INTRODUCTION

La cinématique du point et de la droite se réduisant à un. petit nombre de notions qui font partie de renseignement élémentaire, ou qu’on peut y introduire sans aucune difticulté, il nous a paru qu'il y aurait un grand avantage à ramener à ces notions si simples et toutes géométriques l’exposé complet du calcul différentiel et intégral.

Tel est l’objet que nous nous proposons dans le présent ouvrage.

La première partie comprend la cinématique du point, de la droite et du plan. Considérée en cllc-môme et détachée des autres parties, nous pensons qu’elle remplit les conditions voulues d’un traité élémentaire assez complet pour satisfaire à toutes les exigences. Considérée au point de vue plus restreint des principes qu’il s’agit d établir comme base du calcul différentiel et intégral , elle pourrait se réduire à quelques lignes, où l’on définirait avec précision ce qu’on doit entendre par l’état de mouvement d’un point dans l’espace et par celui d’une droite dans un plan. En la développant comme nous l’avons fait ; en détaillant dans les sept premiers chapitres une suite de propositions que les procédés suivis dans le chapitre VIII permettent d’exposer en quelques pages, et dont on peut d’ailleurs supprimer sans inconvénient le plus grand nombre, nous avons voulu prévenir les objections qu’on serait conduit à nous opposer et que les notions générale-

1 Le lecteur est prie de lire celle introduction.

ment admises en cinématique ne suffiraient pas à résoudre sans quelque effort de la part du lecteur. Nous avons aussi voulu poser les fondements d'une théorie nouvelle, purement géométrique et offrant par elle-même toutes les ressources dont on a besoin pour certainés applications réservées jusqu’ici au domaine de l'analyse infinitésimale. C’est ainsi, par exemple, qu’en se fondant sur cette théorie et laissant à l’écart toute notion de calcul différentiel, tqute intervention d'infiniment petits, tout recours à la méthode des limites, on peut aborder directement les questions relatives à la courbure des lignes et des surfaces.

Les développements donnés à cette partie de notre travail ont encore une autre utilité : c’est de fournir des moyens de solution variés et nombreux, susceptibles de se suppléer les uns les autres et de féconder le champ ouvert aux investigations. Toutefois, comme ils ne sont point nécessaires à l’exposé des règles établies dans la deuxième partie, ni même à la solution directe des questions qui concernent la courbure ou d’autres sujets analogues, le lecteur peut se tenir exclusivement aux premiers éléments de la cinématique. Lorsqu'on sait d’avance, d’une manière bien précise et bien nette, en quoi consistent la vitesse d’un point et l’état de mouvement d’une droite dans un plan» on peut passer outre sans s’arrêter à la première partie. Dans le cas contraire , il faut, avant tout, s’initier à ces deux notions fondamentales et se familiariser avec elles par 1 étude des chapitres I, II, III, ou plus simplement encore des cinq premiers numéros du chapitre VIII. Cela fait, on est immédiatement à même de lire avec fruit l’exposé du calcul différentiel et d'en saisir toutes les conséquences.

L’idée de recourir à la cinématique pour fonder sur la géométrie l’analyse transcendante, n’est pas entièrement nouvelle. Déjà vers le milieu du dix-septième siècle, la cinématique du point fournissait à Roberval une méthode des tangentes non moins remarquable par son élégance que par sa simplicité. Quelque temps après, Newton s’appuyait sur cette même cinématique pour définir les fluxions, généralisant par cela seul la méthode de Roberval, créant du même coup le calcul différentiel tout entier, et ouvrant ainsi la voie parcourue successivement par plusieurs

gdomètres, au nombre desquels nous citerons en particulier Maclaurin et Thomas Simpson. En s’arrêtant à la cinématique du point, comme l’ont fait nos devanciers, on faisse subsister un obstacle invincible à la construction d’une méthode purement rationnelle, entièrement dégagée de la considération des limites, et susceptible d’offrir les mêmes facilités que la méthode infinitésimale. Cet obstacle disparaît lorsqu’on fait intervenir la cinématique de la, droite et que, prenant pour base notre conception relative à la courbe, on développe tout ce que renferme en soi la définition suivante :

La courbe est la trace d'un point qui se meut sur une droite mobile, le point glissant sur la droite et la droite tournant autour du point, tous deux incessamment.

De là résulte une série d’applications qui nous ont permis d’étendre à la courbure des lignes et des surfaces ce qu’on avait fait pour les touchantes aux courbes, c’est-à-dire de créer, pour les contacts du second ordre cl des ordres supérieurs, une théorie géométrique analogue à celle de Roberval pour les contacts du premier ordre. Telle est la puissance et la fécondité de cette théorie que, par elle, et sans autre secours que celui des notions les plus élémentaires, nous avons pu aborder et résoudre toutes les questions générales et particulières qui se rapportent à la courbure dans les traités de calcul différentiel et d’analyse infinitésimale. Nous croyons avoir fait quelque chose d’utile en mettant ainsi à la portée des commençants des questions qui semblaient leur être interdites, et, surtout, en leur offrant, comme moyens de solution, les procédés simples et rigoureux de la géométrie. Quoi qu'il en soit, une objection se présente : elle consiste en ce que la marche à suivre exige, en chaque cas, une définition géométrique, et, en outre, un certain effort d’invention pour tirer des données qu’on possède le parti convenable. En vain multiplic-t-on les exemples : tout cas nouveau se résout en un problème particulier de géométrie, et la construction cherchée ne s’offre pas toujours d’elle-même.

I.e travail que nous publions aujourd’hui ne laisse rien sub-

sister de l’objection précédente : ce sont les règles mêmes du calcul différentiel et intégral qu’il dégage des éléments de la géométrie, réunissant ainsi aîix ressources dont nous disposions déjà toutes les ressources connues de l'analyse transcendante.

On sait combien la simple définition d'une différentielle proprement dite présente en général de difficulté. Dans notre méthode, comme dans celle que Maclaurin a pris à tâche de développer, la définition de la différentielle peut se donner à priori sans offrir rien d'obscur ou de compliqué. Maclaurin débute par la remarque suivante :

« En général toutes les quantités de même espèce ( lorsqu’on

• considère seulement leur grandeur) peuvent être représentées

• par des lignes droites qui sont supposées être toujours entre » elles en même raison que ces quantités. De même, dans cette » méthode, nous pourrons représenter les quantités de même

• espèce par des lignes droites et les vitesses des mouvements qui » sont censés les produire par les vitesses des points qui se meu- » vent sur ces lignes droites *. »

Reprenons cette remarque en lui donnant toute l’extension qu’elle comporte, et supprimant ee qui la restreint ou l'embarrasse. Nous dirons :

Toute grandeur a pour équivalent numérique une portion de droite composée avec l’unité linéaire comme la grandeur donnée se compose avec son unité propre. Lorsque la grandeur donnée est incessamment variable, le point, qui limite la longueur substituée à cette grandeur comme équivalent numérique, glisse continûment sur la droite qu'il décrit. Cela posé, on a la définition suivante :

La différentielle d'une grandeur quelconque incessamment variable est la vitesse du point qui décrit le segment de droite substitué comme équivalent numérique à celle même grandeur *.

En s’arrêtant à ce premier aperçu, on peut dtqâ pressentir une

* Traite des fluxions de Maclaurin, traduit par le R. P. Pezenas, page 7.

5 11 est sous-entendu que ce segment de droite est limité à une extrémité par un point fixe , à l’autre par le point mobile que l’on considère.

certaine différence entre les deux méthodes que nous mettons ici en parallèle. Cette différence s’accuse de plus en plus il mesure qu’on avance dans les applications. Toutefois , c’est par le développement de l'idce mcrc renfermée dans notre définition de la courbe qu’elle se caractérise avec toute son importance. Maclaurin donne les définitions suivantes de la tangente en un point d’une courbe et de la courbure en ce même point :

# Une droite est tangente à une courbe, lorsqu’elle touche la » courbe si exactement qu’on ne peut mener aucune droite par le n point d’attouchement entre elle et la courbe »

«♦Comme de toutes les droites que l’on peut mener par un » point d’un arc, celle-là seule est tangente qui le touche si préb cisément qu’on ne peut pas mener une autre droite entre elle » et cet arc; ainsi de tous les cercles qui touchent une courbe « dans un point donné, celui-là est dit avoir la meme courbure b que cet are, lequel le touche si exactement qu’on ne peut déb crire aucun cercle entre eux par le point d’attouchement, tous b les autres cercles passant en dessus ou'en dessous*, b C’ est d’ailleurs en s’appuyant sur ccs définitions que Maclaurin procède pour déterminer la tangente et le cercle de courbure, autrement dit le cercle osculateur.

Les définitions que nous venons de rappeler accusent certaines propriétés caractéristiques de la tangente et du cercle oscillateur. Elles ne font point connaître le rapport qui s’établit entre ccs lignes et la courbe dans leur génération simultanée. Pour nous, qui désignons sous le nom de directrice la droite mobile mentionnée dans notre définition de la courbe, la tangente est la directrice du point décrivant , c’est-à-dire la droite suivant laquelle est dirigée la vitesse de ce point; la courbure est celle du cercle où subsiste, d'une manière constante, le rapport établi entre la vitesse actuelle du point décrivant et lu vitesse angulaire simultanée de la directrice. Que la vitesse du point décrivant conserve, à partir d’un instant quelconque, la direction qu’elle affecte à ce

1 Traité îles /luxions île Martaurin . traduit par te 1t. P. Pezenas, p. 120.

9 Ibidem , p. 240.

même instant; le point décrivant cesse de décrire la courbe pour décrire la tangente. Que le point décrivant et la directrice de ce point persistent tous deux, l'un à glisser sur la directrice, l’autre à tourner autour du point décrivant , comme ils le font à un instant quelconque déterminé; à partir de ce même instant, le point décrivant cesse de décrire la courbe pour décrire le cercle osculateur. En chaque point d’une courbe, il y a sur la courbe direction et courbure : le cercle osculateur est le type sensible de la courbure, comme la tangente l’est de la direction.

On observera que nos définitions ont un caractère particulier. Elles pénètrent au fond même des choses; elles expriment cynanifestent les lois qui président à la génération des grandeurs, dont on étudie la variation simultanée. 11 suit de là quelles doivent nécessairement offrir des moyens nouveaux de recherche et de solution. L’exposé du calcul différentiel et intégral fera ressortir les avantages quelles présentent en se systématisant de manière à constituer une méthode générale. Bornons-nous ici à en donner une idée par une application tout élémentaire.

Représentons-nous une courbe plane et le point qui la décrit. Soit v la vitesse de ce point et w celle de la directrice à un même instant quelconque déterminé. Considérons la normale à la courbe décrite, et supposons qu’entraînée par le point décrivant, elle glisse avec ce point le long de la directrice et en lui restant perpendiculaire. 11 est visible qu’en se déplaçant ainsi, la normale glisse tout entière avec la vitesse v parallèle à la directrice, et qu'en même temps, elle tourne autour du point décrivant avec la vitesse u\ De là résultent pour le point o, situé sur la normale à la distance R du point décrivant, deux vitesses actuelles et simultanées, l’une égale à v, l'autre au produit Rw. Ces deux vitesses ont une même direction perpendiculaire à la normale; elles sont d’ailleurs de même sens ou de sens contraire, selon que l’arc décrit, à partir de l’instant considéré, commence par être convexe ou concave du côté du point o. Supposons le point o pris du côté de la concavité. Dans cette hypothèse, la vitesse du point o est représentée en grandeur par la différence v — Rm\

Considérons en particulier cc qui arrive pour le point o, lors-

qu’au lieu de rester quelconque il est déterminé par l’équation de condition

En ce cas, l'on a évidemment

v — Rm; = 0.

De là résultent les conséquences suivantes :

1° Lorsque le point décrivant entraine avec lui la normale à la ligne décrite, il est un point de la normale dont la vitesse est nulle. Ce point est situé du côté de la concavité, à une distance du point décrivant exprimée pour chaque position de la normale par la valeur correspondante du rapport — .

2° Deux cas sont possibles, selon que le rapport ~ demeure invariable sur la courbe décrite ou qu’au contraire, il varie incessamment d’un point à un autre.

Dans le premier cas , le point de la normale dont la vitesse est nulle reste toujours le même. Il s’ensuit qu'il est fixe et que la ligne décrite est une circonférence de cercle ayant son centre en ce point.

Dans le second cas , le point de la normale, dont la vitesse est nulle, est le centre du cercle qui se substituerait à la courbe décrite, si l’on conservait au rapport — la valeur qu’il affecte à l'instant que l’on considère. Ce cercle prend, par rapport à la courbe, le nom de cercle oscillateur. Son rayon est dit rayon de courbure. En désignant par p ce rayon, on a généralement

Soit m une position quelconque du point qui décrit la courbe donnée; o le centre de courbure correspondant à cette position; m' un point mobile assujetti à glisser sur la normale de manière à coïncider toujours avec le centre o du ccrele oscillateur.

I.c rayon p étant, par hypothèse, incessamment variable, il s’ensuit que, dans le passage d'une position quelconque de la nor-

male aux positions suivantes, le point m' s’écarte ou sc rapproche du point i» en glissant sur la normale avec une certaine vitesse. Soit u cette vitesse : elle est déterminée par la variation correspondante du rapport — , c'est-à-dire par le degré de rapidité avec lequel ce rapport augmente ou diminue. Nous savons d'ailleurs qu’elle constitue à elle seule la vitesse totale du point ni.

Affectons à la courbe donnée le nom de développante et au lieu géométrique de scs centres de courbure, celui de développée. Les considérations qui précèdent ont pour conséquences immédiates les déductions suivantes :

3° Pendant que le point m décrit la développante , le point m' décrit la développée.

4° Dana la description de la développée , le point ni glisse sur la normale mm' avec la vitesse u, et, en même temps, la normale tourne autour de ce point avec la vitesse w.

5° Toute normale à la développante est tangente à la développée , et réciproquement toute tangente A la développée est normale à la développante.

(i° Dans le passage d'une position ci une autre, la normale à la développante s'applique sur la développée par voie d’enroulement continu.

7“ L’arc de la développée compris entre deux rayons de courbure de la développante a pour longueur rectifiée la différence de ces mêmes rayons.

8° Le rayon de courbure de la développée est représenté pour le point m' par le rapport , en même temps que celui de la développante l’est pour le point m par le rapport ^ .

9® Lorsque les vitesses u et w varient dans un rapport constant, la développée est une circonférence de cercle.

10° Les développantes de cercle sont les seules lignes pour lesquelles les vitesses u et w conservent entre elles un rapport invariable.

S’agit-il maintenant de déterminer les propriétés et les caractères distinctifs du cercle osculateur? S’agit-il, en outre, d’établir les conditions relatives aux contacts des ordres supérieurs? On

peut y parvenir, comme nous 1 avons l'ait *, en s'appuyant sur les premiers éléments de la géométrie. On y parvient plus directement encore, en observant (pic, pour une même vitesse du point décrivant, l’écart entre la tangente et la courbe augmente nécessairement avec la vitesse angulaire de la directrice. De là se déduit sans la moindre dillicullé toute une série de conséquences. Enonçons-en les principales, en désignant par m le lieu de départ du point décrivant et par s l'arc décrit à partir de ce lieu. Voici d'abord un premier énoncé :

Le cercle oscillateur est, parmi tous les cercles passant par le point m, celui (/ni se rapproche le plus île rare s dans le voisinage du point in. Il est la limite séparative des cercles qui touchent l’arc s en m, les uns intérieurement, les autres extérieurement. En général, il coupe la courbe au point d'osculation.

Lorsque dcu.v courbes ont en un point commun même tangente, elles se touchent en ce point et leur contact est du'premicr ordre. Si, en outre, elles ont même courbure, leur contact, devenu plus intime , est dit du deuxieme ordre. Soit o le centre commun de courbure qui correspond au contact du deuxième ordre établi, par hypothèse, entre les deux courbes que l'on considère :

Les développées de ces courbes se touchent au point o et leur contact est du premier ordre.

Supposons, sans rien changer d’ailleurs, que le contact des développées soit du deuxième ordre, celui des développantes, devenu plus intime, sera du troisième ordre, et ainsi de suite, tout contact de l'ordre n entre les développées impliquant un contact de l'ordre « I entre les développantes, et, réciproquement, tout contact de l'ordre n -+- 1 entre les développantes impliquant un contact de l'ordre n entre les développées. On voit ainsi comment le contact du troisième ordre se définit au moyen du contact du deuxième ordre, celui du quatrième au moyen du troisième, et ainsi de suite indéfiniment. Cela posé, il n’est pas besoin d'autres

| Voir notre Théorie yéomctrinue des rayons et centres (le courbure (2“ ib note additionnelle).

procédés que ceux de lu géométrie élémentaire pour établir les déductions suivantes :

Lorsque deux courbes ont entre elles un contact d'un ordre quelconque supérieur au premier, selon que leurs courbures sont toutes deux croissantes , ou toutes deux décroissantes à partir du point de contact et d'un même côté de la tangente, la position relative des développées est l’inverse ou la même que celle des développantes.

En général, lorsque deux courbes ont entre elles un contact d'ordre pair, elles se coupent au point d’osculation.

En général, lorsque deux courbes ont un contact d’ordre impair, elles ne se coupent pas au point où elles se louchent.

Entre deux courbes dont le contact est de l’ordre n , on n’en peut mener aucune ayant un contact d’ordre inférieur.

Cet aperçu indique suffisamment ee qu’il y a de neuf dans la méthode que nous nous proposons ici de généraliser. Il montre, en même temps, comment cette méthode a ses procédés particuliers, essentiellement distincts des procédés ordinaires. L’exposé du calcul différentiel fera voir l'extension que comporte cette même méthode et comment elle embrasse tous les cas possibles d'application, c'est-à-dire comment elle se systématise en dégageant de la géométrie les règles dont on a besoin pour résoudre, ainsi qu’on le fait par d'autres méthodes, toutes les questions qui peuvent se présenter. L’avantage consiste en ce que tout repose sur des notions rationnelles, purement élémentaires, offrant un sens précis, faciles à saisir dès le début, et supprimant ainsi toute obscurité. Il consiste également en ce que les moyens directs dont on dispose présentent, en général, de grandes facilités et qu’en outre, ils comprennent implicitement tous ceux dont l’emploi peut, en certains cas, paraître préférable.

Nous avons dit plus haut de quoi se compose la première partie de cet ouvrage et les simplifications qu’on y peut introduire. La deuxième partie comprend les règles générales de la différentiation, et, pour les cas les plus simples, les règles correspondantes de l’intégration. Elle se distingue des écrits publiés sur la même matière en ce qu’elle n’emprunte le secours d’aucune des iné-

thodes connues et que tout se réduit à des constructions purement géométriques. Rapprochée du travail que nous avons produit antérieurement sur le postulatum d’Eticlide, elle montre, ainsi que nous l'annoncions, comment en mathématiques élémentaires, de même qu’en analyse transcendante, tout se ramène à une seule et même conception fondamentale.

Les lecteurs au courant des difficultés métaphysiques soulevées par l'analyse transcendante seront surpris sans doute de nous voir affirmer que nous n’avons besoin ni des infiniment petits, ni du procédé des limites, ni d'aucune notion d'algèbre supérieure pour établir « priori les règles de cette analyse et les rendre applicables à tous les cas. On reconnaîtra que cette affirmation n’a rien d’exagéré. Nous aurions pu combiner avec les moyens propres à notre méthode, ceux que fournit la méthode des limites et que nous étions en droit de nous approprier après les avoir déduits du théorème fondamental exposé n° 6. Nous le pouvions d’autant plus que tout étant éclairci dès l’abord, les résultats obtenus par la méthode des limites ne se réduisaient pas à la simple traduction d’une série de faits que l’on n’explique point, dont le sens échappe et qui restent en partie stériles. Nous avons préféré procéder exclusivement par la géométrie, de manière à ne laisser aucun doute sur l’indépendance absolue qui existe entre notre méthode et les autres.

La marche suivie dans les cinq premiers chapitres peut être simplifiée d’après les indications du chapitre VI et notamment des numéros 58, 59 et 40. En se reportant à l'avertissement placé en tète de cet ouvrage, on verra comment on doit en faire la lecture pour parvenir au but proposé dans les conditions les plus promptes et les plus faciles.

11 nous a paru curieux de démontrer à priori que le plan tangent en un point d’une surface contient, en général, toutes les tangentes menées par ce point, et que deux tangentes réciproques, qui sortent avec une égale vitesse des sections qui les déterminent , ont des rotations égales et contraires autour des directions suivies parleurs points de contact. Le premier de ces théorèmes implique, comme conséquence, la loi générale de la différentiation des fonctions composées ou complexes, et réciproquement. Le dernier exprime l’égalité qui subsiste entre les résultats de plusieurs déri-