CHAPITRE V

DU MOUVEMENT DAXS l'eSPACE d'l\NE DROITE, d'c.N PLA?î ,

d'un solide.

Exposé des théorèmes fonda mentaux.

\\). Théorème Vllï. — Lorsqirun solide se meut, si les vitesses de trois points non situés en ligne droite sont déterminées , celles de tous les autres points le sont en même temps.

Soient a,hy c trois points non situés en ligne droite et appartenant à un solide qui se meut. Par hypothèse, on eonnait le^ vitesses actuelles et simultanées des trois points a, 6, c.

Soit m un point quelconque du solide pris en dehors du plan ahc ^ Transportons en m la vitesse du point a et, par son extrémité , menons un plan perpendiculaire à la droite ma. En répétant cette opération d'abord pour la vitesse du point 6 et la droite mb, ensuite pour la vitesse du point c et la droite me y nous avons deux nouveaux plairs respectivement perpendiculaires, Fun à la droite m6, Tautre à la droite me.

Soit n le point unique ^ commun aux trois plans que nous

* Si le point m était pris dans le plan abc , on oblieudi'ait direclenienl sa vilesse en opérant comme dans le cas général et observant que J^extr^mité de celle vilesse aboutit au plan délerminé par les extrémités des trois autres prises dans leur vraie position. Gela résulte évidemment du corollaire !2 du théorème VI.

* Les intersections du premier plan avec chacun des deux auties sont respectivement per|)endicu]aires , Tune au plan amb , l'autre au plan antc. Elles ne ))euvent éli*e parallèles, puisque, par construction, les deux plans amb, anic diffèrent. H s'ensuit qu'étant situées dans un même plan , elles se couinent nécessairement eu un ))oint unique.

vouons de détcTiiiiiier : la droite nui représente ^ en direction, ^ens et grandeur, la vitesse du point m.

II suffit de se reporter au théorème VIÏ, ii** 17, pour voir comment s'expliquent et se justifient la construction et la proposition qui précèdent.

Corollaires. — i. Tout mode de déplacement qui communique à trois points d'un solide, non situés en ligne droite, leurs vitesses actuelles et simultanées , remplit en même temps la même condition pour tous les autres points.

2. Si trois points d'un solide, non situés en ligne droite, ont en même temps même vitesse, cette vitesse est commune à tous les autres points.

20. Théorème IX- — Lorsqu'un solide se meut et que tous ses points n'ont pas en même temps même vitesse, parmi les droites qu'on peut considérer comme faisant partie du solide, il en est une dont l'état actuel de mouvement se réduit à un simple glissement sur elle-même. Cette droite est désignée sous le nom d'xxE INSTANTANÉ GLISSANT. Lcs vitcsscs simultauées des différents points du solide sont les mêmes que si, glissant avec cet axe, il tournait en même temps autour de ce même axe.

Soit un solide qui se meut et dont tous les points n'ont pas même vitesse à l'instant que l'on considère.

Soient m ; m', m" trois points de ce solide, non situés en ligne dt'oite; v, v', v" leurs vitesses respectives, actuelles et simultanées.

Transportons en m les trois vitesses v, v', v" et supposons qu'elles y soient représentées, la vitesse v par mn, la vitesse v' par mn* , la vitesse v" par mn'\ Sur le plau déterminé par les extrémités n, n', n", projetons ortliogonalement le triangle mm'm", et désignons par p la projection du point m, par/)' celle du point m', par p" celle du point m". Si nous tirons les droites pn, pn' , pn'', il est visible que chacune des trois vitesses mn, mn', mn" peut être considérée comme ayant pour composante commune la vitesse mp, la seconde composante étant située dans

Fiy. 10.

( so)

le y la 11 nn'n" et représeu- . tce par pn pour la vitesse V , par pn' pour la vitesse v'f parpw" pour la vitesse v". On sait, d'ailleurs, que les droites wn', n' n", n"n, sont respeclivement perpendiculaires nn! à mm\ n'n" à m'm'\ n"n à m"wi.

(Théorème VIL)

Cela posé , la droite nn' est en même temps perpendiculaire aux droites mp, m'p' y mnV; elle est donc perpendiculaire au plan mpp'm' et, par conséquent; à la droite pp\ On démontrerait de même que fin'' est perpendiculaire à p'p" et n"n à p"p. Il suit de là que les perpendiculaires menées dans le plan pp'p"j en p sur pn, en p' sur ;m', en p" sur pu", se coupent toutes trois en un même point o et satisfont aux conditions suivantes ^ :

pn

pn' op'

pn op"

nn' pp'

op

Considérons la normale élevée en o sur le plan nn'n*\ et iuia-

^ (kHle déduction résulte immédiatement de Tune ou Tautre des considérations suivantes:

l» Pris deux à deux et groupés comme il suit, les triangles opp' et ptm', o/>/>" cl p/ifi", op'p" et p/i'n" ont leurs trois côtés respectivement |)er|)eudiculaires et sont, par consé(iuenl, semblables;

^o Prises deux à deux , les com|>osantes f^t , pu', pn" ont mêmes pi-ojtîclious orthogonales , p» et pn' sur p//, pn' et pu" sur p'//', p»"etpw ^urp"p. On peut donc appli(|uer ici les résultats établis n» H.

(51 ) giuous que le solide tourue eu glissant le long de cette normale.

nn'

Si la vitesse de rotation est égale au rapport — , , et celle de glissement à la Composante mp, il est évident que ce double mouvement, pris à son<origine, communique aux trois points m^ m', m" leurs vitesses actuelles et simultanées *. Concluons que ce même double mouvement communique en même temps à tous les points du solide leurs vitesses respectives. (Théorème VIII , corollaire 1.)

On donne à la droite déterminée, comme on vient de le vojr par la condition de contenir le point o et d'être normale au plan nn'nf'f le nom d'axe instantané glissant. A chaque position du solide qui se meut correspond une position particulière de l'axe instantané. En général, l'une et l'autre changent incessamment. Dans tous les cas, les vitesses des différents points du solide sont à chaque instant les mêmes que si, glissant avec cet axe, il tournait en même temps autour du même axe ^.

* Les points w et p , m' et p', m" et p" sont situés deux à deux sur des -droites parallèles à la normale. Dans la rotation avec glissement le long de la normale, tous les points situés sur une même parallèle à la normale ont évi* demment même vitesse.

* De là résultent les déductions suivantes :

Considérons une droite assujettie à coïncider toujours avec l'axe instantané glissant. Considérons en même temps les traces de cette droite dans le solide en mouvement et dans Pespace. Ces traces sont des surfaces réglées. Soit s la première et a' la seconde. Il est visible que la surface «' est l'enveloppe des positions successives de la surface s. On voit aussi que le mouvement du solide est le même que si la surface s roulait sur la surface s' en glissant le long de Taréte de contact.

Lorsque le solide renferme un point fixe , Taxe instantané passant par ce point, les surfaces «, s^ sont des cônes ayant le point fixe pour sommet commun et roulant Tune sur l'autre sans glisser.

En général, tout mouvement d'un solide se compose d'une translation empruntée à l'un de ses points et d'une rotation simultanée autour de ce même point. Si la rotation subsistait seule, le mouvement se réduirait au roulement du cône s sur le cône s'. Pour tenir compte de la translation , il suffit de ta communiquer à ces deux cônes , sans rien changer d'ailleurs à leur mouvement relatif.

Tel est, dirons-nous avec M. Poinsot, et en généralisant l'énoncé que nous

Pour avoir la direction de l'axe iustaiilaiié, il sufBt, en générai, de traiisporlcr en un même point quelconque a les vitesses actuelles et simultanées de trois points m, m', m'/ non situés en ligue droite. Soient n, n'y n" les extrémités respectives des trois vitesses transportées au point a et P le plan qu'elles déterminent La perpendiculaire abaissée du point a sur le plan P fixe la direction de l'axe instantané et représente la vitesse de glissement le long de cet axe. La vitesse de rotation autour de ce même axe a pour mesure le rapport de la droite nn' à la projection sur le plan P de la droite correspondante mm\

21. La solution précédente est en défaut lorsque deux des trois points n n'n" se confondent ^ ou qu'ils tombent tous les trois sur une seule et même droite.

Observons qu'en ce cas, la droite nn'n" est nécessairement perpendiculaire au plan imn'm". Cela résulte évidemment du théorème VIIL Voici d'ailleurs les conséquences :

Prenons un quatrième point fL situé en dehors du plan des trois premiers. Parmi les quatre points m, m'y m" y /jl^ il en est trois au moins dont les vitesses transportées en a n'ont pas leurs extré- ]nités situées sur une seule et même droite ^. Cela suffit pour que la solution précédente devienne applicable.

Poursuivons. Puisque Taxe instantané glissant et le plan mm' m" sont tous deux perpendiculaires à la droite nn'n", il s'ensuit qu'ils sont parallèles entre eux. Considérons la projection de l'axe instantané sur le plan mm' m" : elle est parallèle à cet axe, et elle a,

lui enipruutoiis, tel est le plan haut point de clarté où l'on puisse porter l'idée si obscure et si complexe du mouvement dun corps daus Tespace. S'il s'ajjit (le rétat actuel du mouvement de ce corps à un instant (|uelconque déterminé , il est plus simple de considérer le corps comme une vis tournant dans son écrou.

* Il n'y a pas lieu de considérer le cas oii les trois |H)ints n, n', n" se confondraient , cVst-à-dire où trois points du solide, non situés eu ligne droite, auraient même vitesse. On sait qu'en ce cas , cette même vitesse est commune à tous les autres points.

3 S'il en était autrement, il Taudrait qu'une seule et même droite fût en même temps peniendiculaire à deux plans non |)arallèles , ce (|ui est impossible.

pour chacun de ses points, une seule et même vitesse dirigée tout entière dans le plan mm' m", 11 suit de là que si l'on prend les vitesses de tous ces points dans leurs vraies positions, le lieu de leurs extrémités est une parallèle à Taxe instantané : or, ce lieu est rintersection du plan mm'm" avec le plan mené par les extrémités des vitesses Vy v', v" prises dans leur position véritable. Il sufîitdonc de construire cette intersection pour avoir une parallèle à l'axe instantané. Le reste s'achève comme précédemment.

22. TuéonÉMR X. — Si l'on transporte en un même point quelconque les vitesses simultanées des différents points d'un solide, les extrémités de ces vitesses aboutissent toutes à un seul et même plan perpendiculaire à l'axe instantané glissant.

Ce théorème est une conséquence immédiate du théorème IX. On peut d'ailleurs l'établir directement et en déduire le théorème IX en se fondant sur le théorème VII et procédant comme nous l'avons fait ailleui*s. (Voir notre Théorie géométrique des centres et axes instantanés de rotation.)

Composition et décomposition des rotations,

25. Lorsqu'un solide tourne autour d'un axe, on représente sa vitesse de rotation par une portion de l'axe égale en longueur à la grandeur de cette même vitesse. On tient compte du sens en fixant sur un point quelconque de Taxe l'origine de la longueur prise pour mesure de la vitesse, et portant cette longueur du côté où la rotation s'effectue de gauche à droite, pour un observateur placé le long de Taxe, les pieds h l'origine.

Ces conventions adnpuses, il est aisé de voir que deux rotations simultanées , autour de deux axes qui concourent , ^e composent en une rotation unique , de la même manière que si les portions de droites qui représentent ces rotations exprimaient des vitesses linéaires animant en même temps un seul et même point, le point oii les axes concourent.

Il suffît pour cela de considérer, dans le plan des deux axes

donnes , trois points non situés en ligne droite et dé constater qu1ls acquièrent même vitesse , soit par l'effet combine des deux rota* tions composantes , soit par Teffet simple de la rotation résultante. On peut d'ailleurs choisir ces trois points, comme on veut, et, par exemple, en prendre un sur chaque axe.

La proposition , établie pour deux rotations dont les axes concourent, s'étend d'elle-même à un nombre quelconque de rotations h axes concourants. Il est clair, d'ailleurs, que, si plusieurs rotations simultanées se composent en une rotation unique, la réciproque subsiste nécessairement comme s'il s'agissait d'un point et de la vitesse qui l'anime.

Concluons que, dans le mouvement d^un solide, les rotations à axes concourants se composent et se décomposent d'après les mêmes règles que les vitesses dans le mouvement d'un point.

24. Deux rotations égales et de sens contraire , autour d'axes parallèles, forment ensemble un système désigné par M. Poinsot sous le nom de couple de rotation. L'effet qu'elles produisent est celui d'une simple translation perpendiculaire au plan des deux axes ou du couple. En nommant a la vitesse angulaire, p la distance des axes, et v la vitesse de translation résultante, on a

On voit aisément qu'une même vitesse, pu, est communiquée en même temps aux différents point de chacun des deux axes. Il s'ensuit que cette même vitesse est commune h tous les points (lu solide. (Théorème VIII, corollaire 2.)

L'identité , qui subsiste entre les couples de rotation et les vitesses de translation résultantes, permet de les substituer les uns aux autres et d'appliquer aux couples ce qu'on a démontré pour les vitesses, ou réciproquement.

De là résultent immédiatement les conséquences suivantes :

i° Un couple de rotation peut être transporté et tourné comme on veut, soit dans son plan , soit dans un plan parallèle. On peut aussi ('hniif/cr en mrmo temps la distance des axes et la vitesse

angulaire. Si le moment ^ du couple , sa direction et son sens restent les mêmes , rien ne change dans l'effet produit.

2° Les couples de rotation se composent entre eux comme se composent entre elles les vitesses résultantes transportées en un seul et même point.

5*" Étant donnée une rotation quelconque autour d'un axe A , reflet produit ne change points soit qu'elle subsiste seule , soit qu'on la compose avec deux rotations égales et de sens contraire autour d'un axe quelconque A'. Supposons l'axe A' parallèle à l'axe A y et, de part et d'autre, même grandeur absolue des vitesses angulaires. La rotation autour de l'axe A équivaut à une rotation égale et de même sens, s' effectuant autour de l'axe A' et se composant avec le couple de rotation kk'.

4° Réciproquement toute rotation s' effectuant autour d'un axe k\ et se composant avec une translation perpendiculaire à cet axe, se résout en une rotation simple, identique à la première et s' effectuant autour d'un second axe A parallèle au premier. L'axe A est situé dans le plan mené par l'axe k' normalement à la vitesse de translation. Il est le lieu des points qui, dans la rotation autour de l'axe k\ empruntent à cette rotation une vitesse égale et contraire à celle qui résulte de la translation donnée,

5° Deux rotations quelconques simultanées *, autour de deux axes parallèles, se composent en une rotation unique autour d'un axe parallèle aux axes donnés et situé dans leur plan. La vitesse résultante est la somme algébrique des vitesses composantes. L'axe résultant est le lieu des points qui empruntent aux deux rotations composantes des vitesses égales et contraires.

Pour justifier cette dernière conséquence, il suffit d'observer que si L'on transporte autour de Taxe résultant (déterminé comme

^ On appelle moment d'un couple le produit de là distance des axes par la vitesse angulaire. La direction d'un couple est celle de son plan. Le sens est déterminé par celui de la vitesse de translation résultante.

* Il est enteftdu que ces deux rotations ne sont \mni égales et contraires , autrement elles formeraient un couple et équivaudraient à une simple trans* lotion.

on vient de le dire) les deux rotations données, les deux couples de rotation qu'il faut composer avec elles, pour ne pas changer reffet produit, sont égaux et de signe contraire.

â5. La connaissance du mode suivant lequel les rotations se composent entre elles et avec les vitesses de translation conduit très-simplement à la détermination de Taxe instantané glissant.

Soient, en effet, m, m% m" trois points d'un solide non situés en ligne droite, et t?, r', v" leurs vitesses respectives, actuelles et simultanées.

Concevons une translation rendue commune à ces trois points et s'effectua nt avec la vitesse v empruntée au point m. Il est visible que pour restituer aux deux autres points leur état actuel de mouvement, il faut, en général, composer cette translation, d'une part, avec une rotation de la droite mm' autour du point f/t, d autre part, avec une rotation du point m" autour de la droite )nm\ La première de ces deux rotations peut être considérée comme s'effectuant autour d'une droite passant par le point m , et facile à déterminer conformément aux déductions des numéros 45 et d6. Il en résulte que les deux rotations à considérer ont des axes concourants et se composent en une rotation unique , autour d un axe A' passant par le point m.

Cela posé , si Ton décompose la translation , rendue commune aux trois points m, m\ m", en deux translations simultanées , l'une parallèle à l'axe A' de la rotation résultante, l'autre perpendiculaire à ce même axe, on sait que celle-ci peut se composer avec la rotation de manière à ne laisser subsister que cette même rotation autour d'un axe A parallèle au premier. Il suit de là que tout se réduit à une rotation s'effectuant autour de l'axe A et se composant avec une translation parallèle au même axe.

L'axe A, ainsi déterminé, est l'axe instantané glissant: Il est parallèle à la droite mm', lorsque les vitesses v, v' sont les mêmes. 11 se confond avec cette droite, lorsque les vitesses v, v' sont égales , de même sens et dirigées suivant la droite mm\

En résumé, m étant un point quelconque du solide et v la vitesse <lc ce point, le mouvement du solide se compose :

1" D'une rranslation égale à r;

2® D'une rotation », autour d'une droite A' passant par le point m.

La droite A' est parallèle à Taxe instantané glissant A. a est la rotation autour de Taxe A.

La vitesse v étant décomposée en deux autres, lune dirigée suivant la droite A', Tautre perpendiculaire à cette même droite , la première composante est la vitesse de glissement le long de Taxe A. La deuxième composante est égale au produit do la rotation (0 par la distance de Taxe A à la droite A'.

L'axe A est situé dans le plan mené par la droite A' perpendiculairement au plan de celte droite et de la vitesse v.