CHAPITRE VI

DES FORMES LES PLUS SIMPLES AUXQUELLES ON PEUT RÉDUIRE l'état de MOUVEMENT d'uNE FIGURE DANS l'eSPACE.

20. Considérons un système quelconque de points liés entre eux d'une manière invariable, et se mouvant, comme on veut, dans l'espace. Réduit à sa forme la plus simple l'état de mouvement de ce système consiste, en général, en un glissement dirigé suivant une certaine droite et se composant avec une rotation autour de cette même droite. Au Heu d'une translation qui se compose avec une rotation, on peut avoir deux rotations simultanées à axes rectangulaires, quelquefois même une rotation simple. La première substitution est toujours possible d'une infinité de manières, la seconde l'est quelquefois, mais d'une seule façon. Lorsque les points donnés sont tous compris dan^ un même plan, il y a souvent avantage à distinguer le mouvement du plan sur lui-même du hiouvement du plan dans Tespace. On y parvient en ramenant l'état de mouvement du plan mobile h deux rotations simultanées, l'ime autour d'une normale au plan, l'antre autour d'un axe situé

dans ce méine plan. Lorsque les points donnés sont tous ranges sur une même droite, selon que leurs vitesses sont ou ne sont pas perpendiculaires à cette droite , Tëtat de mouvement de la droite inobile ne comporte, en général, qu'une simplication secondaire, ou bien il est réductible à une rotation simple autour d'un axe déterminé. Examinons ces différents cas.

Du mouvement (Vune droite, dont tous les points ont des vitesses

perpendiculaires « cette droite.

m. Soit D une droite projetée en o sur un plan P perpendicu-

„. -, laire à sa direction. Par hypothèse, les vitesses des

différents points de la droite D sont perpendicu-

Bi laires a cette droite *, et, par conséquent, paral-

! lèies au plan P. Il en résulte que si Ton trans-

IfP porte en o les vitesses de ces différents points,

leurs extrémités viendront toutes aboutir à une

même droite BB' située dans le plan P. (Théo-

^ rème VIL) Il en résulte aussi que les vitesses

ainsi transportées seront les projections sur le

plan P de ces mêmes vitesses considérées dans

leurs vraies positions.

3 On sait que les vitesses des différents points de

la droite D, lorsqu'on les prend dans leurs vraies

positions, ont pour lieu de leurs extrémités une droite oblique sur

la première. (Théorème VI, corollaire 2.) Désignons par A celle

deuxième droite et observons qu'elle est située dans le filan mené

par BB' |)erpendiculaircment au plan P.

De là résultent immédiatement les conséquences suivantes : Il est un point de la droite D dont la vitesse, représentée par la pcri)endiculaire on abaissm; du point o sur BB', est moindre que I ou tes les autres.

* L(irsqii(> la vitesse d'un point d'une droite est perpendiculaire à la direction de (M'tlp droite, il en est de môme dos vitossos simidtaneps do tons les auln's |Hiints. ( Tlu'on^nH' Vî, ('on»ll!iin» 1 . )

(le point, éit point central, est situé sur la plus courte distance des droites D, a.

Soit o le point central ainsi dëterminé. La droite oa, suivant laquelle la vitesse du point o se dirige, est dite axe de symétrie.

Étant donnés deux points pris sur la droite D et équidistants du point central , les vitesses de ces points ont même grandeur, et elles sont dirigées symétriquement par rapport à la droite oo.

Vétat de mouvement de la droite D résulte d'une translation y suivant l'axe de symétrie, avec rotation simxdtanée autour de ce même axe.

Soit on la projection de la vitesse d'un point quelconque m pris sur la droite D, à la distance om du point central, les vitesses de translation et de rotation de la droite D sont respectivement, Tune

n === on , l'autre

an

om

Concluons que , dans le cas particulier où les vitesses des différents points d'une droite sont perpendiculaires à cette droite, l'axe instantané glissant peut être choisi de manière qu'il coupe la droite mobile et lui soit perpendiculaire.

On observera qu'en ce cas, l'état de mouvement de la droite mobile se trouve ainsi réduit à son expression Ja plus simple.

D'une droite qui se meut d'une manière quelconque,

28. Soit m une droite mobile; m un point de cette droite; mn la vitesse de ce point.

L'état de mouvement de la droite wiA peut être considéré comme se composant :

i** D'une translation empruntée au point m et représentée par la vitesse mn de ce point;

2® D'une rotation autour d'un axe mo passant par le point m.

Menons par le point m un plan P perpendiculaire h la vitesse mn et décomposons la rotation nio en deux rotations simultanées, Tune autour de la droite ^lA, l'autre autour de Tintersection du plan P avec le plan ontA.

En ce qui concerne la droite mA et la vitesse actuelle de ses différents points , on peut évidemment faire abstraction de la rotation composante dont Taxe est dirigé suivant cette droite.

II ne reste donc à considérer que la rotation composante autour d'un axe situé dans le plan P et la translation mn. Or cette translation équivaut à un couple de rotation situé dans le plan P. On voit d'ailleurs aisément que ce couple et la rotation à considérer se composent en une rotxition simple autour d'un axe situe dans le plan P.

On déduit de là, comme conséquences générales, les conclusions suivantes :

i° L'état de mouvement iVune droite quelconque D se réduit, en général, à une rotation simple autour d'une autre droite D' (*).

2° La droite D' est située à la fois dans tous les plans menés par les différents points de la droite D perpendiculairement aux vitesses de ces points,

3** La droite D' est complètement déterminée par l'intersection de deux quelconques de ces plans.

Un seul cas échappe à cette solution , celui où les vitesses des différente points de la droite D sont perpendiculaires h cette droite : c'est le cas traité tout à l'heure n" 27.

La droite D' est nécessairement unique. On la caractérise en lui donnant le nom à' axe instantané non glissant, M. Chaslcs la dé-

(') Le point de la droite D situé sur la plus courte distance des droites D, D', prend le nom de point central. Il est caractérisé par la condition d'être, parmi tous les points de la droite D, celui dont la vitesse est la plus |»elite en grandeur absolue.

i»igiic sous la dciioiuiiialion de droite conjuguée. Voici pourquoi. Si la droite D fait partie d'un solide, la droite D', considérée comme faisant partie de ce même solide, ne peut avoir d'autre mouvement que celui qui se compose du mouvement de la droite D et d'une rotation autour de cette droite. Or, puisque le mouvement de la droite D se réduit à une rotation simple autour de la droite D', il s ensuit que ce mouvement est sans effet sur la droite D', et conséquemment que Fétat de mouvement de la droite D' se réduit à une rotation simple autour de la droite D. C'est à raison de la réciprocité qui s'établit ainsi entre les droites D, D' (chacune étant Vaxe instantané non glissant qui correspond a l'autre ) que M. Chaslcs leur affecte la désignation commune de droites conjuguées.

Du mouvement dun système de points liés entre eux d\ine manière invariable et situés ou non situés dans un même plan.

29. Soient m], m^, m^ trois points non situes en ligne droite : P le plan déterminé par ces points: Vj, v^, v^ leurs vitesses respectives et simultanées.

Décomposons chacune des vitesses t7|, tj, v^ en deux autres. Tune perpendiculaire au plan P, l'autre située dans ce plan. Soient r'i, v'j, v'g les premières composantes et v'\, v^'^, «"j les secondes.

Parles extrémités des vitesses v'i , v'<^^ v'^ faisons passer un plan Q. £n général , les plans P, Q se coupent : soit D leur intersection.

La droite D, ainsi déterminée, n'est autre que la droite désignée par M. Chasles sous le nom de caractéristique du plan P. Nous adopterons cette dénomination.

Soient pi, p^, p^ les perpendiculaires abaissées des points m^, m^, m^ sur la caractéristique D. On a évidemment '

Vi Vi' iV

Pt Pi ]h

Désignons par w la valeur commune à ces trois rapports. 11 s'en-

suil que, pour communiquer à chacun des trois points W| , m^^ m^ les \itesses respectives v\, v'^^ v'3, il suffit d'une rotation qui commence autour de la droite D avec la vitesse angulaire tr.

On sait que les vitesses V|, v^, v^, prises deux à deux, ont même composante suivant la droite quf joint leurs points d'application. Celte propriété s'étend d'elle-même et nécessairement aux vitesses v'\ , v''^ , ^"3. Il en résulte que les perpendiculaires , élevées dans le plan P sur ces vitesses par les points nii, n^, ntj, vont toutes trois se couper en un même point 0'. Il en résulte aussi que l'on a, en désignant par rj, r^, r^ les distances o'fii|,

Vi Vi 1?3

r, Vi rs

soit w' la valeur commune à ces tiois rapports.

Le point 0' déterminé, comme il vient d'être dit, a reçu le nom de foyer du plan P. Conservons cette dénomination et désignons par D' la normale au plan P menée par le point 0'.

Il est visible que, pour communiquera chacun des trois points ^i, m^, m^ leurs vitesses respectives r"i, v^j, t?"3, il suffit d'une rotation qui commence autour de la droite D' avec la vitesse angulaire w\

Concluons que l'état de mouvement des trois points m^y m,, ms peut-être considéré comme résultant de deux rotations simulta-nées j Vune autour de la droite D avec la vitesse w, l'autre autour de la droite D' avec la vitesse w'.

Concluons, en outre, que, s'il s'agit des autres points du plan P, ou d'un système quelconque de points faisant avec les points donnés partie d'un même solide, ces deux rotations simultanées communiquent en même temps à tous ces points leurs vitesses actuelles.

50. Les points situés sur les droites D, D' n'ont d'autres vitesses que celles qui résultent, pour chacune de ces droites, de sa rotation autour de l'autre. Il s'ensuit que les droites D, D' forment entre elles un système de droites conjuguées rectangulaires. Les dé-

iluctious et conclusions du n^ !29 impliquent, d'ailleurs, les conséquences suivantes :

i® Za caractéristique D est le lieu des points dont les vitesses sont dirigées dans le plan P. Potfr chacun de ces points, sa vitesse est à la fois perpendiculaire et proportionnelle au rayon vecteur qui va du foyer à ce point. Le lieu des extrémités de ces vitesses est Vintersection du plan P avec le plan mené par les extrémités des vitesses v„ v^, V5 ^

2® Le foyer 0' est le point du plan P dont la vitesse est normale à ce plan. Cette propriété est caractéristique. Supposée commune à deux points du plan P, elle s'étend à tous les autres, et le mouvement se réduit à une rotation simple autour de la droite D.

5° Soit le pied de la perpendiculaire abaissée du point 0' sur la caractéristique D; 0, 0' sout les points centraux des droites conjuguées D, D'. D' est la caractéristique du plan P' mené par le point 0' normalement à la droite D : est le foyer de ce plan,

4° Tout plan passant par la droite D a son foyer sur la droite D', et réciproquement,

5° Soit m un point quelconque du solide , v la vitesse de ce point, Qi un plan mené par le point m perpendiculairement à la vitesse v, le plan Qi est le lieu des foyers des plans passant par le point m.

La plupart de ces propositions ont été énoncées par M. Ghaslcs, dans un article des Comptes rendus de V Académie des sciences, année d843, tome XVI, page 4420. Nous renvoyons à cet article et à notre Théorie géométrique des centres et axes instantanés de rotation, le lecteur qui voudrait poursuivre ces recherches.

* On sait que les vitesses des différents points d'un même plan ont, on général , pour lieu de leurs extrémités, un autre plan non parallèle au premier. Cela résulte évidemment du corollaire 2 du théorème VI.