Passons au mouvement simultané de plusieurs points

Étant donnés plusieurs points qui se meuvent simultanément, considérons les vitesses respectives de ces points & un même instant quelconque déterminé, et supposons qu'à partir de cet instant, chacune de ces vitesses demeure invariable. Dans cette hypothèse, chaque vitesse est assjijettie à rester ce qu'elle est, c'estrà-dire à conserver la grandeur et la direction qu'elle affecte à Tinstant dont il s'agit. La conséquence est qu'à partir de ce même instant, le mouvement de chacun des points donnés devient et demeure uniforme*

polygone ou qu'au contraire, il passe d'un côté au côté suivant, la position quMl occupe étant celle du sommet compris entre ces deux côtés.

Sans rien changer au mouvement du point m sur la droite D, imaginons que roû se rapproche indéfiniment de la courbe en augmentant de plus en plus le nombre des côtés du polygone inscrit. Les sommets de ce polygone devenant plus nombreux et se rapprochant indéfiniment les ans des autres, les rotations successives de la droite D autour du point m se succèdent avec une rapidité constamment croissante , et en ne laissant subsister entre elles que des intervalles de plus en plus petits.

Partant de là, on peut conclure, par voie dHnditction, que la substitution de la courbe au polygone inscrit n'a d'autre eflfet que de substituer aux rotations intermittentes et brusques de la droite D autour du point m une rotation incessante et, par conséquent, continue.

De là aussi résultent toutes les conséquences relatives au mouvement d'un point sur une courbe. Pour les déduire, il suffît d'observer ce qui se passe sur le polygone inscrit et de considérer comme s'appliquant à la courbe les propriétés qui subsistent toujours les mêmes, indépendamment du nombre des côtés du polygone inscrit, ou qui tendent de plus en plus à s'établir sur ce polygone , à mesure que le nombre de ses côtés croît indéfiniment.

On démontre aisément que, dans le cas où plusieurs points se meuvent avec uniformité, les longueurs que ces points décrivent simultanément conservent entre elles des rapports invariables. Entend-on d'ailleurs par vitesse double, triple, quadruple, etc., la vitesse qui résulte pour un même point de plusieurs vitesses simultanées, toutes égales et prises au nombre de deux, trois, quatre, etc.? on parvient immédiatement aux déductions suivantes :

i'' Lorsque plusieurs vitesses simultanées animent un même point suivant une même direction, la vitesse résultante est la somme algébrique des vitesses composantes.

2° Dans la comparaison de plusieurs vitesses y chaque vitesse peut être exprimée par une longueur.

3® Les vitesses que l'on compare animant certaints points, les longueurs qui les expriment sont les portions de droite que ces points décriraient simidtanément, si chaque vitesse demeurait constante en grandeur ainsi qu^en direction,

¥ En général , on est libre de fixer comme on veut la portion de droite prisé pour mesure de l'une des vitesses qui ébnt à comparer. Les autres s'en déduisent.

56. £n appliqus^nt les considérations qui précèdent au mouvement simultané de deux points, dont l'un, représenté par ^, décrit une ligne S, et dont l'autre, désigné par p, est la projection du point fi sur un des axes coordonnés , on peut observer que le mouvement du premier point détermine celui du second et réciproquement. Il est visible d'ailleurs qu'à tout mouvement déterminé d'un point correspond, à cbaquc instant, pour ce point, une vitesse également déterminée.

Ces simples remarques ont pour conséquences immédiates les énoncés suivants :

i** Lorsqu'à partir d'un instant quelconque déterminé, on assujettit le point /a à conserver la direction et la grandeur de sa vitesse actuelle, rien n'est changé par là dans la vitesse que le

point p affecte à ce mèine instant. La seule modification cmisiste en ce que les mouvements simultanés du point f£ et de sa projection p deviennent uniformes, *

2** Les vitesses simultanées des points p et /tt sont telles qu'à chaque instant, l'une est la projection de l'autre.

De ]à résultent ensuite toutes les règles relatives à la composition et à la décomposition des vitesses d'un point. Pour établir ces règles, comme déduction directe des énoncés précédents, il suffit de faire observer que si le mouvement d'un point détermine les mouvements simultanés des projections de ce point et réciproquement ^ de même aussi la vitesse d'un point détermine les vitesses simultanées des projections de ce point et réciproquement.

£n résumé , on peut formuler comme il suit la règle générale qui implique toutes les autres :

Règle générale. — Le poiiit m étant animé de n vitesses actuelles et simultanées y représentées respectivement en direction y sens et grandeur par n portions de droites , placées bout à bout les unes après les autres , la vitesse résultante est représentée en dii-ection, se^is et grandeur par la droite qui joint l'origine de la première composante à l'extrémité de la dernière.

Cette règle admet évidemment la réciproque. On en déduit d'ailleurs celle que nous avons désignée sous le nom de règle du quadrilatère des vitesses et dont voici l'énoncé :

Soit V la vitesse actuelle d'un point m.

La vitesse v étant décomposable en une infinité de systèmes distincts, qui comprennent chacun deux cmnposantes, on suppose connues , pour deux de ce^ systèmes, Vune des composantes et la direction de l'autre.

Cela posé, si, pour chacun de ces systèmes, on trace, d partir du point m, la composante conmie, et que, par son extrétnité, on mène une parallèle à l'autre composante , les deux parallèles se coupent en un point n^et la droite mn représente en direction, sens et grandeur la vitesse v du point m.

La règle que nous venons de formuler s'étend d'elle-inéme au cas ou les deux systèmes considérés comprendraient un nombre quelconque de composantes qui écriaient toutes connues , à Vexception d'une seule, celle-ci d'ailleurs étant déterminée, soit en grandeur, soit en direction.

Du mouvement d'une droite.

57. Étant donnés deux points d'une droite, cette droite est complètement déterminée. De là résultent les principes suivants :

1® Lorsque les mouvements simultanés des différents pointsr d'une droite sont déterminés pour deux points de cette droite , ils le sont en même temps pour tous les autres points.

2*» Lorsque les vitesses simultanées des différents points d'une droite sont déterminées pour deux points de cette droite, elles le sont en même temps pour tous les autres points.

3** Tout mode de déplacement, qui communique à deux points d'une droite leurs vitesses actuelles et simultanées remplit en même temps cette même condition par rapport à tous les autres points.

. Soient o et m deux points pris comme on veut sur une droite mobile D.

Supposons , en premier lieu , que le point o soit fixe. Dans cette hypothèse, la droite D tourne autour du point o , et la vitesse du point m est dirigée perpendiculairement à la droite D.

Désignons par v la vitesse du point m à un instant quelconque, et par P le pian que la droite D et la direction de la vitesse v déterminent à ce même instant.

£n tournant autour du point o dans le plan P, la droite D n'im* prime aucune vitesse au point o. Elle peut néanmoins communiquer au point m sa vitesse actuelle v. La conséquence est que les vitesses actuelles et simultanées des différents points de la droite D sont les mêmes que si la rotation s'effectuait uniformément dans le plan P, Concluons que ces vitesses Ont toutes une seule et

Méaffi DiaECTioif pey^endtWai re à la droite mobile. Concluons, en outre, qu'elles sont respectivement proportionnelles aux distances comprises entre les points qu'elles animent et le centre commun de rotation.

Soit r la distance du point m au point o. Quel que soit le point m j le rapport ^ n'affecte jamais, à un même instant quelconque, qu'une seule et même valeur.

L'état de mouvement d'une droite qui sort du lieu qu'elle occupe, en tournant autour d'un de ses points, est dit vitesse angulaire ou vitesse de rotation. Cette vitesse peut être constante ou bien incessamment variable. Dans tous les cas , elle est déterminée à chaque Instant, d'une part et en direction, par le plan P, d'autre part et en grandeur, par le rapport^. En la désignant par «?, on a généralement

S'agit-il d'une droite qui se meut dans l'espace d'une manière quelconque et dont la direction change incessamment? elle a, de même et à chaque instant, une vitesse angulaire complètement déterminée. Cette vitesse est celle d'une droite quelconque , assujettie à passer par im point fixe el à tourner autour de ce point en restant parallèle à la droite donnée.

Supposons, en second lieu, que la droite D soit libre dans l'espace.

Prenons le point o, et, par une translation qui communique à tous les autres points la vitesse du point Oy assujettissons celui-ci à décrire sa propre trajectoire. L'effet de cette translation, si elle subsistait seule, serait de ne rien changer au mouvement du point , et, en même temps, de maintenir constante, pour chaque posi« tion de la droite D, sa direction première. Il suit de là que, pour restituer à la droite mobile son mouvement effectif, il suffit d'une rotation qui se compose avec la translation empruntée au point et qui s'accomplisse autour de ce point comme s'il était fixe.

Considérons d'abord la translation empruntée au point o. Les

Fig. SI.

( 7« ) vitesses qui en résultent sont partout les mêmes à un même instant quelconque. Elles ont donc , en chaque point, mêmes composantes, Tune normale à la droite mobile, Tautre dirigée suivant cette même droite.

Considérons ensuite la rotation autour du point o, supposé fixe dans la position qull occupe à l'instant considéré. Les vitesses qu'elle imprime sont partout normales à la droite D, parallèles entre elles et respectivement proportionnelles aux rayons vecteurs correspondants.

En résumé, soit om la droite D, oo' la vitesse actuelle du point 0, o'm' et mm' deux segments respectivement égaux et parallèles, Tun à om, Fautre à oo*\ La vitesse du point m est la résultante de deux vitesses simultanées, représentées, l'une par mm'^ l'autre par mW, le segment m'm" étant perpendiculaire à la droite oW et aboutissant en m" à une droite déterminée o'm" *.

De là dérivent immédiatement les déductions suivantes :

V Les vitesses simultanées des différents points d'une droite étant décomposées suivant la droite et perpendiculairement à sa direction, les cmnposantes dirigées suivant la droite sont toutes égales et de même sens,

2® Lorsqu'un point d'une droite a sa vitesse dirigée perpendi-

culairement à ladroite , il en est de même de tous les autres points.

3" Les vitesses simultanées des différents points d'une droite

sont toutes parallèles à un même plan. Le lieu de leurs extrémités

est une droite oblique sur la première *.

* Soit n un point quelconque de la droite om. Si Ton prend o'n' s= on, et que par le point n' on mène la droite n'n" parallèle à mW et limitée en n" à la droite oW, le segment nn" représente en direction , sens et grandeur, la vitesse actuelle du point n.

« Le plan, auquel les vitesses simultanées des différents points d'une droite

4" Si l'on transporte en un mém^ point les vitesses similtafiées des différents points d'une droite ^ ces vitesses ont leurs extrémités sur une seule et même droite perpendiculaire à la première *.

5"* Lorsqu'un point d'une droite a sa vitesse dirigée tout entière suivant la droite y les vitesses des autres points sont toutes situées dans un seul et même plan,

6*^ Lorsqu'un point d'une droite a une vitesse nulle, les vitesses des autres points sont parallèles entre elles, perpendiculaires à la droite et respectivement proportionnelles aux distances comprises entre les points qu'elles a^iiment et celui dont la vitesse est nulle.

Du mouvement d'un plan sur lui-nnème et d'une droite dans un plan,

58. Étant donnés deux points d'un plan mobile sur luî-mémc, la position de tous les points du plan est déterminée 2. De là résultent les principes suivants :

1" Lorsque les mouveme^Hs simultanés des différents points d'un plan mobile sur lui-^néme sont déterminés pour deux points de ce plan y ils le sont en même temps pour tous les autres points,

â"" Lorsque les vitesses simultanées des différents points d'un plan mobile sur lui-même sont déterminées pour deux points de ce plan , elles le sont en même temps pour tous les autres points»

Z"* Tout mode de déplacement qui communique à deux points

sont toutes parallèles, est déterminé par deux quelconques de ces vitesses. La figure (21) montre que ce plan est dirigé parallèlement aux droites mm\ m'm". Elle montre en même temps que les vitesses mm'^y nn'\ etc., ont leurs extrémités situées sur la droite o'm".

* Si Ton mène par le point o' une droite (/s parallèle à m'm" et qu^on transporte en o les vitesses mm'\ nn'\ etc., il est visible qu'après ce transport, les extrémités m", n", etc., viennent se ranger en m'", n'", etc., sur la droite o'«, les droites m"m"\ n"n'" étant toutes parallèles à la droite om,

* Dès qu'on se donne une ix)sition du plan mobile et qu'il y a continuité dans les déplacements successifs, la détermination est et reste complète.

d'ïAi plan niobile sur lui-même leurs vitesses actuelles et sitnultanéeSy remplit en même temps cette thème condition par rapport à tous les autres points.

Cela posé^ on a d'abord ce premier corollaire :

4° Si deux points d'un plan qui se meut sur lui-même ont en même temps même vitesse y cette vitesse est commune à tous les autres points. Les vitesses simultanées des différents points sont donc toutes les mêmes ou toutes différentes.

Il est ensuite très-facile d'établir, ainsi qu'on l'a fait aux nu* méros (ii, 12 et 15), les propositions suivantes ^ qui s'appliquent également au mouvement d'un plan sur lui-m^me et à celui d'une droite dans uii plan :

5° Lorsqu'un plan se meut sur lui-même et que tous ses points n'ont pas en même temps même vitesse ^ il est un point du plan dont la vitesse est nulle. On désigne ce point sous le nom de centre INSTANTANÉ DE ROTATION. Les vitcsscs simultanécs des autres points sont les mêmes que si le plan tournait autour de ce centre considéré comme fixe.

6" m, m' étant deux points d'un plan qui se meut sur luimême, et mn, m'n' les segments de droite qui représentent en direction, sens et grandeur, les vitesses actuelles des points m, m', deux cas sont possibles selon qu^ les segments- mn , m'n' sont ou non parallèles. Dans le premier cas, les segments mn, m'n' sont perpendiculaires à la droite mm', et le centre instantané de rotation se trouve à la rencontre de cette droite avec la droite nn'. Dans le second cas, le centre instantané de rotation est déterminé par IHntersection de deux droites élevées perpendiculairement, l'une en m sur mn , l'autre en m' sur m'n'.

7* L'état de mouvement d'un plan qui se meut sur lui-même et dont tous les points n'ont pas même vitesse peut être considéré soit comme se réduisant à une rotation simple autour du centre instantané, soit comme résultant de cette même rotation transportée autour d'un point quelconque du plan mobile et composée

avec une Iranslation précisément égale à la vitesse de ce point. 8* Lorsqu'une droite se meut dans un plan, son mouvement se compose d'un glissement sur elle -même y et d'une rotation autour d'un point choisi, comme on veut, sur la perpendiculaire abaissée du centre instantané de rotation. Quel que soit ce point, la vitesse angulaire reste toujours la même. La vitesse de glisse^ ment est la vitesse effective du point substitué comme centre au centre instantané de rotation.

Du mouvement dans l'espace d'un plan et d'un solide.

39. Étant donnés trois points d'un solide, non situés en ligne droite 9 les points de ce solide sont tous déterminés. De là résultent les principes suivants :

i** Lorsque les mouvements simultanés des différents points d'un solide sont déterminés pour trois points de ce solide non situés en ligtie droite, ils le sont en même temps pour tous les autres points.

^ Lorsque les vitesses simultanées des différents points d'un solide sont déterminées pour trois points de ce solide non situés en ligne droite, elles le sont en même temps pour tous tes autres points.

3*» Tout mode de déplacement qui- comifiunique à trois points d'un solide non situés en ligfie droite leurs vitesses actuelles et simultanées remplit en même temps cette même condition par rapport à tous les autres points.

k^ Lorsque trois points d'un solide ont en inéme temps même vitesse, cette vitesse est commune à tous les autres points.

Soit un point quelconque pris sur un solide qui se meut, ou

lié h ce solide d'une manière invariable.

Supposons, en premier lieu, que le point o soit fixe :

m étant un point pris sur le solide en dehors du point o et i; la

vitesse de ce point» deux cas sont possibles selon que la vitesse t;

est ou n'est pas nulle.

Dans le premier cas, la vitesse v étant nulle, prenons un point quelconque n situé en dehors de la droite om, et tirons les deux droites on, mn. Ces deux droites ayant cbacune un point dont la vitesse est nulle {*), il s'ensuit que la vitesse du point n est perpendiculaire au plan omn , et qu'une rotation commençant autour de la droite om peut communiquer aux trois points o, m, n leurs vitesses actuelles et simultanées. Concluons que cette rotation remplit en même temps cette même condition par rapport à tous les autres points K

Dans le second cas, la vitesse v est perpendiculaire à la droite om (*), et si Ton désigne par P le plan mené par la droite om perpendiculairement à la vitesse v, on peut considérer ce plan comme lie au solide, ou, ce qui revient au même, comme en faisant partie. Cela posé, soit m' un point quelconque pris dans le plan P, en dehors de la droite om, et v' la vitesse de ce point. La vitesse v' est perpendiculaire à la droite om' (*). D'un autre côté, puisque la vitesse v, dirigée suivant la normale au plan P, est perpendiculaire à la droite mm' située dans ce plan, il s'ensuit que la vitesse v' est aussi perpendiculaire à la droite mm' ^. Concluons que la vitesse v' est comme la vitesse v perpendiculaire au plan P. La conséquence est que les vitesses des différents points de la droite om' sont toutes perpendiculaires au plan P, et qu'il existe nécessairement sur cette droite un point n dont la vitesse ne diffère en rien de celle du point m {*),

Par le point o menons une droite D parallèle à la droite mn. 11 est visible que, pour communiquer aux trois points o, m, n

{') Lorsqu'un point d'une droite a une vitesse nulle, les vitesses des auti'es [>oints sont parallèles entre elles , perpendiculaires à la droite et respectivement proportionnelles aux distances comprises entre les points qu'elles animent et celui dont la vitesse est nulle. ( N<* 37. Déduction O».)

^ Les points o et m ayant des vitesses nulles, la même condition subsiste pour tous les points de la droite om. Partant de là , on pourrait en déduire inunédiatement que Tétat de mouvement du solide considéré se réduit à une rotation autour de la droite om.

3 Lorsqu'un point d'une droite a sa vitesse dirigée perpendiculairement à cette droite, il en est de même de tous les autres points. (N® 37. Déduction 2o.)

leurs vitesses actuelles et simultanées, il suffit d une rotation qui commence autour de la droite D avec une vitesse angulaire égale au rapport de la vitesse t? à la distance comprise entre le point o et la droite m«. De là et de ce qui précède résulte la déduction suivante :

5° Lorsqu'un solide tourne autour d'un point fixe y parmi les droites passant par ce point y il en est une dont l'état actuel de mouvement se réduit à zéro. Cette droite est désignée sous le nom d'kXE INSTANTANÉ DE ROTATION. Lcs vitcsscs simultanécs des différents points du solide sont les mêmes que s'il tournait autour de cet axe , considéré comme fixe.

Supposons, en second lieu, que le point o participe au mouvement du solide, et désignons par u sa vitesse actuelle.

Si nous communiquons à tous les points du solide la vitesse u du point O; il est visible que l'état de mouvement de ce solide peut être considéré comme se composant d'une translation représentée par la vitesse u et d'une rotation établie autour du point 0, comme si ce point était fixe.

Soit D la droite suivant laquelle Vaxe instantané de rotation serait dirigé, si la rotation établie autour du point o subsistait seule. La vitesse u du point o peut se décomposer en deux autres , Fune u' dirigée suivant la droite D, l'autre u'' perpendiculaire à cette même droite. Il suit de là que l'état de mouvement du solide se compose comme il suit :

Une rotation autour de la droite D;

Un glissement u' suivant la droite D;

Une translation w" perpendiculaire à la droite D.

Considérons une droite D' parallèle à la droite D, liée au solide et telle que la vitesse communiquée à ses différents points par la rotation établie autour de la droite D soit précisément égale et de sens contraire à la vitesse u". Il est visible que la droite D' existe nécessairement, qu'elle est unique * et que son état de mouvement

^ La droite D' est située dans le plan mené par la droite D perpendiculairement à la direction de la vitesse u". La dislance de la droite D' à la droite D

consiste tout entier en un glissement sur elle-même, ce glissement ayant lieu avec la vitesse ti'. On voit de même qu'en transportant, autour de la droite D', la rotation établie autour de la droite D, on communique aux différents points de celle-ci la vitesse u". La conséquence évidente est que Tétat de mouvement du solide se compose d'une rotation autour de la droite D' et d'un glissement u' suivant cette même droite. De I& résulte la déduction suivante^ déjà formulée n" 20 :

6*^ Lorsqu'un solide se meut et que tous ses points n'ont pas en même temps même vitesse , parmi les droites qu^on peut considérer comme faisant partie de ce êolide, il en est une dont Vétat actuel de mouvement se réduit à un simple glissement sur ellemême. Cette droite est désignée sous le nom d'kx^ instantané GLISSANT. Les vitesses simultanées des différents points du solide sont les mêmes que s'il glissait avec cet axe et qu'en même temps il tournât autour de ce même axe.

Des mouvements angulaires considérés en eux-mêmes et isolément.

id. Nous avons vu (n^ 33, 24, 35) comment les rotations d'un solide autour d'axes quelconques s'expriment par des segments de droites parallèles à ces axes ; comment aussi elles se composent et se décomposent suivant les mêmes lois que les vitesses d'un point représentées par ces mêmes segments. Partant de là, on peut établir directement et sans la .moindre difficulté toutes les propositions développées dans les numéros suivants. Bornons-nous à reproduire sous une autre forme quelques-unes de ces propositions, et considérons, en particulier, les mouvements angulaires, abstraction faite des translations qui se composent aveo eux sana les modifier.

e$t le quotient de la vitesse u" par la vitesse angulaire de la rotation établie autour de la droite D. Deux positions correspondent pour la droite D' aux indications qui précèdent : celle qu'il faut choisir est déterminée p^ le sens de la rotation.

S'agit-il d'un système quelconque de points liés entre eux d'une manière invariable? Toute rotation de ce système autour d'un axe quelconque peut être transportée autour d'un autre axe, pa^ rallèle au premier , et choisi comme on veut. Si , pour effectuer ce transport, sans changer l'état de mouvement du système, il faut introduire une certaine translation, cette translation ne change rien au mouvement angulaire , et Pon peut en faire abstraction , lorsqu'on considère exclusivement celui-ci.

S'agit-il d'un plan ? Dans le cas le plus général , Fétat de mouvement de ce plan se ré^duit à une rotation simple autour de l'axe instantané glissant. Cette rotation est décomposable en deux autres, Tune autour d'^n axe situé dans le plan mobile, Tautre autour d'un axe perpendiculaire à ce même plan. Le glissement qui a lieu suivant l'axe instantané peut se décomposer de la ipéme manière. Il s'ensuit que si l'on combine chacune des deux rotations composantes avec celle des deux composantes dç la vi* tesse de glissement qui lui est perpendiculaire, on a pour résultantes uniques deux rotations simultanées, généralement non concourantes et respectivement établies, l'une autour d'un axe situé dans le plan mobile, l'autre autour d'un axe perpendiculaine à œ même plan* Le premier de ces deux axes n'est autre que It droite désignée {of* 29) sous le nom de caractéristique; le second déter*» mine par sa rencontre avec le plan mobile le point appelé foyer ^

^ On peut, sans rien changer aux positions successives d*im plan qw ae meut dans Fespace, supprimer tout mouvement de ce plan sur lui-même. Cela posé, il est aisé de voir que la considération de la caractéristique et du foyer conduit directement aux déductions suivantes : .

Tout mouvement d'un plan dans l'espace consiste généralement en une rotation autour d'une droite mobile, dite caractériêHque,

La caractéristique se meut dans le plan, et le plan tourne autour de fo caractéristique, tous deux incessamment.

Le Heu des positions successives de la caractéristique est une sorfiiee développable.

Cette surfeoe peut être cylindrique ou ccmique. En général elle est autre , et dès lors elle a pour arête de rebroussement le lieu des points où les foyers se projettent sar les caractéristiques qui leur correspondent respectivemeat.

Le plan qui se meut étant, par hypoUbèse» dépourvu ou dépouillé de fOol

11 est souvent utile de considérer à part et exclusivement la direction affectée dans l'espace par le plan mobile. Le mouvement angulaire qui correspond aux changements de cette direction se réduit à la rotation composante établie autour de la caractéristique. Il suffît donc fle déterminer cette composante et Ton peut faire abstraction de la rotation établie autour de la normale.

S'agit-il d'une droite? Imaginons une autre droite^ assujettie à passer par un point fixe o et à rester parallèle à la droite donnée. L'identité qui subsiste entre les mouvements angulaires simultanés de ces deux droites permet de substituer l'un à l'autre, et réciproquement. Tout se réduit donc au mouvement d'une droite qui tourne autour d'un de sea points supposé fixe. Considérons ce dernier mouvement.

Soit m un point de la droite mobile, autre que le point o^ et t; la vitesse actuelle de ce point. Si nous désignons par Q le plan mené par la droite ont perpendiculairement à la direction de la vitesse v, il est visible que l'état de mouvement de la droite mobile est réductible à une rotation dont l'axe peut être choisi comme on veut parmi toutes les droites tracées dans le plan Q à partir du point *.

S'agit-il en dernier lieu de deux droites mobiles? Considérons un plan P, assujetti à rester parallèle à ces droites et tournant en conséquence autour de sa caractéristique. La rotation propre à chacune des droites mobiles est décomposable en deux autres, l'une autour d'un axe perpendiculaire au plan P, l'autre autour d'un axe situé dans ce même plan. Cela posé, on peut établir très-simplement le théorème énoncé comme il suit (n** 33) :

mouvement sur lui-même , chacun de ses points décrit une trajectoire qui le coupe à angle droit.

Toute droite tracée dans le plan mobile par le point décrivant s'enroule sur le lieu des caractéristiques suivant une développée de la trajectoire de ce point.

Parmi les droites, en nombre infini, qu'on peut ainsi prendre pour axes instantanés de rotation , une seule est exclue : c'est la droite mobile. La vitesse de rotation change avec la droite choisie pour axe instantané : elle est la moindre possible , lorsque cet axe est pris à angle droit sur la droite mobile.

Fig. 22.

Étant donnés un plan P parallèle à deux droites mobiles A, B, etf pour chacune de ces droites, sa rotation composante autour d'un axe situé dans le plan P, si l'on représente par oa , ob , les rotations données^ et par an, bn deux parallèles aux droites A, B, /a rotation de la normale au plan P est représentée en direction y sens et grandeur par la diagonale on du quadrilatère oanb. Cela revient à dire que la droite on est la ^g caractéristique du plan P, et que la rotation de ce plan P autour de cette droite est représentée en sens et grandeur par le segment on.