CHAPITRE VI

DES FORMES LES PLUS SFMPLES AUXQUELLES ON PEUT RÉDUIRE l'état DE MOUVEMENT d'uNE FIGURE DANS l'eSPACE.

26. Considérons un système quelconque de points liés entre eux d'une manière invariable, et se mouvant, comme on veut, dans Tespace. Réduit à sa forme la plus simple Tétat de mouvement de ce système consiste, en général, en un glissement dirigé suivant une certaine droite et se composant avec une rotation autour de cette même droite. Au lieu d'une translation qui se compose avec une rotation, on peut avoir deux rotations simultanées à axes rectangulaires, quelquefois même une rotation simple. La première substitution est toujours possible d'une infinité de manières, la seconde l'est quelquefois, mais d'une seule façon. Lorsque les points donnés sont tous compris dans un même plan, il y a souvent avantage à distinguer le mouvement du plan sur lui-même du mouvement du plan dans l'espace. On y parvient en ramenant rétat de mouvement du plan mobile à deux rotations simultanées, l'une autour d'une normale au plan, l'autre autour d'un axe situe

dans ce même plan. Lorsque les points donnés sont tous rangés sur une même droite, selon que leurs vitesses sont ou ne sont pas perpendiculaires à cette droite, l'état de mouvement de la droite mobile ne comporte, en général, qu'une simplication secondaire, ou bien il est réductible & une rotation simple autour d'un axe déterminé. Examinons ces différents cas.

Du mouvement d'une droite y dont tous les points ont des vitesses perpendiculaires à cette droite.

Ff'g. 17.

27. Soit D une droite projetée en o sur un plan P perpendiculaire à sa direction. Par hypothèse, les vitesses des différents points de la droite D sont perpendiculaires à cette droite S et, par conséquent, parallèles au plan P. II en résulte que si Ton transporte en les vitesses de ces différents points, leurs extrémités viendront toutes aboutir à une même droite BB' située dans le plan P. (Théorème VII.) Il en résulte aussi que les vitesses ainsi transportées seront les projections sur le plan P de ces mêmes vitesses considérées dans leurs vraies positions.

On sait que les vitesses des différents points de la droite D, lorsqu'on les prend dans leurs vraies positions, ont pour lieu de leurs extrémités une droite oblique sur la première. (Théorème VI, corollaire 2.) Désignons par ^ cette deuxième droite et observons qu'elle est située dans le plan mené par BB' perpendiculairement au plan P.

De là résultent immédiatement les conséquences suivantes : Il est un point de la droite D dont la vitesse , représentée par la perpendiculaire oa abaissée du point o sur BB', est moindre que toutes les autres.

* Lorsque la vitesse d'un point d'uno droite est perpendiculaire à la direction de cette droite, il en est de même des vitesses simultanées de tous les autres points. ( Théorème Vï , corollaire \ . )

Ce point, dit point central, est situé sur la plus courte distance des droites D, a.

Soit le point central ainsi déterminé. La droite on, suivant laquelle la vitesse du point o se dirige, est dite axe de symétrie.

Étant donnés deux points pris sur la droite D et équidistants du point central , les vitesses de ces points ont même grandeur, et elles sont dirigées symétriquement par rapport à la droite oa.

Vétat de mouvement de la droite D résulte d'une translation, suivant Vaxe de symétrie, avec rotation simultanée autour de ce même axe.

Soit on la projection de la vitesse d'un point quelconque m pris sur la droite D, à la distance om du point central, les vitesses de translation et de rotation de la droite D sont respectivement, Tune

Il =z oa , l'autre

an om

Concluons que , dam le cas particulier où les vitesses des différents points d'une droite êont perpendiculaires à cette droite, l'axe instantané glissant peut être choisi de manière qu'il coupe la droite mobile et lui soit perpendiculaire.

On observera qu'en ce cas , l'état de mouvement de la droite mobile se trouve ainsi réduit à son expression la plus simple.

D'une droite qui se meut d'une manière quelconque,

28. Soit mA une droite mobile; m un point de cette droite; mn la vitesse de ce point.

L'état de mouvement de la droite mA peut être considéré comme se composant :

i<* D'une translation empruntée au point m et représentée par la vitesse mn de ce point;

S® D'une rotation autour d'un axe mo passant par le point m. p. ^g Menons par Je point m un plan P perpendi-

culaire i la vitesse mn et décomposons la rotation mo en deux rotations simultanées, Tune autour de la droite mA, l'autre autour de Tintersection du plan P avec le plan oiiiA.

En ce qui concerne la droite mA et la vitesse actuelle de ses différents points, on peut évidemment faire abstraction de la rotation composante dont Taxe est dirigé suivant cette droite.

Il ne reste donc à considérer que la rotation composante autour d'un axe situé dans le plan P et la translation mn. Or cette translation équivaut a un couple de rotation situé dans le plan P. On voit d'ailleurs aisément que ce couple et la rotation à considérer se composent en une rotation simple autour d'ua axe situé dans le plan P.

On déduit de là, comme conséquences générales, les conclusions suivantes :

V L'état de mouvement d'um droite quelconque D se réduity en général y à une rotation simple autour d'une autre droite D' (*).

S"* La droite D' est située à la fois dans tous les plans menés par les différents points de la droite D perpendiculairement aux vitesses de ces points.

3° La droite D' est complètement déterminée par Vintersection de deux quelconques de ces plans.

Un seul cas échappe à cette solution , celui où les vitesses des différents points de la droite D sont perpendiculaires à cette droite : c'est le cas traité tout à l'heure n* 27.

La droite D' est nécessairement unique. On la caractérise en lui donnant Je nom d'axe instantané non glissant. M. Chasles la dé- '

(*) Le point delà droite D situé sur la plus courte distance des droites D, D', prend le nom de point central. Il est caractérisé par la condition d'être, parmi tous les points de la droite D, celui dont la vitesse est la plus pelite en grandeur absolue.

signe sous ]a déiioiiiiiialioii de droite conjuguée. Voici pourquoi. Si la droite D fait partie d'un solide, la droite D', considérée comme faisant partie de ce même solide, ne peut avoir d'autre mouvement que celui qui se compose du mouvement de la droite D et d'une rotation autour de cette droite. Or, puisque le mouvement de la droite D se réduit à une rotation simple autour de la droite D', il s'ensuit que ce mouvement est sans effet sur la droite D', et conséqucmment que l'état de mouvement de la droite i)' se réduit a une rotation simple autour de la droite D. C'est a raison de la réciprocité qui s'établit ainsi entre les droites D, D' (chacune étant l'axe instantané nmi glissant qui correspond a l'autre ) que M. Cliasles leur affecte la désignation commune de droites conjuguées.

Du mouvement' d\in système de points liés entre eux d'une manière invariable et situés ou non situés dans un même plan,

29. Soient »i|, m^, m^ trois points non situés en ligne droite : P le plan déterminé par ces points : i?|, r^, Vj leurs vitesses respectives et simultanées.

Décomposons chacune des vitesses v^ , r^, v^ en deux autres , Tune perpendiculaire au plan P, l'autre située dans ce plan. Soient f'i5 ^29 ^'3 ^es premières composantes et v"|, t/'j, v''^ les secondes.

Parles extrémités des vitesses v'i, v'a, v'3 faisons passer un plan Q. En général, les plans P, Q se coupent: soit D leur intersection.

La droite D, ainsi déterminée, n'est autre que la droite désignée par M. Chasles sous le nom de caractéristique du plan P. Nous adopterons cette dénomination.

Soient pi, P2, Pj les perpendiculaires abaissées des points m^, m^y m^ sur la ciiractéris tique D. On a évidemment

Vi l'a' Vz

pi J»2 Pz

Désignons par w la valeur commune à ces trois rapports. Il s'en-

suit que, pour eominuaiquer à chacun de$ trois points ni^ » m^, m^ les vitesses respectives v\, v'^, v\y il suffit d*une rotation qui eominence autour de la droite l) avec la vitesse aogulaire w.

On sait que les vitesses V|, v^, Vj, prises deux à deux, ont même composante suivant la droite qui joint leurs points d'application. Cette propriété s'étend d'elle-même et nécessairement aux vitesses t?"i , v''^ , v"^. Il en résulte que les perpendiculaires , élevées dans le plan P sur ces vitesses par les points m^ , tt^ , nt; , vont toutes trois se couper en un même point o\ Il en résulte aussi que Ton a, en désignant par r^, r^, rg les distances o~m|, o'mj, o'mg,

vr V," V,''

soit w' la valeur commune à ces trois rapports.

Le point o' déterminé, comme il vient d'être dit, a reçu le nom de foyer du plan P. Conservons cette dénomination et désignons par D' la normale au plan P menée par le point o'.

Il est visible que, pour communiquera chacun des trois points Wi, m^, mj leurs vitesses respectives t?"|, t?"^, v^'^y il suffît d'une rotation qui commence autour de la droite D' avec la vitesse angulaire «?'.

Concluons que l'état de mouvement des trois points m^, m^, m^ peut-être considéré comme résultant de deux rotations simulta-nées y l'une autour de la droite D avec la vitesse Wj l'autre autour de la droite D' avec la vitesse w\

Concluons, en outre, que, s'il s'agit des autres points du plan P, ou d'un système quelconque de points faisant avec les points donnés partie d'un même solide, ces deux rotations simultanées communiquent en même temps à totM ces points leurs vitesses actuelles.

50. Les points situés sur les droites D, D' n'ont d'autres vitesses que celles qui résultent, pour chacune de ces droites, de sa rotation autour de l'autre. Il s'ensuit que les droites D, D' forment entre elles un système de droites conjuguées rectangulaires. Les dé-

ductions et conclusions du n^ !29 impliquent, d'ailleui*s, les conséquences suivantes :

1** La caractéristique D est le lieu des points dont les vitesses sont dirigées dans le plan P. Pour chacun de ces points, sa vitesse est à la fois perpendiculaire et proportionnelle au rayon vecteur qui va du foyer à ce point. Le lieu des extrémités de ces vitesses est l'intersection du plan P avec le plan mené par les extrémités des vitesses v,, v^, Vj * .

2** Le foyer o' est le point du plan P dont la vitesse est normale à ce plan. Cette propriété est caractéristique. Supposée commune à deux points du plan P, elle s'étend à tous les autres, et le mouventent se réduit à une rotation simple autour de la droite D.

3° Soit le pied de la perpendiculaire abaissée du point o' sur la caractéristique D; o, o' sont les points centraux des droites conjuguées D, D'. D' est la caractéristique du plan P' mené par le point o' normalement à la droite ly : o est le foyer de ce plan,

4" Tout plan passant par la droite D a son foyer sur la droite D', et réciproquement,

S"" Soit va, un point quelconque du solide , \ la vitesse de ce point, Qi un plan mené par le point m perpendiculairement à la vitesse v, le plan Qi est le lieu des foyers des plans passant par le point m.

La plupart de ces propositions ont été cnoncëes par M. Chasics, dans un article des Comptes rendus de l'Académie des sciences, année 1845, tome XVI, page 1420. Nous renvoyons à cet article et à notre Théorie géométrique des centres et axes instantanés de rotation, le lecteur qui voudrait poursuivre ces recherches.

* On sait que les vitesses des différents points d'un même plan ont, en généra] , pour lieu de leurs extrémités , un autre plan non parallèle au premier. Gela résulte évidemment du corollaire 2 du théorème VI.