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et, eusuilc, eu égard aux égalités (5) et (4),

(5) yf'y.Àx, y) = i-

Cela posé, observons que la quantité t a pour expression générale le rapport de la vitesse z, = x f‘ x ( x , y) à la vitesse x. On peut donc écrire généralement

fl(x, y) = t.

De là résulte, en différentiant, dans l’hypothèse x=constante ,

(6) ÿf'iA x > y) =

La comparaison des équations (b) et (6) conduit immédiatement à la relation finale

On voit ainsi que, dans le cas de deux dérivations faites successivement par rapport à deux variables, le résultat definitif est indépendant de l’ordre suivi dans ces dérivations. Cette conséquence s’étend d’clle-méme à un nombre quelconque de dérivations successives faites sur une même fonction de n variables. De Là le principe général énoncé comme il suit :

Quel que soit l’ordre dans lequel on effectue plusieurs dérivations successives , si l'ordre seul cluinge et que toutes choses soient égales d'ailleurs, le résultat définitif reste toujours le même.

40. Revenons à la règle générale du n° (58). Elle implique, comme cas particulier, la règle suivante :

La différentielle d'un produit est lu somme des résulluts qu'on obtient en substituant successivement d chaque facteur sa propre différentielle.

|a>rl à la variable x. Oii petit voir, à la lin du n“ 35, quelles sonl les conventions adoptées |K>ur représenter, en général, les dérivées successives et partielles d'une même fonction à plusieurs variables.

Partant de là cl opérant comme nous l’avons t'ait à partir du ii° 10, on établit sans la moindre difficulté toutes les règles dont on a besoin pour la différentiation des fonctions élémentaires et des fondions composées.

Il n échappera point au lecteur, déjà initié aux divers procédés d’exposition de l’analyse transcendante, qu’en suivant la marche tracée par nous en dernier lieu , notre méthode réunit tous les avantages que les autres peuvent offrir séparément. Au point de \ uc de la rigueur, elle ne le cède en rien à la méthode des limites ; au point de vue de la simplicité, clic égale au moins la méthode des infiniment petits. Suffisante par elle seule, elle offre toutes les ressources nécessaires; on peut d’ailleurs la combiner avec les méthodes connues, de manière à les compléter en leur donnant ce qui leur manque : à l’une la lumière et la fécondité, à l’autre la netteté et la certitude géométriques. Les applications ultérieures montreront mieux encore l’indépendance absolue et la supériorité relative de la conception fondamentale sur laquelle nous faisons reposer tous les développements de l’analvse transcendante.