Sans rien changer à ce qui précède, nommons

D la tangente en m' à la ligne s,

a l’angle de la droite D avec l’axe OX *,

i. =a f(x, y), consiste essentiellement en ce que la caractéristique du plan P est assujettie à passer par le point i.

Soit A le point de la droite ab pour lequel on a ~ ^ • A cette valeur du

rapport % correspond une position particulière de la caractéristique du plan P. Cette position est donnée par la droite hi. On voit ainsi comment la caractéristique du plan P tourne autour du point i, lorsqu’on dispose du rapport

* et qu’on le fait varier continûment.

La faculté qu’on a de disposer comme on veut les trois points a, b, c, implique, comme conséquences, plusieurs théorèmes de géométrie qu’il suffit d’indiquer en passant.

* On sait que pour chaque valeur attribuée à y , la ligue s est complètement définie de forme et de position. On sait également que, pour chaque valeur attribuée à x, la position du point m sur la ligne s est entièrement déterminée. De là résulte nécessairement

Soit à, ce que devient la vitesse angulaire à, lorsqu’on suppose y = constante, c’est-à-dire lorsque le point m sort- du lieu n en glissant sur la ligne cc'. Soit de même à, ce que devient la vitesse angulaire «, lorsqu’on suppose x — constante, c’est-à-dire lorsque le point m sort du lieu n en glissant sur

e l'angle ZOX , supposé quelconque ,

I le rapport sin os : sin ( C — a ) , m" la projection du point m sur la ligne ce', cette projection étant faite par une droite parallèle à l’axe OZ.

l)c même qu’en se séparant du point n , le point m" détermine la direction première de la tangente D, de même en s’écartant l'un de l’autre au sortir du lieu n les points m,m' déterminent la vitesse angulaire de cette même tangente à l’origine de son déplacement.

Soit n' un point pris sur la droite D, alors que cette droite Fi touche en n la ligne ce'. Tirons l’ordon-

née p'n' et désignons par fi un point , mobile assujetti à rester en tnême temps ‘ sur cette ordonnée et sur la droite D.

Plaçons-nous à l’instant précis où la droite D sort du lieu nn' et représentons °~ y />' x par u l’excès de la vitesse du point ft sur celle du point m'. Il est visible que la rotation de la droite D

l’ordonnée pn. Appliquée à l’équation (1), la régie du n" 38 donne immédiatement

L'équation (2) exprime qu'à l'instant précis où le point m sort du lieu n , la directrice du point m sur sa trajectoire tourne comme si la ligne s conservait sa forme actuelle c& et tournait avec la vitesse angulaire à ÿ . Ce résultat peut s'établir à priori par des considérations 1res- simples. Eu cITét, puisque le changement de forme est soumis, par hy|>olhèse , à la loi de continuité, il serait absurde de supposer que la rotation de la directrice du point m sur la ligne s pût être, par rapport à celte ligne, moindre ou plus grande que le comporte la courbure actuelle au point n. Ou voit ainsi que l'équation (2) subsiste nécessairement , la ligne s pouvant être considérée comme invariable de forme , et dès lors comme n'ayant d'autre mouvement angulaire que celui qui correspond à son déplacement et qui commence avec la vitesse à,.

Il est aisé de voir comment les déductions du n" 38 conduisent directement à la théorie des enveloppes , comment aussi l’extension qu’elles comportent permet de les prendre iwur liase du calcul des variations. Nous reviendrons plus loin sur ces applications

a u tour du poinl m' est précisément la même que si ce point demeurait en n et que le poinl n sortit du lieu n' en glissant sur l'ordonnée p'n' avec la vitesse u. Or, dans cette hypothèse, on a

(1) P'n' — pn -*• pp' . I.

Il vient donc, en différentiant par rapport à p'n' et à t,

u = pp'.i.

Soit U la vitesse effective du point n au sortir du lieu n', celle du point m', ou sortir du lieu n , étant représentée par z,, on a , comme conséquence des données précédentes,

(2) U = -t- pp'.i.

L’équation (2) subsiste en même temps pour tous les points de la droite n»\ Il s'ensuit que si l’on veut déterminer la vitesse avec laquelle la grandeur U varie dans le passage d’un point à un autre sur la droite tin', il sullit de différentiel 1 en considérant les deux vitesses Zy et t comme constantes, et en prenant pour différentielle de la quantité variable pp' la vitesse i avec laquelle l'ordonnée p'n' s’écarte de l'ordonnée pn en glissant sur l’axe OX. De là résulte immédiatement

Veut-on appliquer l'équation (5) à la détermination de la vitesse angulaire qui anime la droite mm' à l’origine de son déplacement, lorsque les points m,m' sortent en même temps du lieu n? Tout se réduit à poser

tir qui donne, d'abord,

l.e symhole /"*, * (-r, y) exprime le résultat de deux dérivations laites Miceessivcmenl , la première par rapport à la variable la seconde par rap-