface courbe quelconque, en justifiant et généralisant les définitions restreintes et incomplètes qu'on en avait données, au moyen des polygones réguliers, en traitant du cercle et des trois corps ronds.

On peut enfin, sans sortir du même cadre, donner des exemples de courbes enveloppes, d'applications de la méthode inverse des tangentes, etc.

En un mot, la géométrie i'Euclide peut servir de texte à une exposition de tous les principes fondamentaux de l'analyse moderne, et l'on conçoit quel fruit un esprit intelligent pourrait retirer d'une telle préparation à l'étude de la géométrie analytique et du calcul infinitésimal.

TABLE DES MATIERES

Pages.

Préface v

Introduction 4

Les 32 premières propositions du premier livre des Élémenis

d'Euclide.: 9

Essai d'une exposition rationnelle des principes de la Géométrie élé •

mentaire 37

Appendice. Note I. Sur l*invariabilité des figures 59

Noie II. Sur le mouvement géométrique id.

Note IIÎ. Sur les axiomes relatifs à l'existence du plan et de la ligne

droite , 60

Note IV. Sur la définition de Ja ligne droite 63

Note V. Sur Tunité angulaire *...... 68

Note VF. Sur Taxiôme 11 (dit postulatum) d'Euciide 72

Note VII. Sur la théorie des parallèles 78

Note VIII. Sur la longueur d'une ligne courbe id.

Note IX. Réflexions sur renseignement de la Géométrie élémentaire. 81

Paris, —-Imprimé chez Jules Bonaventure, 55, quai des Grandie A nfjustins.