DES HOUVEMEISTS ANGULAIRES CONSIDÉRÉS EN EUX-MÊMES ET ISOLÉMENT

51. L'état de mouvement d'un solide se compose, en général, d'une rotation et d'une translation simultanées.

On peut assujettir à passer par un point quelconque Taxe autour duquel on suppose que la rotation s'établit. Il n'en résulte aucun changement ni dans la direction de cet axe, ni dans la vitesse angulaire. Une seule chose change avec la position de Taxe, c'est la translation composante : elle se détermine par la vitesse que possèdent en commun les différents points situés sur Taxe de rotation.

On voit par la que le mouvement angulaire d'un solide, lorsqu'on le rapporte à un axe unique, ne comporte jamais, à un même instant quelconque, qu'une seule et même détermination. La déduction précédente s'applique au cas d'un plan comme au cas d'un solide. Lorsqu'il s'agit d'un plan , il est souvent utile de distinguer, dans la rotation totale, les deux rotations simultanées dont elle se compose et qui correspondent respectivement. Tune au mouvement du plan sur lui-même, l'autre au changement que la direction du plan subit dans l'espace. Ces deux rotations ont respectivement pour axes, la première une normale au plan, la deuxième une parallèle a la caractéristique. On peut assigner à chacun de ces axes une position quelconque. Par cela seul qu'ils conservent tous deux leurs directions respectives, rien ne change dans les vitesses angulaires qui leur correspondent.

Passons au cas d'une droite qui se meut librement dans l'espace et dont on considère exclusivement le mouvement angulaire; soit B cette droite : prenons un point quelconque 0, supposé fixe, et, par ce point, menons une droite B' assujettie à rester parallèle a

la droite fi. L'identité qui subsiste entre les inouvemeRts angu- „. .^ laires simultanés des droites B, B' permet

,,--"'"*' de substituer l'un à l'autre et réciproquement; cela posé^ voici les conséquences :

'^^ L'état de mouvement de la droite B' consistant en une rotation simple autour d'un axe A passant par le point 0, on peut, sam rien changer à cet état, établir, en outre, une rotation quelconque autour de la droite B'.

Ces deux rotations, dont Tune est donnée et dont l'autre admet indifféremment tous les degrés de grandeur, se composent en une rotation simple autour d'un axe A' situé dans le plan des droites A et B'.

La vitesse angulaire autour de Taxe A' varie avec la direction de cet axe. Elle est la moindre possible, lorsque l'axe A' est perpendiculaire à la droite fi'. Pour toute autre direction , elle croit indéfiniment à mesure que l'angle des droites A', B' devient de plus en plus petit K

L'axe A' étant tracé à partir du point 0, de manière à représenter la rotation correspondante , le lieu de sm extrémités est une droite B" parallèle à B'.

Concluons que le<mouvement angulaire d'une droite, /or^^i^ 'on le rapporte à un axe unique, comporte , à un même instant quel* conque y une infinité de déterminations différentes, chaque détermination distincte correspondant à une direction particulière de l'axe' de rotation, et le lieu de ces directions étant un certain plan parallèle à la droite.

32. Théorème XI. — Lorsque deux droites font entre elles un angle constant, on peut les considérer comme ayant en même temps mêmes rotations autour des mêmes axes.

* Imaginons que, par Textrémilé de Taxe A, on même une droite B" parallèle à B^ La vitesse angulaire autour de Taxe A' est la partie de la droite A' interceptée entre le point et fa droite B".

Soient- A, B les deux droites données. Prenons dans l'espace un point quelconque 0, et, par ce point, faisons passer deux droites A', B' assujetties à rester constainment parallèles, Tune à la droite A, Tautre h la droite B.

Les droites A', B' formant entre elles un système de figure invariable, leur état de mouvement consiste, à chaque instant, en une même rotation autour d'un seul et même axe, passant par le point O. De là résulte évidemment la proposition énoncée pour les droites A, B dont le mouvement angulaire ne difière en rien de celui des droites A', B'.

Toutes choses restant les mêmes, supposons qu'au lieu d'être constant, l'angle des droites A, B soit incessamment variable. Si nous désignons par P le plan des droites A', B', il est visible que le mouvement de chacune de ces droites se compose du mouvement du plan P, qui leur est commun , et, en outre , d'une rotation dans le plan P, autour du point O, cette rotation ayant pour axe la normaie au plan P et affectant en général une détermination différente pour chacune des droites A', B'.

L'état de mouvement du plan P résulte, à chaque instant, d'une rotation simple autour d'un certain axe passant par le point 0. On peut dire aufii qu'il résulte de deux rotations simultanées rec- . tangulaires , les axes de ces rotations concourant en et étant dirigés respectivement, l'un suivant la normale, l'autre suivant la caractéristique du plan P.

De là suit évidemment cette première déduction :

L'état de mouvement des droites A', B' se compose, pour cha^ cunej à un même instant quelconque ,

i** D'une même rotation autour de la caractéristique du plan P ;

2** D'une rotation autour de la normale au plan P menée par le point , cette rotation affectant en général une détermination différente pour chacune des droites A', B'.

Si l'on observe ensuite que le mouvement angulaire des droites A, B, ne diffère en rien de celui des droites A', B', on a, comme deuxième déduction, le théorème suivant :

Théobèhe XII. — Lorsque deux droites font entre elles un angle incessamment variable y si Von désigne par P un plan parallèle à ces droites, on peut considérer leurs rotations simultanées comm£ se eofnposant, pour chacune, à un même instant quelconque,

V D'une même rotation autour d'un même axe situé dans le planP;

^ D'une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan P, cette rotation différant, en général, pour' chacune des deux droites*

La combinaison des théorèmes XI et Xli implique , comme con* séquence, cette troisième déduction :

Corollaire. -^ La rotation commune aux droites A, B autour d'un axe situé dans le phn P n'est autre chose que la rotation de ce plan autour de sa càrOfCtéristique. Elle ne comporte, à un niêfne instant quelconque, qu'une seule et même détermination.

53. Considérons deux droites mobiles A, B et un plan P parallèle à ces droites. Quelle que soit ; pour chacune des droites A, B, sa rotation totale autour d'un axe unique , on peut toujours ^ substituer à cette rotation simple deux rotations simultanées, Tune autour d'un axe perpendiculaire au plan P, l'autre autour d'un axe situé dans ce plan; la première ne comportant qu'une seule détermination, la deuxième admettant, au contraire, une infinité de déterminations toutes équivalentes en ce qui concerne la droite considérée.

Cela posé on a le théorème suivant :

Théorème XIII. — Étant donné un plan P parallèle à deux droites mobiles A,B et, pour chacune de ces droites, sa rotation

* Un seul cas fait exception , celui oîi Taxe de la rotation donnée serait parallèle au plan P. Cette circonstance ne modifie en rien les déductions suivantes.

composante autour d'un axe situé dans le plan P, si ton représente par oa, ob les rotations données et par an, bn deux parailèles aux droites A, 6, la rotation de la normale au plan P est représentée en direction, sen^ et grandeur par la diagonale on du quadrilatcTe oaub.

Construction. — Soit o un point du plan P; o», 06 deux axes

situés dans ce plan et représentant les rotations Fia. W. , . „ , j . A

composantes données , 1 une oa pour la droite A ,

lautre 06 pour la droite B. Par les points a et 6

menons les droites an, 6n, respectivement parai-

Icles, la première à la droite A, la seconde à la

droite B : n éteint le point de rencontre des droites

an, 6n, la droite on représente en direction, sens

et grandeur la rotation de la normale au plan P.

Démonstration. — On sait que le système des droites A, B admet une même rotation composante autour d'un même axe situé dansle plan P. (Théorème XII.) Cette rotation est évidemment représentée par on. Cela résulte de ce que la rotation on équivaut, pour la droite A, à la rotation oa; pour la droite B, à la rotation 06 *. Il est clair, d'ailleurs, que, quelle que soit pour chacune des droites A, B sa rotation composante autour de la normale au plan P, ces rotations peuvent être considérées comme nulles, sans qu'il s'ensuive aucune modification dans le mouvement angulaire de cette môme normale. La construction qui précède est ainsi justifiée.

^ Les rotations représentées i*especti veinent ])ar les i)ortions de droite oay an ont pour résultante la rotation on. En se composant avec la rotation oa , la rotation an ne change en rien le mouvement angulaire de la droite A. La même observation s'applique en <îe qui concerne, par rapport à la droite B, la rotation bn. De là se déduit évidemment la conséquence énoncée plus haut.