CHAPITRE V

DU MOUVEMENT DANS l'ëSPACE ü’iNE DROITE, dT.N ELAN , d’un SOLIDE.

Exposé des théorèmes fondamentaux.

11). Tiilohème VIII. — Lorsqu'un solide se meut, si les vitesses de trois ]>oinls non situés en ligne droite sont déterminées , celles de tous les autres points le sont en même temps.

Soient a, b, c trois points non situés en ligne droite et appartenant b un solide qui se meut. Par hypothèse, on connaît les vitesses actuelles et simultanées des trois points a, b , e.

Soit m un point quelconque du solide pris en dehors du plan abc *. Transportons en m la vitesse du point a et, par son extrémité, menons un plan perpendiculaire à la droite ma. En répétant cette opération d’abord pour la vitesse du point b et la droite mb, ensuite pour la vitesse du point c et la droite me, nous avons deux nouveaux plans respectivement perpendiculaires, l’un à la droite mb, l’autre à la droite me.

Soit n le point unique * commun aux trois plans que nous

* Si le point m était pris dans ie plan abc , on obtiendrait directement su vitesse en opérant comme dans le cas général et observant que f extrémité de cette vitesse aboutit au plan déterminé par les extrémités des trois autres prises dans leur vraie position. Cela résulte évidemment du corollaire i du théorème VI.

* Les intersections du premier plan avec chacun des deux autres sont res- (tectivcmenl perpendiculaires , l’une au plan amb. l’autre au plan amc. Elles ne peuvent être parallèles, puisque, par construction , les deux plans amb, amc dilTèrent. Il s'ensuit qu'élant situées dans un même plan, elles se coul>eiit nécessairement en un point unique.

venons de déterminer : lu droite nin représente, en direction, .sens et (/rondeur, la vitesse du point ni.

Il sullit de se reporter uu théorème VII, n“ 17, pour voir eoinment s’expliquent cl se justifient la construction et la proposition qui précèdent.

Corollaires. — 1. Tout mode de déplacement qui communique à trois points d'un solide, non situés en ligne droite, leurs vitesses actuelles et simultanées , remplit en même temps lu même condition pour tous les autres points.

2. Si trois points d'un solide, non situés eu ligne droite, ont en même temps même vitesse, cette vitesse est commune à tous les autres points.

20. Théorème IX. — Lorsqu'un solide se meut et que tous ses points n’ont pus en même temps même vitesse, parmi les droites qu’on peut considérer comme faisant partie du solide, il en est une dont l’état actuel de mouvement se réduit à un simple glissement sur elle-même. Cette droite est désignée sous le nom d’ axe instantané glissant. Les vitesses simultanées (les différents points du solide sont les mêmes que si, glissant avec cet axe, il tournait en même temps autour de ce même axe.

Soit uu solide qui se meut et dont tous les points n’ont pus même vitesse à l'instant que l’on considère.

Soient m , m’, m" trois points de ce solide, non situés en ligne droite; v , v', v" leurs vitesses respectives, actuelles et simultanées.

Transportons en m les trois vitesses v, v', v" et supposons qu elles y soient représentées, la vitesse v par mn, la vitesse v' par/»»', la vitesse v" par mit". Sur le plan déterminé par les extrémités », n, il", projetons ortliogonalcment le triangle mm’ ni", et désignons par p la projection du point m, par p' celle du point m’, par p" celle du point m". Si nous lirons les droites pu, pu', pu", il est visible que chacune des trois vitesses mn, mn' , mn" peut être considérée comme avant pour composante commune la vitesse inp, la seconde composante étant située dans

t'iy. IV. le plan un’ n" et représen-

tée par pn pour la vitesse v , par pn pour la vitesse v', par pu" pour la vitesse p".On sait, d’ailleurs, que les droites un', n' n", n"n, sont respectivement perpendiculaires mm' à mm, n'n" à m'm", n"n à ni" ni.

(Théorème Vil.)

Cela posé , la droite nn' est en même temps perpendiculaire aux droites mp, m'p', mm'; elle est donc perpendiculaire au plan mpp'm' et, par conséquent, à la droite pp'. On démontrerait de meme que nn" est perpendiculaire à p'p” et n"n à p"p. Il suit de là que les perpendiculaires menées dans le plan pp'p", en p sur pn, en p sur pn', en p ' sur pn , se coupent toutes trois en un meme point o et satisfont aux conditions suivantes 1 :

pn pn' pn" nn' n n' n' n

up op' op" pp' P P P P

Considérons la normale élevée en o sur le plan nn n , cl imu-

* Cette déduction jésuite immédiatement de i’uue ou l’autre des considérations suivantes :

1° Pris deux à deux et groupés comme il suit, les triangles opp' et pnn ' , opp" et pnn", op'p " cl pn'n" ont leurs trois côtés respectivement perpendiculaires cl sont , par conséquent, semblables;

2° Prises deux à deux , les comijosantes pn , pn', pn" ont mêmes projections orthogonales , pn et pn' sur pp', pn' et pn" sur p'p", pn ' et pn sur p p. On peut donc appliquer ici les résultats établis n" 11.

gitiotis que le solide tourne en glissant le long de celle normale.

Si la vitesse de rotation est égale au rapport , et celle de glissement h la composante mp, il est évident que ce double mouvement, pris à son origine, communique aux trois points m, ni', m" leurs vitesses actuelles et simultanées Concluons que ce même double mouvement communique en même temps à tous les points du solide leurs vitesses respectives. (Théorème VIII, corollaire !.)

On donne à la droite déterminée, comme on vient de le voir par la condition de contenir le point o et d’étre normale au plan ntl' n", le nom d’ttxc instantané glissant. A chaque position du solide qui se meut correspond une position particulière de Taxe instantané. En général, l'une et l’autre changent incessamment. . Dans tous les cas, les vitesses des différents points du solide sont à chaque instant les mêmes que si, glissant avec cet axe, il tournait en même temps autour du même axe *.

1 Les points m et p, m' et p', m" et p" sont situés deux à deux sur des droites parallèles à la normale. Dans la rotation avec glissement le long de la normale, tous les points situés sur une même parallèle à la normale ont évidemment même vitesse.

1 De là résultent les déductions suivantes :

Considérons une droite assujettie à coïncider toujours avec l’axe instantané glissant. Considérons eu même temps les traces de celte droite dans le solide eu mouvement et dans l'espace. Ces traces sont des surfaces réglées. Soit .v la première et V la seconde. Il est visible que la surface s' est I’envelop|>e des positions successives de la surface .v. On voit aussi que le mouvemeul du solide est le même que si la surface s roulait sur la surface s' en glissant le long de l’arètc de contact.

Lorsque le solide renferme un point fixe , l’axe instantané passant par ce point, les surfaces s, s' sont des cônes ayant le point lixe pour sommet commun et roulant l'une sur l'autre sans glisser.

En général, tout mouvement d’un solide se conquise d’une translation empruntée à l'un de ses points et d’une rotation simultanée autour de ce même point. Si la rotation subsistait seule, le mouvement se réduirait au roulement du cône s sur le cône s'. Pour tenir compte de la translation, il suffit de la communiquer à ces deux cônes , sans rien changer d’ailleurs à leur mouvement relatif.

Tel est, dirons-nous avec M. Poiusot, et en généralisant l’énoncé que nous

Pour avoir la direction de l’axe instantané, il sullil, en général, de transporter en un même point quelconque a les vitesses actuelles et simultanées de trois points m, m', ni" non situés en ligne droite. Soient », n’, n" les extrémités respectives des trois vitesses transportées au point u et P le plan qu’elles déterminent. La perpendiculaire abaissée du point a sur le plan P fixe la direction de l’axe instantané et représente la vitesse de glissement le long de eet axe. La vitesse de rotation autour de ce même axe a pour mesure le rapport de la droite un’ à la projection sur le plan P de la droite correspondante mm’.

21. La solution précédente est en défaut lorsque deux des trois points n n’n” se confondent 1 ou qu’ils tombent tous les trois sur une seule et même droite.

Observons qu’en ce cas, la droite nn’n" est nécessairement perpendiculaire au plan mm'm". Cela résulte évidemment du théorème VIII. Voici d’ailleurs les conséquences :

Prenons un quatrième point p. situé en dehors du plan des trois premiers. Parmi les quatre points m, ni', ni", p, il en est trois au moins dont les vitesses transportées en a n'ont pas leurs extrémités situées sur une seule et même droite â . Cela suffit pour que la solution précédente devienne applicable.

Poursuivons. Puisque l’axe instantané glissant elle plan mm' ni" sont tous deux perpendiculaires à la droite un n", il s'ensuit qu’ils sont parallèles entre eux. Considérons la projection de l’axe instantané sur le plan mm'm" : elle est parallèle à eet axe, et clic a,

lui empruntons , tel est le plus haut point de clarté où l’on puisse porter l'idée si obscure et si complexe du mouvement d'un corps dans l’espace. S’il s'agit de l'étal actuel du mouvement de ce corps à un instant quelconque déterminé , if est plus simple de considérer le corps comme une vis tournant dans son écrou.

1 11 n’v a pas lieu de considérer le cas oit les trois [loints u, n’, n" se confondraient , c’est-à-dire oii trois |K)ints du solide, non situés en ligne droite, auraient même vitesse. Ou sait qu’en ce cas , cette même vitesse est commune à tous les autres |>oinls.

2 S'il eu était autrement, il faudrait qu'une seule et même droite fut eu mémo temps perjieudiculahe à deux plans non parallèles , ce qui esl impossible.

pour chacun de ses points, une seule et meme vitesse dirigée tout entière dans le plan mm'm". Il suit de là que si l’on prend les vitesses de tous ces points dons leurs vraies positions, le lieu de leurs extrémités est une parallèle à l’axe instantané : or, ce lieu est l'intersection du plan mm'm" avec le plan mené par les extrémités des vitesses v, v', v” prises dans leur position véritable.

Il suflit donc de construire cette intersection pour avoir une parallèle à l’axe instantané. Le reste s’achève comme précédemment.

22. Tukohkmf. X. — Si l'on transporte en un même point quelconque les vitesses simultanées des différents points d'un solide , les extrémités de ces vitesses aboutissent toutes à un seul et même plan perpendiculaire A l'axe instantané (/lissant.

Ce théorème est une conséquence immédiate du théorème IX. • On peut d’ailleurs l’établir directement et en déduire le théorème IX en se fondant sur le théorème VII et procédant comme nous l’avons fait ailleurs. (Voir notre Théorie géométrique des centres et axes instantanés de rotation.)

Composition et décomposition des rotations.

23. Lorsqu'un solide tourne autour d’un axe, on représente sa vitesse de rotation par une portion de l’axe égale en longueur à la grandeur de cette même vitesse. On tient compte du sens en fixant sur un point quelconque de l'axe l’origine de la longueur prise pour mesure de la vitesse, et portant cette longueur du côté où la rotation s’effectue de gauche à droite, pour un observateur placé le long de l’axe, les pieds à l’origine.

Ces conventions admises, il est aisé de voir que deux rotations simultanées , autour de deux axes qui concourent , se composent en une rotation unique , de lu même manière que si les portions (le droites qui représentent ces rotations exprimaient des vitesses linéaires animant en même temps un seul et même point, le point où les axes concourent.

11 suffit pour cela de considérer, dans le plan des deux axes

donnes, trois points non situés en ligne droite et de constater qu'ils acquièrent même vitesse , soit par l’effet combiné des deux rotations composantes, soit par l’effet simple de la rotation résultante. On peut d’ailleurs choisir ces trois points, comme on veut, et, par exemple, en prendre un sur chaque axe.

La proposition, établie pour deux rotations dont les axes concourent, s’étend d’elle-mémc à un nombre quelconque de rotations à axes concourants. Il est clair, d’ailleurs, que, si plusieurs rotations simultanées sc composent en une rotation unique, la réciproque subsiste nécessairement comme s’il s'agissait d’un point et de la vitesse qui l’anime.

Concluons que, dans 1e mouvement d’un solide, les rotations d axes concourants se composent et se décomposent d’après les memes règles que les vitesses dans le mouvement d'un point.

24. Deux rotations égales et de sens contraire, autour d’axes parallèles, forment ensemble un système désigné par M. Poinsot sous le nom de couple de rotation. L’effet qu’elles produisent est celui d’une simple translation perpendiculaire au plan des deux axes ou du couple. En nommant a la vitesse angulaire, p la distance des axes, et v la vitesse de translation résultante, on a

On voit aisément qu’une même vitesse, pu, est communiquée en même temps aux différents point de chacun des deux axes. 11 s’ensuit que cette même vitesse est commune à tous les points du solide. (Théorème VIII, corollaire 2.)

L’identité , qui subsiste entre les couples de rotation et les vitesses de translation résultantes, permet de les substituer les uns aux autres etd’appliquer aux couples ce qu’on a démontré pourles vitesses, ou réciproquement.

De là résultent immédiatement les conséquences suivantes :

I" Un couple de rotation peut être transporté et tourné comme on veut, soit dans son plan, soit dans un plan parallèle. On peut aussi changer en même temps la distance des ares et la vitesse

angulaire. Si le marnent 1 du couple, sa direction et son sens restent les mêmes , rien ne change dans l’effet produit.

2° Les couples de rotation se composent entre eux comme se composent entre elles les vitesses résultantes transportées en un seul et même point.

3° Étant donnée une rotation quelconque autour d'un axe A , l'effet produit ne change point, soit qu’elle subsiste seule , soit qu'on la compose avec deux rotations égales et de sens contraire autour d'un axe quelconque A'. Supposons l'axe A' parallèle à l'axe A , et , de part et d’autre, même grandeur absolue des vitesses angulaires. La rotation autour de l'axe A équivaut à une rotation égale et de même sens, s’effectuant autour de l'axe A' et se composant avec le couple de rotation AA'.

4" Réciproquement toute rotation s'effectuant autour d’un axe A', et se composant avec une translation perpendiculaire à cet axe, se résout en une rotation simple, identique à la première et s'effectuant autour d’un second axe A parallèle au premier. L’axe A est situé dans le plan mené par l’axe A' normalement o la vitesse de translation. Il est le lieu des points qui, dans la rotation autour de l’axe A', empruntent à cette rotation une vitesse égale et contraire à celle qui résulte de la translation donnée.

3° Deux rotations quelconques simultanées i , autour de deux axes parallèles, se composent en une rotation unique autour d'un axe parallèle aux axes donnés et situé dans leur plan. La vitesse résultante est la somme ulgébriqqe des vitesses composantes. L'axe résultant est le lieu des points qui empruntent aux deux rotations composantes des vitesses égales et contraires.

Pour justifier cette dernière conséquence, il suffit d’observer que si l’on transporte autour de l’axe résultant (déterminé comme

1 On appelle moment ü’un couple le produit de la distance des axes par la vitesse angulaire. La direction d'un couple est celle de son plan. Le sens est déterminé par celui de la vitesse de translation résultante.

* Il est entendu que ces deux rotations ne sont point égales et contraires . autrement elles formeraient un couple et équivaudraient à une simple translation.