DÉMONSTRATION

Si Ton représente par a et par a+ 10 les racines des carrés des di zaines, ces carrés seront

a* et a'4- 20 a + 100

total ' 2 a» -H 20 a 4- 100

moitié a* + 10 a •+• 50

retranchant 25 '

le reste > a« -f 10 a -f 25 ^

est en effet le carré de a + 5.

Si la racine de cinq chiffres se terminait autrement que par ou 5, on trouverait le carré par des additions successives, en ajoutant toujours à un carré sa racine et celle qui suit comme cidessous.

Exemple 7.

Carrés

Au carré de 68 110 on a ajouté les racines 68 110 et 68 111,

ce qui a donné 4 639 108 321 ; à ce nombre on ajoute 68111 et

6811-2, et ainsi de suite : on pourrait donc» par cette méthode, prolonger la table indéfiniment, sans avoir besoimde poser d'autres chiffres que ceux des racines et des carrés.

On trouve encore facilement un carré de 5 chiffres en ajoutant au carré de dizaine le total des racines multiplié par leur difié: rence.

Exemple 8.

total

544896 ci.

Enfin l'application de la formule (a + à)* = «* + 2 ah -f b^ donnera le moyen de calculer des carrés, et conséquemment des produits allant jusqu'à 16 chiffres.

Exemple 9. Quel est le carré de 66 444 332?

En faisant a = 66 440 000 et 6 35 4 332, on a pour a« . . . . 4 414 273 600 000 000 ab . . . . 287 818 080 000

ab . . . . 287 818 080 000

L'exemple 11, ci-après, indique la manière de calculer a b, en se servant de la table des carrés.

S'il fallait trouver le carré d'un nombre de 12 chiffres on partagerait la racine en 3 tranches, de 4 chiffres chacune, qu'on désignerait par les lettres a, b, c; le carré serait alors composé de :

a* + b« + c« 4- 2 ab + 2 ac + 2 bc

en ayant soin de compléter ces produits par le nombre de zéros nécessaires.

Pour avoir la racine d'un nombre de plus de 8 chiffres, on en retranche le carré rond le plus rapproché et l'on divise le reste par la racine ronde : la moitié du quotient s'ajoute à cette dernière. Stéiumthmiey page 86,

Ainsi la racine carrée de 463954424233 est 681 142 parceque la différence 57214233 divisée par 681 100, donne au quotient 84 dont la moitié 42 s^ajoute à 681 100.