Précisons davantage ecs premières données fondamentales

Soit x une grandeur quelconque continûment variable et x ou dx sa différentielle.

Prenons une droite D et, sur cette droite, à partir d’ün point fixe o, une longueur om.

Par hypothèse, la longueur om est l'équivalent numérique de la grandeur x, c’est-à-dire qu’elle se compose avec

h'iy. 24. l’unité linéaire comme la grandeur x se compose

o m avec son unité propre. 11 en résulte que la longueur

om est comme la grandeur x incessamment vuriable, et, conséquemment, que le point m se trouve assujetti à glisser continûment sur la droite D.

Cela posé, la différentielle x ou dx est la vitesse du point m sur la droite D.

Sans rien changer à ce qui précède, on peut substituer à la droite D une ligne quelconque. Un dirait alors et plus généralement :

La différentielle x ou dx est la vitesse du point m sur sa trajectoire.

Soit y une autre grandeur quelconque dépendant de la pre-

inicrc et supposée connue elle incessamment variable. Nous pouvons abréger et de même que nous sommes conduit à résumer comme il suit la définition précédente :

La différentielle x ou dx est la vitesse du point qui décrit la longueur substituée comme équivalent numérique à la grandeur x,

nous dirons simplement :

La différentielle y ou dy est la vitesse du point qui décrit la longueur substituée comme équivalent numérique à la grandeur y.

Cette définition maintenant bien comprise est tout à fait générale.

La variable x est dite indépendante lorsqu'on en dispose et qu’on la fait croître ou décroître uniformément. En ce cas, la vitesse x est constante et choisie d’ailleurs comme on veut.

La fonction y dépend , par hypothèse, de la variable x. 11 s’ensuit que la vitesse y dépend de la vitesse x,ct qu’en général, elle est incessamment variable, alors même que la vitesse x est supposée constante.

Partant de là, voici quel est l’objet du calcul différentiel proprement dit :

Étant données lu variable x et la fonction y, déterminer, pour chaque valeur de la variable x, la relation qui s'établit entre les vitesses simultanées correspondantes x, ÿ.

A côté de ce problème vient naturellement se poser le problème inverse :

Étant donnée la relation générale qui subsiste entre tes vitessessimultanées x, y, déterminer l’un par l’autre les accroissements simultanés produits par ces vitesses dans les grandeurs correspondantes y et x.

Ce problème inverse peut être considéré comme l’objet du calcul intégral réduit à son expression la plus simple.

Ces préliminaires établis, abordons immédiatement l'exposé des règles du calcul différentiel. Chemin faisant, nous indiquerons, pour

les cas les plus simples, comment chacune de ces règles implique, par voie de réciprocité, une règle correspondante du calcul intégral.

S. Nous savons déjà que , sans changer en rien les expressions numériques introduites dans le calcul, on peut appliquer directement aux grandeurs données les résultats obtenus pour des longueurs équivalentes et réciproquement. De là résultent immédiatement les déductions suivantes, où l’on étend à des grandeurs quelconques les relations énoncées n"’ \ et 2, en ce qui concerne la description simultanée de plusieurs longueurs et les vitesses correspondantes des points décrivants :

1“ c étant une grandeur constante, la vitesse 1 é est toujours nulle et réciproquement.

2° y étant une grandeur continûment variable, la vitesse y n'est pas nulle en général ; elle est positive ou négative, selon que la grandeur y croit ou décroit.

5° Lorsqu’il existe entre deux gruitdeurs incessamment variables, y et x, un rapport constant a, le même rapport s’établit entre les vitesses simultanées x et y. (N° 2, règle 1.)

y — ax donne, en conséquence, y = ax ;

4° Lorsqu'il existe entre les vitesses simultanées y, x un rapport constant a, le même rapport subsiste entre les accroissements simultanés des grandeurs correspondantes y et x. Ces accroissements s'expriment en faisant précéder de la lettre a les signes représentatifs des grandeurs considérées. (N* 2, règle 2.)

y = ax donne, en conséquence , & y = «ax;

5° Lorsqu'il existe entre trois grandeurs incessamment variables , x, y, z, une relation telle que l’une soit constamment égale a la somme ou à la différence des deux autres , la même relation subsiste entre les vitesses correspondantes x, y, z. (N 0 2, règle 3.)

z = y de x donne, en conséquence , z = y ± x;

1 Le lecteur uc [>crdra pas de vue que les mots vitesse et différentielle sont ici tout à fait synonymes.

6° Lorsqu’il existe entre les vitesses simultanées x , y, z une relation telle que l'une soit constamment égale à la somme ou à la différence des deux autres, la même relation subsiste entre les accroissements simultanés des grandeurs correspondantes x , y, z. (N° 2 , règle 5.)

i = y ± x donne, en conséquence , az — Mj ± Ax ;

7° Les règles 1,3,5 du présent numéro s’étendent d’ellesmémes à un nombre quelconque de variables z, y, x, etc., combinées ou non avec des constantes a, b, c, etc.

z=a + b g -t- ex -t- etc. donne, en conséquence, z=by + ex + etc.;

8° Les règles 4 et C s’étendent de la même manière : z—bij+cx -t- etc. donne, en conséquence, Az=bày -+- csx de.

Théorème fondamental du calcul différentiel.

6. Avant de poursuivre cette première série d'applications, montrons, en général, comment toute relation établie entre deux grandeurs continûment variables, implique une relation correspondante entre les différentielles de ces mêmes grandeurs, et réciproquement.

Soient deux grandeurs quelconques, fonctions l’une de l'autre, et variant ensemble d'une manière continue.

Considérons ces grandeurs lorsqu’après avoir acquis en meme temps l’une la valeur quelconque x, l'autre la valeur correspondante y, elles s’écartent de ces valeurs eu variant continûment et simultanément.

Par hypothèse , on a généralement

chaque valeur de x déterminant pour y une valeur correspondante, et réciproquement.

Soient Pot, Qn deux longueurs prises à partir des points P et Q

sur deux droites parallèles PX, QY, et substituées, comme équivalents numériques, l’une à la grandeur x, l'autre à la grandeur y.

A chaque position du point m sur la droite PX correspond une position déterminée du point n sur la droite QY. Concevons une droite mobile assujettie à passer constamment par les points m et n, tandis que ces points glissent simultanément l’un sur PX, l’autre sur QY’. On sait que tout déplacement d’une droite dans un plan commence, en général, par rotation autour d’un certain point désigné sous le nom de ventre instantané de rotation *. Cela pose, puisque chaque position du point >n détermine une position correspondante de la droite mn, il en résulte qu’elle détermine en meme temps la position correspondante du point o, centre instantané de rotation de la droite mn.

Du centre o abaissons sur la droite mn la perpendiculaire ou. Par les points m et n élevons sur les droites PX, QY deux perpendiculaires mp, nq et prolongeons-les jusqu’à leur rencontre en p et q avec la droite ou.

A l’origine de son déplacement, la droite mwpeut être considérée indifféremment soit comme tournant autour du point o avec une certaine vitesse angulaire, soit comme tournant avec cette meme vitesse angulaire autour d’un point quelconque de la droite oa, cl glissant en même temps sur elle-même avec la vitesse effective du point pris pour centre de rotation.

Soit a la vitesse angulaire communiquée à la droite nui et correspondante aux vitesses actuelles et simultanées x, y des points m et n sur les droites PX, QY. Tout se passe à l’origine du déplacement comme si la droite mn tournait autour du centre o avec

Fig. S i.

* Voir, au besoin, les numéros 11, 12, 15 de la première partie, pages 57, 58 et suivantes.

la vitesse a, ou bien que, tournant avee celle même vitesse autour d'un point quelconque de la droite oa, elle glissât en même temps sur elle-même avec une certaine vitesse convenablement déterminée; mais, quelle que soit cette vitesse de glissement, il est visible qu’elle n 'altère en rien ni les positions, ni, par conséquent, les vitesses des points m et n sur les droites PX, QY. On peut donc en faire complètement abstraction , et considérer la droite mn comme tournant avec la vitesse a, soit autour du point p , soit autour du point q.

En prenant le point p pour centre de rotation de la droite mobile mn , il vient immédiatement :

x = pm. a.

En prenant le point (/, on a de même y = qn. a.

De là résulte

x pm

Nous savions déjà que les longueurs pm , qn dépendent exclusivement de la position du point m sur la droite PX, c’est-àdire de la valeur affectée par la grandeur x. La dernière équation nous montre que, pour chaque état particulier de celte grandeur, le rapport des vitesses correspondantes et simultanées y, x affecte, en général, une valeur déterminée et unique.

Concluons que l'on peut attribuer indifféremment ù la vitesse x une valeur quelconque, constante ou variable. Duns tous les cas , le rapport * reste toujours le meme pour une même valeur affectée par la grandeur x, et l’on a généralement

f (x) étant une fonction qui dérive de la fonction donnée et qui dépend exclusivement de la variable x.

La fonction f' (x) prend le nom de fonction dérivée. On rappelle

son origine cl en même temps on lu dislingue de lu fonction primitive f(x), en lui altribuartt la même caractéristique affectée d'un indice.

La quantité f{x) étant le facteur par lequel il faut multiplier la différentielle x ou dx pour obtenir la valeur correspondante de la différentielle y ou dy, on la désigne aussi sous le nom de coefficient différentiel.

On voit par ce qui précède que l'objet du calcul différentiel proprement dit peut être considéré comme se réduisant à la détermination de la dérivée d’une fonction quelconque ; a ce point de vue, il se résout en ce qu’on appelle le calcul des dérivées ou des fonctions dérivées.