PRINCIPES FONDAMENTAUX

I. Considérons un point mobile dans l’espace. La direction suivie par ce point peut être constante ou bien incessamment variable. Dans le premier cas, la ligne décrite est droite; dans le second cas, la ligne décrite est courbe.

Désignons sous le nom de directrice la droite suivant laquelle la vitesse du point mobile est dirigée à l’instant que l'on considère. Si la ligne décrite est droite, la directrice est fixe; si la ligne décrite est courbe, la directrice tourne autour du point décrivant.

De là résulte la définition suivante :

La courbe est la trace d’un point qui se meut suivant une direction incessamment variable,

mi mieux encore :

La courbe est la trace d’un point qui se meut sur une droite mobile, dite directrice, le point (/lissant sur la droite et la droite tournant autour du point, tous deux incessamment.

En appliquant cette définition à une courbe quelconque, on constate aisément, pour toute position déterminée du point générateur, l’identité de In droite dite directrice cl de celle qu’on désigne en général sous le nom de tangente

1 Donnons-nous un point sur une courbe et représentons-nous toutes les droites qu'on peut mener par ce point.

La tangente étant définie, celle de ces droites dont la courbe s’écarte le moins 4 partir et dans le voisinage du point donné, on voit tout d’abord qu’elle se confond nécessairement avec la directrice. Veut-on d’ailleurs démontrer à priori cette proposition? On y parvient aisément de la manière suivante :

Soit m un point qui décrit une courbe et D la directrice de ce point.

Déterminons d'abord une position quelconque du point décrivant. Soit o cette position prise pour origine de l’arc décrit par le point m et ot la position correspondante affectée parla directrice à cette origine. Parle point o menons une droite or» choisie comme on voudra.

Sans rien changer à ce qui précède , considérons le point m après sa sortie du lieu o. Soit m ' la projection orthogonale du point m sur le plan not, et p, q celles du point m' sur les droites ot, on. Il est visible que la distance mp du |>oint m à la droite ot est moindre ou plus grande que la distance mq du point ni à la droite on , selon que le segment m'p est lui-même -moindre ou plus grand que le segment m'q.

Désignons par v la vitesse du point m sur sa trajectoire, et pdr

les compléments des angles que la directrice D fait avec les droites m'p, m'q, à l’instant que l’on considère. En décomposant la vitesse v suivant les trois directions rectangulaires mm', m’p, ot, on a, |>our composante parallèle à m'p, r sin. a. En décomposant celte même vitesse suivant les trois directions rec-

Fig. 33.

Cela posé, entrons en matière.

Dans la description d'une courbe par un point, le point décrivant peut être considéré comme glissant sur la directrice en même temps que ta directrice tourne autour du point décrivant. La rotation de la directrice autour du point décrivant a pour effet unique de changer incessamment la direction de ce point : elle n’altère en rien sa vitesse considérée comme grandeur, ni V étendue linéaire décrite en vertu de cette même vitesse. De là résultent les relations suivantes existant entre les longueurs décrites simultanément sur des lignes quelconques et les vitesses correspondantes des points qui décrivent ces longueurs :

1° Lorsque les vitesses des points décrivants passent en même temps par les mêmes degrés de grandeur, les longueurs décrites simultanément sont constamment égales.

2° Lorsque les longueurs décrites simultanément sont constamment égales, les vitesses des points décrivants passent en même temps par les mêmes degrés de grandeitr.

3" Lorsqu’on compare entre elles, d’une part , des longueurs décrites simultanément sur des lignes quelconques , d’autre part , les grandeurs des vitesses simultanées des points décrivants , on peut, sans altérer en rien les rapports cherchés, substituer à

tangulaires mm', m'q, on , il vient de même, pour composante parallèle à m'q, v. sin. C.

Les composantes v sin. a , v sin. C, sont évidemment les vitesses simultanées avec lesquelles croissent les segments m'p, m'q. En outre, il y a lieu d'observer qu’au sortir du lieu o , on a d’abord et en même temps

a — o, C = ang. (not.).

Cela posé, puisque l’angle a commence par être nul, il s’ensuit qu’il reste constamment inférieur à l’angle ff pour toute l’étendue d’un certain arc compté , a partir du point o, sur la trajectoire du point m . Or, aussi longtemps que l’angle a reste moindre que l’angle £, la vitesse v sin. * est et demeure plus petite que la vitesse »’ sin. S. La conséquence évidente est que lé segment m'p est constamment inférieur au segment m'q pour toute retendue de l’arc <r , et qu’il en est de même de la distance mp comparée à la distance mq. De là résulte immédiatement la proposition énoncée plus liant.

chaque ligne effectivement décrite une ligne quelconque choisie arbitrairement. Il suffit, pour cela, que, départ et d’autre, dans la première de ces deux lignes et dans celle qu’on lui substitue, les longueurs décrites ou, ce qui revient au même, les vitesses des points décrivants passent en même temps par les mêmes degrés de grandeur.

Ces trois propositions pouvant être considérées comme évidentes , nous nous bornons à les énoncer.

2. Les principes du n" 1 ont pour conséquences immédiates les déductions suivantes :

1° Lorsque les longueurs décrites en même temps par deux points conservent entre elles un rapport invariable, ce mène rapport existe entre les vitesses simultanées de ces points;

Réciproquement :

2° Lorsque les vitesses simultanées de deux points conservent entre elles un rapport invariable, ce même rapport existe entre les longueurs que ces points décrivent simultanément

• Soient tn et m ’ les points décrivants , v et v' leurs vitesses respectives simultanées, l et l' deux longueurs quelconques décrites simultanément par ces points et correspondantes aux vitesses v, v'. Il s’agit de démontrer que si l'on a toujours

(1) - = constante = c,

il en résulte

(2) — = constante == c,

et réciproquement.

Partons de l’équation (2) et montrons qu’elle implique comme conséquence l’équation (1), et réciproquement.

Soit une circonférence de cercle ayant son centre en o et on pour rayon. Le point o restant fixe, imaginons que le point n se meuve sur la circonférence on , en même temps et avec ta même vitesse que le point m sur la ligne qu’il décrit. Sur le rayon on , prenons , à partir du point o , nne longueur on', telle qne l'on ait

On voit aisément qne le point n' du rayon on déeril une eireonférenre de

3° Soient m, ni', ni" trois points décrivants, v, v', v" leurs vitesses respectives simultanées , 1, 1', 1" trois longueurs quelconques décrites simultanément par ces points; si, pendant la description de ces longueurs on a toujours,

il en résulte, et réciproquement (d ).

cercle concentrique à la première , et qu’il se meut sur cette circonférence en même temps et arec la même vitesse que le point m' sur la ligne qu’il décrit. Il suit de là qu’on peut remplacer les deux lignes données par deux circonférences de cercle concentriques et décrites simullanément par deux points d’un seul et même rayon. Or, en ce qui concerne ces circonférences , la première relation implique évidemment la seconde, et réciproquement. Il en est donc de même relativement aux lignes quelconques décrites simullanément par les points m, ni'.

’ Supposons que l’on ait

v = v' -i- v", el démontrons qu’il en résulte nécessairement

Soit une droite D. Imaginons sur cette droite un point n qui s’y meuve en même temps et avec la même vitesse que le point m' sur la ligne qu’il décrit. Les longueurs décrites simultanément par le point n sur la droite D, el par le point m' sur sa trajectoire, sont constamment égales. Imaginons, en outre, que la droite D glisse sur elle-même, dans le même sens que le point n, en même temps el avec la même vitesse que le point m" sur la ligne qu’il décrit. Il y a, dès lors, égalité constante entre deux longueurs quelconques décrites simultanément, l’une par le point m" sur sa trajectoire, l’autre par chacun des points de la droite D. Il s’ensuit aussi que les longueurs décrites par le point n dans l’espace, sont constamment égales à la somme des longueurs décrites simultanément par les points m' el m" sur leurs trajectoires respectives. Eu égard au double mouvement qui l’anime suivant une même direction et dans un même sens, le point n se meut avec une vitesse totale exprimée par la somme v' o", et par conséquent égale à v. Or, par hypothèse, v est précisément la vitesse du point m sur sa trajectoire. La conséquence est donc que les longueurs décrites simultanément par les points m el n sont constamment égales.

Cela posé, l étant, pour le point m. une de ces longueurs, nous savons

Ces trois propositions se démontrent sans In moindre difficulté, les premières, en eonsidérant deux points assujettis à rester sur un môme rayon et à décrire en même temps deux circonférences concentriques; la dernière, en supposant le point m' mobile sur une droite et l’obligeant à s’y mouvoir avec la vitesse r\ tandis que la droite glisse sur elle-même avec la vitesse v".

3. Les notions qui précèdent renferment en principe toute la théorie de la rectification des courbes. Elles s'appliquent de même à la quadrature des aires et à la cubature des solides. Plus généralement encore, elles s’étendent à toutes les opérations désignées sous le nom d'intégrations.

Lorsqu’un point décrit une courbe, on peut concevoir un autre point décrivant une droite et supposer que, de part et d’autre, les vitesses des deux points passent, en même temps, par les mêmes degrés de grandeur. La conséquence est que deux longueurs quelconques, décrites simultanément , l’une sur la courbe, l’autre sur la droite, sont toujours égales, et peuvent ainsi se substituer l’une à l’autre. C’est sur ce principe élémentaire que se fonde toute la théorie de la rectification des courbes. En ce qui concerne les quadratures et les cubaturcs, de même que toutes les autres opérations analogues, il suffit d’un simple artifice pour rendre le même principe immédiatement applicable.

Voici quel est cet artifice.

On prend pour équivalent numérique de chacune des grandeurs variables que l’on considère une longueur décrite par un point mobile et composée avec l’unité linéaire comme la grandeur considérée se compose avec son unité propre. Cela fait, tout se réduit à comparer entre elles, d’une part, des longueurs décrites simultanément, d’autre part, les vitesses correspondantes et simultanées des points décrivants.

déjà que l’antre est, pour le point n, la somme des longueurs décrites simultanément par les points m’ et m", c’est-à-dire f -+- 1". On a donc,

La proposition réciproque se démontre delà même manière.

Tant qu'il s'agit des longueurs substituées comme équivalents numériques aux grandeurs variables que l’on considère et dont on étudie les variations continues simultanées, les vitesses des points qui décrivent ces longueurs sont de simples vitesses, nettement déGnies et conçues directement sans la moindre difficulté. D'un autre côté, l’on peut dire de ces memes vitesses qu’elles sont les vitesses d’accroissement des grandeurs considérées. En général, on les désigne sous le nom de différentielles et on les exprime, soit en faisant précéder de lu lettre d, soit en surchargeant d’un point le signe représentatif des grandeurs correspondantes; c’est ainsi, par exemple, que si l’on a en vue certaines grandeurs exprimées par les lettres x, y, a, etc., les symboles dx , dy, da, etc., ou x , y, d, etc., désignent les vitesses d'accroissement de ces grandeurs, ou, ce qui revient au môme, les vitesses des points qui décrivent les longueurs substituées comme équivalents numériques aux grandeurs x, y, a, etc.