D'UNE EXPOSITION RATIONNELLE DES PRINCIPES

DE LA

La Géométrie est fondée sur la notion indéfinissable et expérimentale de la solidité ou de l'invariabilité des figures 0.

Elle emprunte, en outre^ à l'expérience un certain nombre de données que Ton appelle axiomes. — Nous verrons que les axiomes de la géométrie peuvent se réduire à quatre.

On appelle surface la limite de deux portions de l'espace.

Nous nous élevons à l'idée abstraite de surface par la considération d'une enveloppe ou cloison matérielle, dont nous réduisons indéfiniment l'épaisseur.

La limite de deux portions de surface s'appelle ligne.

Deux surfaces qui se rencontrent se limitent réciproquement.

L'intersection de deux surfaces est donc une ligne.

On s'est élevé à l'idée abstraite de ligne soit par la considératioil d'une tige très-mince, soit par celle de la rencontre de deux cloisons, ou de la trace laissée sur la superficie d'un corpp par le contact d'une autre surface.

La limite de deux portions de ligne s'appelle point.

Une ligne peut être limitée par sa rencontre avec une surface ou avec une autre ligne.

Ainsi rintersection de deux lignes ou d'une surface et d'une ligne est un point.

(*) Voy. Nolel.

L'intersection de trois surfaces est aussi un point. L'idée de point est venue de {a consi()érd|ipn d'i^q cofps^ dont les dimensions étaient indéfiniment réduites.

Nous avons défini les mots surface, ligne, point, en partant de l'idée de surface pour arriver jusqu'au point.

On peut suivre Tordre inverse, en introduisant plus explicitement ridée de mouvement (*).

On dira alors, en partant de Tidée de point, comme idée primitive, qu'une ligne est l'ensemble des positions occupées successivement dans l'espace par un point qui se meut.

De même, on peut considérer une surface comme Tensemble des positions occupées successivement par mie ligne qiii sedéplacô, et qui en même temps peut changer de forme.

Toutes ces idées peuvent être rappelées par les représentations matérielles qui leur ont primitivement donné naissance.

L'étude des lignes et des surfaces constitue l'objet de la géométrie.

On donne le nom de figure à un ensemble quelconque de points, de lignes ou de surfaces, considéré comme invariable de forme.

Axiome I. — Trois points suffisent^ en général, pour fixer dans l'espace la position d'une figure. ^

L'expérience nous apprend cependant que, lorsqu'une figure se meut en tournant autour de deux de ses points, supposés fixes, il y a un ensemble de points, ëitués sur une certaine ligne, qui restent immobiles pendant que les autres se déplacent.

(♦) Voy.Notell.

Ces points sont disposés sur la route que suivrait, un rayon lumineux pour passer de l'un dès points fixes à Tautre (en supposant ces deux points situés dans un même milieu homogène).

La ligne qui contient tous ces points, et qui nous apparaît comme la trajectoire habituelle dos rayons lumineux, s'appelle la ligne droite. Donc

Axiome II. — Il existe une ligne, appelée ligne droite, dont la position dans l'espace est complètement fixée par les positions de deux quelconques de ses points, et qui est telle que toute portion de cette ligne peut s'appliquer exactement sur une autre portion quelconque, dés que ces deux portions ont deux points communs (*).

Ainsi, d'un point à un autre, on ne peut mener qu'une seule ligne droite (**).

Deux lignes droites qui ont deux points communs coïncident dans toute leur étendue, quelque loin qu'on les prolonge au-delà de ces deux points.

En d'autres termes, on admet qu'une ligne droite peut être prolongée indéfiniment dans les deux sens, et qu'elle ne peut l'être que d'une seule manière.

Si, en joignant deux points d'une surface par une ligne droite, la partie de la droite comprise entre ces deux points se trouve d'un certain côté de la surface, on dit que la surface ( st concave de ce côté, ou convexe du côté opposé. ' L'expérience nous montre certaines surfaces, comme celle des eaux tranquilles, qui ne sont concaves d'aucun côté, et sur lesquelles une ligne droite, menée entre deux de leurs points, s'applique dans toute son étendue.

Une telle surface s'appelle une surface plane ou un plan.

Soient A, B, C {fig. 33) trois points d'une surface plane. Si l'on joint le point C à un point quelconque A de la droite AB, la droite CA sera, ainsi que la droite AB,comp^i^e tout entière

C) Voy. Noie 111.

(**) C'est, sou$ upe f^ptre forme, Taxiôine 12 d'Euclide.

dans la surface. Si Ton fait mouvoir le point A tout le long de la droite ÂB, la ligne CÂ prendra une infinité de positions^ qui par leur ensemble engendreront la surface.

Fiç. 33.

Ainsi la surface plane peut être considérée comme engendrée par le mouvement d'une droite tournant autour d'un point fixe, et glissant le long d'une droite fixe qui ne passe pas par ce point.

Si l'on fait tourner un plan autour de deux de ses points A etB, ou, ce qui revient au même, autour de la droite AB comme charnière, jusqu'à ce qu'un point C du plan, non situé sur la droite AB, vienne rencontrer l'ancienne position du plan en un point C^, situé de l'autre côté de AB par rapport àC; Tancienne position pouvant être considérée comme engendrée par le mouvement de C^A le long de AB, et la nouvelle par le mouvement de CA le long de la même droite AB, il est clair que ces deux positions ne formeront qu'une seule et même surface, puisque leurs lignes génératrices coïncident dans chaque position; en sorte que la surface retournée coïncidera avec son ancienne position.

En général, si l'on donne à deux plans trois points communs, non en ligne droite, le même raisonnement fait voir que les deux plans coïncideront dans toute leur étendue. Donc *

Axiome 111. — Il existe une surface telle qu'une ligne droite, qui passe par deux quelconques de ses points, y est renfermée tout entière, et qu'une portion quelconque de cette surface peut être appliquée exactement sur la surface elle-même, soit directement, soit après qu'on l'a retournée, en lui faisant faire une demi-révolution autour de deux de ses points. Cette surface est le plan.

Par trois points non en ligne droite, ou par une droite et un

DE LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE^ Ai

point situé hors de cette droite, ou encore, par deux droites qui se coupent, on peut toujours faire passer un plan, et Ton n'en peut faire passer qu'un.

Lorsque deux droites se rencontrent, on dit qu'elles forment un angle.

On peut se représenter un angle comme la quantité plus ou moins grande dont il faut faire tourner une droite autour d'un de ses points pour la faire passer d'une position à une autre, en supposant que le mouvement s'accomplisse dans le plan mené par les deux positions.

On peut passer de la position ÂB {fig. 34) à la position AC,

Fiç. 34.

en tournant dans un sens ou dans l'autre : l'angle décrit n'est pas le même dans les deux cas.

Pour aller d'un point A à un autre point B, en suivant une ligne droite, il faut connaître i» la direction de cette droite, 2** la longueur de la portion de cette droite comprise entre les deux points.

Pour déterminer la direction d'une droite, on commence par imaginer un plan passant par les deux points A, B, et dans ce plan une droite fixe AC, menée par le point A. La direction de la droite AB sera connue, si l'on donne Vangle CAB qu'elle fait avec la droite fixe AC, c'est-à-dire la quantité dont il faut tourner, dans le plan ABC, suivant un sens convenu, pour passer de la position AC à la position AB.

Si l'on donne ensuite la distance AB, c'est-à-dire la quantité dont on doit s'avancer sur la droite AB, on aura enfin la position du point B.

42 EXPOSITION DES PBINGIPES

Il est facile de s'expliquer pourquoi Toa a pris la ligne droite pour mesurer les distances, le plan pour mesurer les angles.

I** C'est que d'abord, par deux points donnés, on peut toujours mener une ligne droite, de même que, par deux droites données, on peut toujours faire passer un plan. — Il pourrait n'en plus être de inême, si Ton prenait une ligne courbe ou une surface conique de forme donnée.

2° En second lieu, toute portion de ligne droite ou de plan peut être superposée à une ligne droite ou à un plan, de sorte que l'on peut constater immédiatement l'égalité ou l'inégalité de deux distances ou de deux angles.

Lorsqu'une droite, après avoir tourné toujours dans le même sens, revient à son ancienne position, on dit qu'elle a accompli un tour entier.

Lorsque la droite vient se placer sur son prolongement, on dit qu'elle a fait uq demi-tour.

Lorsqu'elle s'arrête de manière à former avec sa première position et le prolongement de celle-ci deux angles égaux, elle a décrit un quart de tour ou angle droit, et sa nouvelle position est àiie perpendiculaire à la première.

Le prolongement de la perpendiculaire est aussi une perpendiculaire.

La première droite est aussi perpendiculaire à la seconde.

Tous les angles droits sont égaux.

On a pris pour unité de mesure angulaire le quart de tour ou angle droit (*).

On appelle cercle une ligne courbe tracée sur un plan, et dont lous les points sont à la même distance d'un point fixe, .appelé centre.

[*) Voy. Noie V.

Si Ton fait tourner une droite dans un plan autour d'un de ses points^ chacun des autres points de la droite décrira dans ce mouvement un cercle.

La distance constante d'un point du cercle au centre s'appelle rayon.

Si Ton fait tourner un cercle dans son plan autour de son centre, le cercle ne cessera pas de coïncider avec lui-même.

Un diamètre est une droite passant par le centre, et terminée de part et d'autre au cercle.

Si Ton fait faire à un cercle un demi-tour autour de son centre et dans son plan, de telle sorte qu'un diamètre donné revienne coïncider avec son ancienne position, on voit que Tune des deux parties du cercle viendra coïncider ayecTautre. Donc un diamètre divise le cercle et la portion de plan qu'il entoure, chacun, en deux parties égales.

Si l'on fait faire à un cercle un demi-tour autour d'un de ses diamètres, jusqu'à ce que son plan revienne coïncider, par retournement^ avec son ancienne position, le cercle coïncidera encore avec lui-même, ce qui montre q||e |es (Jeux moitiés du cercle peuvent se superposer de |3eux manières différentes.

Deux cercles de même rayon coïncident nécessairement, dès que l'on fait coïncider leurs plans et Jeurs centres.

Tandis qu'une droite tourne autour d'un de ses points, supposé fixe, considérons le cercle décrit par un quelconque des points mobiles de la droite.

Pendant que la droite accomplit un tour entier, elle parcourt le cercle entier.

Lorsqu'elle fait un demi-tour, elle parcourt le demi-cercle.

Si on la fait tourner d'angles égaux à partir do deux positions AB, AB' (fig. 35), les arcs décrits BC, B'C seront égaux. — Car, si l'on fait tourner le cercle autour de son centre jusqu'à ce que AB' vienne se placer sur AB, l'égalité des angles fait voir que AO tomhera sur AC, et par suite les arcsBCB'C' devront coïncider.

Si un an^le est égal à la son^me ou à la différence de deux autres, l'arc correspondant au premier angle sera égal à la

AÂt EXPOSITION DES PRINCIPES

somme OU à la différence des arcs correspondants aux deux autres angles.

Fijj. 35.

De là résulte que

!• Un angle droit comprend entre ses côtés un quart de cercle ou quadrant.

2° Si un angle est multiplié par un nombre entier quelconque, Tare correspondant est multiplié par le même nombre entier.

3o Si un angle est divisé par un nombre entier quelconque^ Tare correspondant est divisé par le même nombre entier.

4o Si deux angles ont entre eux un rapport quelconque^ les arcs correspondants ont entre eux le même rapport.

Donc Tare compris entre les côtés d'un angle varie proportionnellement à cet angle (*).

Si Ton veut donc comparer un angle à son unité, pour arriver à sa représentation numérique, il revient au même de comparer Tare correspondant à cet angle avec l'arc correspondant à l'unité d'angle, et que Ton prend naturellement pour unité d'arc.

L'unité d'angle étant l'angle droit, Funité d'arc sera le quadrant.

On exprime cette correspondance en disant qu'un angle au centre a pour mesure l'arc compris entre ses côtés.

L'avantage de la substitution des arcs d^ cercle aux angles consiste à offrir une représentation plus facile à saisir^ et à

(') En d'autres termes, si Y on prend pour unité d'arc i*arc correspondant à Tunité d^angle, en exécutant les opérations nécessaires pour Pévaluation numérique de l'angle, on se trouvera exécuter en même temps les opérations qui conduisent à l*évaluation numérique de Tare, et Ton arrivera de pari et d*autre au même résultat.

faciliter les opérations graphiques que Ton doit exécuter stir les angles.

Une droite AD (fig. 36), qui en rencontre une autre, fait avec les deux parties AB, AC de celle-ci deux angles dont la

somme est Tangle CAB = un demi-tour ou deux angles droits.

Ces deux angles sont dits supplémentaires, et chacun d'eux est le supplément de l'autre.

Si Ton ajoute deux angles supplémentaires^ il est clair que leurs côtés non communs seront en ligne droite.

Si deux droites se traversent mutuellement, les angles opposés parle sommet sont égaux, comme ayant même supplément. — On pourrait encore démontrer celte égalité, en retournant la figure de manière que chacun des côtés de l'angle supplémentaire commun vînt coïncider avec l'ancienne position de l'autre côté, auquel cas les deux angles en question seraient amenés à coïncider (*).

On peut encore énoncer la même proposition, en disant que les deux arcs de cercle compris entre deux rayons et entre les prolongements de ces rayons sont égaux entre eux.

Deux droites quelconques, rencontrées par une troisième^

(*) Nous ferons un comiiiuel usage de ce procédé de retournement toutes les fois qu'il s*agira de démontrer Tégalité de deux parties d'une même figure. On peut présenter ce procédé autrement, en concevant que Ton plie en deux la figure autour de son axe de symétrie, qui est ici la bissec-' trice de Tangle supplémentaire.

forment avec celle-ci huit angles égaux deux à deux, et supplémentaires deux à deux, et auxquels, pour les désigner plus facilement, on a donné les noms de correspondants, d'alterner internes^ d'internes (ïun même côté, etc.

Si Ton suppose qu'une quelconque des cinq relations suivantes ait lieu :

i^ Angles correspondants \

2* alternes-inlernes \ égaux,

30 alternes-externes )

40 Angles internes d'un même côté j g^p lé^entaires,

50 externes I

les quatre autres relations ont nécessairement lieu.

Lorsque ces cinq relations ont lieu, les droites CD, EF ne peuvent avoir aucun point commun (fig. 37). — Concevons, en

effet, que la moitié de gauche de la flgure soit rendue mobile, et qu'on lui fasse faire un demi-tour, dans son plan, autour du milieu I de la droite AB. Lorsque le point A sera arrivé en B et le point B en A, on voit aisément que les deux moitiés de la figure coïncideront dans tous leurs points, quelque loin que Ton suppose les droites prolongées. 11 ne saurait donc y avoir un point de concours des droites dans une des moitiés de la figure, sans quUl en existât un autre dans Tautre moitié ; et comme Texistence simultanée de deux points de rencontre est contraire à la nature de la ligne droite, il s'ensuit que les deux droites n'ont aucun point commun.

Donc, si Ton fait glisser un angle, de grandeur invariable, le long d'un de ses côtés, supposé fixe, le côté mobile se détache entièrement de son ancienne position, et ne conserve plus avec elle aucun point commun.

Deux droites situées dans le même plan, et ne pouvant se

DE LA GÊOMÉTftlE ÉlÉMENTAIKE. il

rencontrer, si loin qu'on les prolonge Tune et Tâutre, sont dites parallèles.

Ainsi deux droites qui forment avec une troisième des angles satisfaisant à Tune des cinq conditions ci-dessus^ sont parallèles.

En particulier, deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles entre elles.

En d'autres termes, par un point donné hors d'une droile, on ne peut pas mener plue d'une perpendiculaire à cette droite.

Il résulte de ce que nous venons de dire que, par un point pris hors d'une droile, on peut toujours miener une parallèle à cette droite C).

La parallèle étant rïienée, si on la fait tourner tant soit peu autour de l'un de ses points, elle finira par atteindre la première ligne, lorsqu'on les prolongera suffisamment l'une et l'autre ; de sorte que la position de parallélisme est unique. C'est là un nouveau principe, qui n'est pas renfermé dans les axiomes précédents, et que nous énoncerons ainsi :

Axiome IV. — Par un point donné, on ne peut mener qu'une seule parallèle à une droite donnée.

Il résulte de là que

l"* Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.

2o Deux droites paralïèïes étant rencontrées par une sécante, les angles formés satisfont aux cinq réiatioàs du pàragràpbie précédent.

En particulier, foute perpendiculaire à l'une dès parallèles est perpendîcctiaîre à l'autre.

Donc, pàf un point donné hors d'une droite, on peui toujours mener une perpendiculaire à cette droite. — Car si Àff (fig. 38) est une perpendiculaire itiénéé à la droite donnée en un quelconque dé ses points, la parallèle à AB, menée par le - i -

C) Voy. Noie VU.

AS

point donné C, sera la perpendiculaire demandée. ^— Nous avons d'ailleurs \u^ dans le paragraphe précédent^ que cette

Fig. 38.

perpendiculaire est la seule qui puisse être abaissée du point C sur la droite donnée.

Deux angles qui ont les côtés parallèles et dirigés dans le même sens sont égaux. — On le voit en les comparant à Tangle formé par Finterseclion de leurs calés prolongés.

Réciproquement, deux angles étant égaux et dirigés dans le même sens^ si leurs premiers côtés sont parallèles^ leurs seconds côtés seront aussi parallèles.

Il résulte de là que^ étant donné un système quelconque de droites, si Fon transporte ce système dans son plan, de manière qu'une des droites du système reste constamment parallèle à son ancienne position^chacune des autres droites restera également parallèle à son ancienne position.

On dit, dans ce cas, que le système a subi un mouvement de translation parallèlement à lui-même.

Plus généralement, si les deux côtés d'un angle tournent, dans le même sens, chacun d'une même quantité angulaire, autour de deux quelconques de leurs points, la grandeur de l'angle n'aura pas changé. — Et réciproquement, si Ton transporte un angle dans son plan, sans le retourner^ chacun des côtés de Tangle fera le même angle avec son ancienne position.

En particulier, deux angles qui ont les côtés perpendiculaires, chacun à chacun, sont égaux ou supplémentaires.

Si Ton fait tourner un système de droites dans son plan, autour d'un point quelconque qui lui soit invariablement lié, toutes les droites feront avec leurs anciennes positions respec-

tiyes des angles égaux^ dont la valeur commune est dite V angle de rotation du système.

Deux droites concourantes forment avec une troisième des angles alternes-internes inégaux, dont le plus petit est celui qui est dirigé vers le point de concours.

En d'autres termes^ si Ton prolonge un côté d'un triangle^ Tangle extérieur ainsi formé est plus grand que chacun des angles intérieurs non adjacents.

Cette proposition est presque évidente^ si Ton s'appuie sur raxiôme lY. En effets si^ de la position de parallélisme, on fait passer la droite ÂB (fig. 39) à la position A^B^ , en la faisant

tourner autour du point C , de manière qu'elle rencontre la droite DE en G; il est clair que , dans ce mouvement, Tangle BCF aura augmenté , tandis que son alterne-interne CFD sera resté constant. Donc, puisqu'on avait, avant le mouvement, BCF = CFD, on aura , . après le mouvement, B'CF > CFD. — De même, A^CF < CFE.

On voit en même temps que la valeur commune des différences B'CF — CFD, CFE — A'CF est égale à l'angle G que font entre elles les droites A'B^ et DE. Donc l'angle extérieur, formé par le prolongement d'un côté d'un triangle, est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents , et la somme des trois angles du triangle est égale à deux angles droits.

Si la manière précédente d'établir le théorème sur l'inégalité des angles alternes-internes formés par des droites concourantes est la plus directe et la plus simple, on ne peut nier cependant qu'elle ne s'appuie sur un axiome dont ce théorème ne

M ftXIMIfflOII MB MmCIffV

dépend pM néeetÊuârtmeni, et il temMe ators plus logique de rétablir fans le secours de cet axidme. Ces! ee qu'a UAi Indide IpropMO], et sa démoastraiiou peut être présentée conlmeil Huit :

Soit ABC i/lg. 4^) ^ triangle donné. Je dis que l'angle ACD est plus grand que son alterne - intome BAC. — En effets joi-

gnons B au milieu E de la droite AC , et faisons tourner le triangle EBA autour du point E , jusqu'à ce que EA vienne s'appliquer sur son prolongement EC , et par suite le point A sur le point C. L'autre côté EB de Tangle BEA viendra aussi s'appliquer sur son prolongement. La ligne BA partira donc du point C pour aller rencontrer BEF dans Tintérieur de l'angle àCD« Donc Tangle ECF ou BAE sera contenu dans Tangle ACD. Donc entin Tangle A est moindre que son alterne-interlie ACD.

Par la même raison, les deux droites AB, AC étant coupées |w^rBC) l'angle ABC sera moindre que son alterùe-iliténie RCtt^ ou que son correspondant ACD = BCG.

Donc r^iigle extérieur ACD est plus grand que diaeun des ;^ngk>s extérieurs non ac^acents*

Ku d'^uirt'S termes > dans un triaDgle , chaque angle est UHviuvire ^ue le suppiêmeni de Tun qnekonque des deux v'iutrt^c^

IVmk^ U $^M)U)>e de deux quekoiHittes des acides dHin triangle e<s^ nn^idn^ que deiix ;3ui^Àes drv^l$.

TVmi triai^ji^ a an nmiisile^ix iw ^hi! ai^ros.

I Vh\ «IfK^ile^ l^^otMiil iIVmi «nNne |i«iiil kt pev^nMl aToir une

DE L>K GÉOSffÉTRIE É&ÉMBWrAIKE. 5t

Si Votk mène y d'iïn même poifity àf \me droite donnée /une perpendicuiaiffe et une oblique , Toblique fèk^à^ uû aû^le atguf avec la partie de la droite qui va du pied de l'Qblique au pied de la perpendiculaire.

Après avoir établi ces inégalités indépendamment au quatrième axiome, on démontrera^ comme i^wc/ide [prop. 3*2], les théorèmes d'égalité fondés sur cet axiome.

Si Ton prolonge un côté d'un triangle, Tangle extérieur est égal à la somme des deux intérieurs non adjacents.

La somme des trois angles du triangle est égale à deux angles droits.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.

Deux angles d'un triangle^ étant donnés^ déterminent le troisième.

Du TRIANGLE isoscÈLE (*). — Soit ABC (fig. 4i) un triangle isoscèle^dans lequel AB^=:AG. Retournons le i^lan de ce trian^te,^ en lui faisant faire uile denlt-révolution autour de la'bissec* trice AD de l'angle A ; ou, ce qui revient au même^ plibns la figure en deux, en faisant tourner une des moitiés autour cte' AD comme charnière. On voit alor^ que les deux moitiéé de la figure se recouvrent parfaitement.

Si Ton ne veut pas d'abord introduire la^ bissedtpice>^ dà commencera- par faire voir que le triangle retourné A<B'G'

(*) G*est à Ion que plusieurs auteurà français se permcitenl dWire, au Aiépris dé rétymologief isocèté poiit isàscète, C*est la inémlÈr'iiégUgencë'quë' si l'on écrivait cène pour sdiène, Noiis dirôiys eif*pti'ssàtit qtiè plusieurs autres mots du langage mathématique sont généralement défigurés par un usa^e qui; m^lhetireasemeut, leiïd'de plds'ehiiflûs'à'plr^aïdîr. Cependant, malgré toutes lès amoritésquVfifpè^rtrrailisi^ù^' cher, notis pferfelsieroffré tJrtljours à dire qû9 hypoihémêè, paraHéliptpède , etè., mis pouf- ftypbté' nuse^, paralléiépipède, etc.;, cofistittient de véritables fatites d^of tbègrât^hfé^.

EXPOSITION DES t^UlflClPBS

dépend pas nécessairement^ et il semble alors plus logique de l'établir sans le secours de cet axiome. C'esf l^qu'at^ii EueUde [prop.l6], et sa démonstration peut être présentée conime il suit :

Soit ABC (fig. 4o) le triangle donné. Je dis que l'angle ACD est plus grand que son alterne -intorne BAC. — En effet, joi-

gnons B au milieu E de la droite AC y et faisons tourner le triangle EBA autour du point E, jusqu'à ce queEA vienne s'appliquer sur son prolongement EC , et par suite le point A sur le pointe. L'autre côté EB de l'angle BEA viendra aussi s'appliquer sur son prolongemetil. La ligne BA partira donc du point Cpour aller rencontrer BEF dans l'intérieur de l'angle ACD. Donc l'angle ECF oufiAE sera contenu dans l'angle ACD. Donc enfin l'angle A est moindre que son alterne-înterne ACD.

Par la même raison, les deux droites AB, AC étant coupées parBC, l'angle ABC sera moindre que son alterùe- interne BCG, ou que son correspondant ACD = BCG.

Donc l'angle extérieur ACD est plus grand que chacun des angles extérieurs non adjacents.

En d'autres termes, dans un triangle, chaque angle est moindre que le supplément de l'un quelconque des deux autres.

Donc la somme de deux quelconques des angles d'un triangle est moindre que deux angles droits.

Tout triangle a au moins deux angles aigus.

Deux droites partant d*un même point ne petivent avoir une perpendiculaire commune.

DE LM GÉOMÉTRIE ÉaLÉHBirPAIRE. 5t

Si l'oÉ mèB^^ d'sffi même pomty àf iHte droite <lomlée /uni^ perpeDdiiciidaif e et une oblique , Foblïqtiie fèk^a^ nn angle- aâ%ù avec la partie de la droite qui va du pied de rqblique au pied de la perpendiculaire.

Après avoir établi ces inégalités indépendamment du quatrième axiome, on démontrera^ comme FéUclide [prof. 3*2], les théorèmes d'égalité fondés sur cet axiome.

Si Ton prolonge un côté d'un triangle, Tangle extérieur est égal à la somme des deux intérieurs non adjacents.

La somme des trois angles du triangle est égale à deux angles droits.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.

Deux angles d'un triangle^ étant donnés^ déterminent le troisième.

Du TRIANGLE isosGÈLE (*). — Soit ABC (fig. 4i) uu triangle isoscèle^dans lequel AB^=AG. Retournons le i^lan de ce t'riaûgië^^ en lui faisant faire uile denlt^-révolution autour de la' bissectrice AD de l'angle A ; ou> ce qui revient? au même^ pllbns fo figure en deux^ en faisant tourner une des moitiés autour de^ AD oomme charnière. On voit alorfs que les deux moitiés de la figure se recouvrent parfaitement.

Si Ton ne vetit pas d'abord introduire la^ bissectrice;^ di commencera' par faire voir que le triangle retourné A<B*C'

(*) C'est à torique plusieurs auteurè français se permetienl d^écrîre, auttiépTis de Tétymologief isocèîé pour /éôscète. CVst la'méin'fe'^rféglîgence'quë' si Ton écrivait cène pour s^ne. Nobs'dirôtfî; etf^ pt^sàïiV qîiè plusieurs autres mots du langage mathématique sont géuéralemenl défigurés par un usa^& qtii; mrallTètire'û-semenft, teôddé plà^'eniytds'à'pîr^aïi?*'; Cèpé^tîarit, malgré icwtès lès amotrltés qu'oie p&M'rafitiibti*'c^^ liortlspepfeisie^cmè Afàjours à dire qaè hypothénuêè , paraMélipipède ^ etd.^ mis povtt' kgj0é' nuse, parallêiépipèâe, ete;> cofistâtireflt de véritàrblès fatités d^ottliè^i^jl^l^.

EXPOSITION IIES FRnCIPES

peut se placer sur sa première position ABC. Alors la bissectrice de l'angle G&\' coïncide avec celle de l'angle BAC, le

milieu de C'B' avec le milieu de BC, etc. Donc

Théorème.— Dans un triangle isoscèle, 1" les angles a|S] ses aux côtés égaux sont égaux ; 2° la bissectrice de l'angle au sommet est perpendiculaire à la base; Scelle partage cette buse en deux parties égales.

Autre énoncé. — Si d'un point pris bors d'une droite, on mène à cette droite une perpendiculaire et deux obliques égales entre elles, 1° ces obliques s'écartent également du pied de la perpendiculaire; 2" elles sont également inclinées sur la perpendiculaire; 3* elles sont également inclinées sur la base donnée.

Donc tout point à égale distance des extrémités d'une droite appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette droite.

Si donc tbacun des deux points A et B de la droite AE {fig. ija) est équidistanl des eitrénûtés C et C de la droite GC, AB sera perpendiculaire sur le milieu de CC.

Autre énoncé, — Si Ton joint, dans un cercle, le centre aux deux extrémités d'une corde, 1° les deux rayons feront avec la corde des angles égaux ; 2" la bissectrice de l'angle dts deux rayons (laquelle est aussi la bissectrice de l'arc) est perpeo-

diculaire à la corde ; 3" elle partage cette corde en deux parties égales.

DoDc^ si deux cercles ont deux points communs^ * la ligne des centres est perpendiculaire sur le milieu de la corde commune.

Remarque. — La bissectrice de l'angle A ifig, 4i)> satisfait à quatre conditions :

i^ Elle passe au point A.

2^ Elle partage Tangle Aen deux parties égales.

3^ Elle passe au milieu D de BC.

A^ Elle est perpendiculaire à BC.

Or deux de ces quatre conditions^ combinées convenablement^ déterminent complètement la droite AD. De là résultent autant de réciproques du théorème précédent. Ainsi^ dans un triangle isoscèle^

La droite qui joint le sommet au milieu de la base est perpendiculaire à cette base, et bissectrice de Tangle au sommet;

La perpendiculaire abaissée du sommet sur la base partage cette. base et Tangle au sommet, chacun en deux parties égales ;

La perpendiculaire élevée sur le milieu de la base passe au sommet^ et partage Tanglé au sommet en deux parties égales.

— On peut énoncer encore ces réciproques comme il suit :

Dans un cercle^ la droite qui joint le centre au milieu d'une corde est perpendiculaire à la corde et bissectrice de Tare ;

La perpendiculaire abaissée du centre sur une corde est bissectrice de la corde et de Tare ;

La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une corde passe par le centre et par le milieu de Tare.

Considérons maintenant un triangle qui a deux angles égaux^ ces deux angles étant nécessairement aigus.

En retournant le triangle et rappliquant sur son ancienne position ; ou encore, en pliant la figure autour de la perpendi-

Si £XpagiT|ON DES PRJ9GIPES

ouiajrç jél/evée sur 1,^ milieu de la base {*), oa voit qa» lié» ideux moitiés de la figure coïncident Tuae avec l'autre ; pi^ leooséquel] t, le triangle est iêO$cèU.

Autre énoncé. — Deux obliques également inclÎQées sur la base sont égales, et par suite s'écartqnt également du pied de la pejrpiendicul^ire.

Autre énoncé. — Si deux droites, cpupées par une troisième^

forment avec celle-ci des angles \ \ [ d'un même côté

° ( externes )

I correspondants ] alternes- internes \ supplénientaires, alternes-exlernes ) les trois djroitjes forment un triangle isoscèle.

Soit enfla un tri^ngle^ dan^ lequel le sommet se trouve sur la perpendiculaire éleyée au milieu de la base.

En retournant la flgure , ou en la pliant autour de la perpen(liculaire, on voit que le triangle est isoscèle.

^jnsi un tri^ogle^ dan^ lequel la perpendiculaire élevée au (nilieu de ja basie pa^se par le soiprpet, est isoscèle.

Autre énoncé. — Tout point de la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est équidistant des deux extrémités de cette droite.

Autre énoncé. — Deux obliques qui s'écartent également du pip4 4^ la perpendiculaire soat égales.

— De cette proposition ,, Jointe ii sa réciproque du § 20 , il résulte que la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est le lieu géométrique des points équidistants des deux extrémités de cette droite.

En d'autres termes, c'est le lieu géométrique des centres des cercles qui passent par les extrémités de la droite.

{*) Celle perpendiculaire reucouire it^ daux côtés au-deitmf de la base (axiome iV et coroKiires).

DE JLA OÉOMÉTBIE BLÉIIENTAIRE. 55

Inégalités dans un triangle quelconque.— Si deux côtés AB, AC (fig. 42) d'un triangle sont inégaux , au plus grand côté AB est opposé un plus grand angle C.

Voir Ettclide, I, i8.

Aulremenif m retournant le triangle , et le (basant sur son ancienne positiim (ou , ce qui revient m mênae > en pliant le triangle autour de h bissectrice AP de l'angle ^u sommet), on forme le triangle BDC^ dan» lequel Fangle AC^O , extérieur au triangle , est plus gr^nd que F&ngbf inférieur non adjacent B.

TT Réciproquement , $| d^ux angles d'un triangle §on|. inégau)L y au plus grand ai^gle e$t opposé un plus ^rand côté {EuclidCy], 19).

Pap^ lin tf'îii^ngle ^ un côté qi|e)cpnqiie est moindre que la somme des deux autres (fluclidey l^ 20).

Il s'ensuit que , dans un triangle , un côté quelconque est pli)$ grand que ûi, diffiprenqe des ^ew^ ajujtres.

Corollaires, — Dans i^in polyggpe , un côté quelconque est moindre que la somme de tous les autres.

En d'autres termes^ une ligne droite est plus courte qu'une ligne polygonale ayant les mêmes extrémités.

Un contour polygonal convexe est plus court qu'un contour pcrfygona) quelconque qui Tenveloppe en aboutissant aux mêmes extrémités.