CHAPITRE IV

DU MOUVEMENT DANS l'eSPACE.

Extension des principes applicables au mouvement d'une droite et d'un point dans un plan,

45. Reportons-nous aux n°' 6 et 7. Les principes établis pour la rotation d'une droite dans un plan permettent d'écrire immédiatement les deux propositions suivantes :

i® Lorsqu'une droite ayant un point fixe tourne autour de ce point, dans un seul et même plan, les vitesses des autres points sont normales à la droite et respectivement proportionnettes aux rayons vecteurs correspondants.

2** Lorsqu'un plan a deux points fixes et qu'il tourne autour de la droite menée par ces points , les vitesses des autres points sont normales au plan et respectivement proportionnelles aux perpendiculaires abaissées de ces points sur Vaxe de rotation.

Cela posé, voici les conséquences :

Théorème V. — Lorsqu'une droite ayant un point fixe tourne autour de ce point, les vitesses des autres points sont normales à la droite, parallèles entre elles et respectivement proportionnelles aux rayons vecteurs correspondants.

Soit OL une droite ayant un point fixe et tournant autour

Fig, 1i,

( 44 ) de ce point. Prenons en dehors de la droite OL iih second point

Soit P un plan assujetti à passer constaramenl par la droite OL et par les deux points 0, O', supposés fixes dans ce plan.

On voit aisément que la rotation de la droite OL, autour du point 0, se compose, en général, de deux rotations simultanées, la droite OL tournant dans le plan P en même temps que ce plan tourne autour de la droite 00'.

Soient m, m' deux points quelconques de la droite OL, et m/}, m'p' les perpendiculaires abaissées de ces points sur la droite 00'.

Les vitesses communiquées aux points nt, m\ par la rotation de la droite OL dans le plan P, sont normales à cette droite et respectivement proportionnelles aux rayons vecteurs Om, Om'. ( Proposition I.)

Les vitesses communiquées à ces mêmes points, par la rotation du plan P autour de la droite OO', sont normales à ce plan et respectivement proportionnelles, d'une part, aux perpendiculaires mpy m'p' (proposition 2), d'autre part et conséquemment, aux rayons vecteurs Om , Om'.

Il suit de là que les vitesses totales Imprimées simultanéi}%ent aux points m, m' sont, comme leurs composantes, parallèles entre elles, perpendiculaires à la droite OL et respectivement proportionnelles aux rayons vecteurs Om , Om'.

Corollaire. — L'état de mouvement qui anime la droite OL ci un instant quelconque déterminé est le même que si cette droite tournait autour du point 0, dans le plan * où sont dirigées les vitesses totales de ses différents points.

16. Tbéorâme VL — Les vitesses simultanées des différents points d'une droite étant décomposées suivant la droite et nôrma-

* Pour déterminer ce plan , il suffit de connaître la position de la droite OL pt la direction de la vitesse qui anime un point quelconque de cotte droite.

lement d sa direction y les vomposanles dirigées suivant la droite sont toutes égales et de même sens.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de reproduire littéralement les déductions du n^ 8. De là résultent les corollaires suivants :

^® Lorsqu'un point d'une droite est animé d'une vitesse perpendiculaire à cette droite, la même condition subsiste en même temps pour tous les autres points.

2" Les vitesses simultanées des différents points dune droite sont toutes parallèles à un même plan; le lieu de leurs extrémités est une droite oblique sur la première.

5° Étant données les vitesses simultanées de deux points d'une droite , toutes les autres en résultent. Elles sont parallèles à un même plan et aboutissent à une même droite , tous deux déterminés, le plan par les directions des vitesses- données , la droite par les extrémités de ces mêmes vitesses *.

4** Lorsque les vitesses simultanées de deux points d'une droite sont dirigées dans un seul et même plan, ce plan contient à la fois la droite et les vitesses simultanées de tous ses points:

5** Lorsque deux points d'une droite ont en même temps même vitesse, cette vitesse est commune à tous les autres points;

6* Lorsque deux points d'une droite n'ont pus en même temps même vitesse, les vitesses diffèrent en chaque point.

17. On voit par ce qui précède comment les propositions du u^ 8 se généralisent et s'appliquent au mouvement quelconque d'une droite dans l'espace. L'énoncé du n° 9 comporte la même extension. De là résulte, en général, le théorème suivant:

Théorème VII. — Si l'on transporte en un même point quelcomjue les vitesses simultanées des différents points d'une droite, ces vitesses ont leurs extrémités sur une seule et même droite

^ Un seul cas échapiie à ceUe règle, celui où les vitesses des différents lM)iDls de la droite sont toutes situées daus un seul et même plan. Ce cas se résout |)ai' la construction du n^* 8, qui, d'ailleurs , est tout à fait générale.

perpendiculaire à la première, A chaque point de celle-ci correspond un point de l'autre et réciproquement.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de faire observer qu'après leur transport en un même point, les vitesses des différents points de la droite mobile ont leurs extrémités situées toutes à la fois dans trois plans déterminés. Le premier de ces plans est perpendiculaire à la droite mobile (n^ 16, théorème VI j; le second et le troisième sont respectivement parallèles, l'un aux vitesses considérées (n° 16, corollaire 2), l'autre aux deux droites qui limitent ces mêmes vitesses prises dans leur vraie position ( n** 16, corollaire 2).

18. Reprenons la définition déjà donnée pour la ligne courbe au n° 5.

La courbe est la trace d'un point qui se meut sur une droite mobile *, le point glissant sur la droite et la droite tournant autour du point, tous deux simîdtanément.

Cette définition est tout à fait générale.

De ce que la directrice tourne à chaque instant autour du point décrivant, il s'ensuit que les vitesses simultanées de ses différents points sont dirigées toutes à la fois dans un seul et même plan. (N°15, théorème V, corollaire.) Ce plan peut être fixe; il peut aussi tourner incessamment autour de la directrice. Dans le premier cas, la courbe engendrée est plane; dans le second, elle est à double courbure ; on désigne alors sous le nom de plan osculateur le plan mobile déterminé, pour chaque position de la directrice, par les vitesses simultanées de ses différents points.

Considérons en particulier le point décrivant. Il a même état de mouvement que si la directrice et le plan osculateur s'arrêtaient tous deux dans les positions qu'ils affectent à Tinstant considéré. On voit d'ailleurs aisément que les vitesses de ses projections sur les axes coordonnés sont les projections, ou, ce qui revient au

* Considérée par rapport au i)oiut décrivant , cette droite est désignée sous le nom de directrice.

luéme, les composantes respectives de sa vitesse suivant ces mêmes axes. De là résultent plusieurs règles faciles à établir et dont il suffit que nous donnions les énoncés :

i" règle: —Le point m étant animé de trois vitesses actuelles et simultanées , représentées en direction , sens et grandeur par les portions de droite ma, mb, me, la vitesse résultante est représentée, en direction, sens et grandeur, par la diagonale mn du parallélépipède mabcn construit sur les trois côtés ma, mb, me. 2°" RÈGLE. — Etant donnée la droite mn, qui représente en Fia. io direction , sens et grandeur la vitesse ac^

tuelle du point m, si, sur cette droite prise pour diagonale , on construit un parallélépipède quelconque mabcn , la vitesse du point m peut être considérée comme résultant de trois vitesses simultanées, représentées en direction, sens et

^ — ^^ grandeur par les côtés ma, mb, me.

3""* RÈGLE. — Le point m étant animé de n vitesses actuelles et simultanées , représentées en direction ,

sens et grandeur par les portions de droite ma, ab, bc pq,

placées bout à bout les unes après les autres, la vitesse résultante est représentée en direction, sens et grandeur par la droite mq, qui joint l'origine de la première droite à V extrémité de la der-

nière *.

4"« RÈGLE. — Étant donnée la droite mq, qui représente en direction, sens et grandeur la vitesse actuelle du point m, si, sur cette droite prise pour côté , on construit un polygone quelconque mabc... pq, la vitesse du point m peut être considérée comme résultant des vitesses simultanées représentées en direction, sens $t grandeur par les côtés successifs ma, ab, bc pq *.

^ Le lecteur est prié de faire ta figure qui s'applique en même temps au cas delà 3™« règle et à cejui de la 4"»".