DES DÉPLACEMENTS RECTILIGNES ET SIMULTANÉS DE PLUSIEURS POINTS

Définition et mesure des vitesses.

I. Considérons un point supposé mobile sur une droite 1 et y occupant une position quelconque déterminée. Lorsque ce point sort de cette position , c’est suivant la direction de la droite et avec un certain degré de rapidité. De là résulte pour le point mobile

1 Crue il roi te est supposée fixe. On verra plus loin comment la définition de la vitesse donnée pour le cas d’un point qui se meut sur une droite fixe s’étend d’ellc-méme au cas oii ii y a mouvement du poiut et de la droite, le point [/tissant sur la droite et la droite tournant autour du point , tous deux simultanément.

un état particulier, distinct de l’état de repos. Cet étal d'un point qui sort de la position qu’il occupe est dit état de mouvement. On le désigne plus simplement encore sous le nom de vitesse.

Dans la vitesse ainsi définie, il y a deux choses à distinguer : l’une est la direction, l'autre la grandeur. La direction est déterminée par la droite sur laquelle le point est assujetti à se déplacer; elle comporte deux sens opposés l’un à l’autre. La grandeur est le degré de rapidité avec lequel le déplacement commence à partir de la position considérée.

Étant donnée une position quelconque du point mobile et la vitesse avec laquelle le point sort de cette position, on peut toujours concevoir que le déplacement continue comme il commence, c’està-dire sans que la vitesse initiale cesse de conserver, partout et toujours, une seule et même direction, un seul et même sens, une seule et même grandeur. Quelle que soit la vitesse ainsi déterminée, par cela seul qu’elle est invariable, le déplacement du point mobile s’accomplit avec uniformité , c’est-à-dire suivant un mode unique , partout et toujours identiquement le même. Réciproquement, s'il s’agit d’un point qui se déplace uniformément , la vitesse de ce point conserve partout et toujours une seule et même détermination.

Imaginons que sur la droite à décrire on ail tracé des divisions quelconques , toutes égales en longueur. Par hypothèse, la vitesse est constante : il y a donc uniformité , et de même que le point décrit d’abord la première division, de meme ensuite il décrit chacune des autres, dans des conditions toujours identiques. Au lieu d'un seul point décrivant, considérons à la fois deux points animés chacun d’une vitesse constante. Pendant que le premier point décrit une longueur l , choisie comme on voudra, le second point décrit une longueur correspondante i . De même aussi, pendant que le premier point décrit un multiple quelconque de la longueur l, le second point décrit le même multiple de la longueur V. On déduit aisément de là que si l’on prend deux longueurs quelconques décrites simultanément de part et d’autre, ces longueurs conservent entre elles un rapport invariable. On voit d’ailleurs que les longueurs décrites croissent avec les vitesses des points

décrivants, et l'on est conduit naturellement à prendre les unes pour mesures des autres.

Soit A 0 , A,, A, . . . A„ une suite de droites toutes superposées dans l’ordre des lettres qui les désignent respectivement. Concevons que la droite A„ soit fixe, et que chacune des autres, entrai liant avec elle toutes celles qui lui sont superposées , glisse sur la précédente avec la vitesse v. La vitesse delà droite A, sera v; celle de la droite A Jf v -+• v ou 2e; celle de la droite A 3 , 2e -t- v ou 5e, et ainsi de suite, celle de la droite A„ étant représentée par ne. D’un autre côté, tandis qu’un point de la droite A, décrit une longueur quelconque l, les longueurs décrites par chaque point des droites A s , A, . . . A„ sont respectivement 'il, 5/, . . , ni. Il suit de là que les vitesses des points situés sur les droites A,, A, . . . A„, sont entre elles comme les longueurs que ces points décrivent simultanément. On voit donc que si par vitesse double, triple, quadruple, etc., on entend la vitesse qui résulte pour un meme point de la composition de plusieurs vitesses simultanées, toutes égales et prises au nombre de deux, trois, quatre, etc., il est rigoureusement exact de substituer au rapport des vitesses que l’on compare entre elles, les rapports des longueurs décrites simultanément par les points qu’elles animent.

De là résultent, en ce qui concerne les grandeurs respectives des vitesses simultanées qui animent en même temps un ou plusieurs points, les conséquences suivantes :

1° Lorsque plusieurs vitesses simultanées animent un même point, suivant une même droite, la vitesse résultante est la somme algébrique des vitesses composantes.

2° Dans la comparaison de plusieurs vitesses, chaque vitesse peut être exprimée par une longueur.

5" Les vitesses que l'on compare animant certains points, les longueurs qui les expriment sont les portions de droite que ces points décriraient simultanément, si chaque vitesse demeurait constante.

4° En général, on est libre de fixer, comme on veut, la portion de droite prise pour mesure de l’une des vitesses qui sont à comparer ; les autres s’en déduisent.

Composition et décomposition des vitesses.

2. Soit une droite AC, m un point décrivant celle droite à partir du

Fig. I.

point A ; « la vitesse avec laquelle le point m se déplace sur la droite AC. Au lieu d'être fixe, la droite AC peut être mobile, et, par exemple, glisser, sans tourner, le long de la droite AL. Dans ce glissement de la droite AC une seule et même vitesse anime, en même temps, tous scs points; c’est la vitesse du point A, vitesse dirigée suivant AL et que nous désignerons par Lorsque le point A de la droite AC parvient en A' sur la droite AL, la droite AC occupe la position A'C' parallèle à AC. Le point m est alors en B', A'B' étant la longueur qu’il décrit sur AC, pendant que le point A décrit sur AL la longueur AA'.

Les longueurs A'B', AA' étant décrites simultanément, l’une par le point m en vertu de la vitesse constante u, l’autre par le point A en ^crlu de la vitesse constante u', on a, conformément à ee qui précède ,