PRINCIPES FONDAMENTAUX

i. Considérons un point mobile dans l'espace. La direction suivie par ce point peut être constante ou bien incessamment variable. Dans le premier cas, la ligne décrite est droite; dans le second cas, la ligne décrite est courbe.

Désignons sous le nom de directrice la droite suivant laquelle la vitesse du point mobile est dirigée à l'instant que Ton considère. Si la ligne décrite est droite, la directrice est fixe; si h ligne décrite est courbe, la directrice tourne autour du point décrivant.

De là résulte la définition suivante :

La courbe est la trace d'un point qui se meut suivant une direction incessamment variable ,

OU mieux encore :

La courbe est la trace d'un point qui se meut sur une droite mobile, dite directricr, le point glissant sur la droite et la droite tournant autour du point, tous deux incessamment.

En appliquant cette définition à une courbe quelconque, on constate aisément, pour toute position déterminée du point générateur, l'identité de la droite dite directrice et de celle qu'on désigne en général sous le nom de tangente *.

* Donnons-nous un point sur une courbe et représentons-nous toutes les droites qu'on peut mener par ce point.

La tangente étant définie, celle de ces droites dont la courbe s'écarte le moins à partir et dans le voisinage du point donné, on voit tout d'abord qu'elle se confond nécessairement avec la directrice. Veut-on d'ailleurs démontrer à priori cette proposition ? On y parvient aisément de la manière suivante : Soit m un point qui décrit une courbe et D la directrice de ce point. Déterminons d'abord une position quelconque du point décrivant. Soit o cette position prise pour origine de l'arc décrit par le point m et ot la position correspondante afleciée par la directrice à cette origine. Par le point o menons une droite on choisie comme on voudra.

Sans rien changer à ce qui précède, considérons le point m après sa sortie du lieu o. Soit m' la projection orthogonale du point m sur le plan not, et p, q celles du point m' sur les droites ot, on. Il est visible que la distance mp du point m à la droite ot est moindre ou plus grande que la distance mq du point w à la droite on, selon que le segment m'p est lui-même moindre ou plus grand que le segment m'q.

Désignons par v la vitesse du point m sur sa trajectoire, et par

Fig, 23,

les compléments des angles que la directrice D fait avec les droites m'p, m% à l'instant que l'on considère. En décomposant la vitesse v suivant les trois directions rectangulaires mm', m'p, ot, on a, pour composante parallèle à m'p, V sin. «. En décomposant cette même vitesse suivant les trois directions rec-

Cela posé, entrons en matière.

Dans la description d'une courbe par un point, le point décrivant peut être considéré comme glissant sur la directrice en même temps que la directrice tourne autour du point décrivant. La rotation de la directrice autour du point décrivant a pour effet unique de changer incessamment la direction de ce point : elle n'altère en rien sa vitesse considérée comme grandeur, ni Vétendue linéaire décrite en vertu de cette même vitesse. De là résultent les relations suivantes existant entre les longueurs décrites simultanément sur des lignes quelconques et les vitesses correspondantes des points qui décrivent ces longueurs :

i" Lorsque les vitesses des points décrivants passent en même temps par les mêmes degrés de grandeur y les longueurs décrites simultanément sont constamment égales,

2" Lorsque les longueurs décrites simultanément sont constamment égales, les vitesses des points décrivants passent en même temps par les mêmes degrés de grandeur.

3** Lorsqu'on compare entre elles, d'une part, des longueurs décrites simultanément sur des lignes quelconques, d'autre part, les grandeurs des vitesses simultanées des points décrivants , on peut, sans altérer en rien les rapports cherchés, stibstituer à

tangulaires mm', m'q, on , il vient de même, pour composante parallèle à m'g, V. sin. C.

Les composantes v sin. a , v sin. C, sont évidemment les vitesses simultanées avec lesquelles croissent les segments m'p, m'q. En outre , il y a lieu d'observer qu'au sortir du lieu o , on a d'abord et en même temps

« = , C = ang. (not.).

Gela posé, puisque Tangle (X commence par être nul, il .s'ensuit qu'il reste constamment inférieur à l'angle C pour toute l'étendue d'un certain arc cr , compté , à partir du point o, sur la trajectoire du point m. Or, aussi longtemps que Tangle a reste moindre que l'angle ^, la vitesse v sin. a est et demeure plus petite que la vitesse v sin. C. La conséquence évidente est que le segment fîi'p est constamment inférieur au segment m'g pour toute Vétendue de l'arc ff , et qu'il en est de même de la distance mp comparée à la distance mq. De là résulte immédiatement la proposition énoncée plus haut.

chaque ligne effectivement décrite une ligne quelconque choisie arbiirairemefU. Il suffit, pour cela , que , de part et d* autre , dans la première de ces deux lignes et dans celle qu'on lui substitue, les longueurs décrites ou, ce qui revient au mêm£, lès vitesses des points décrivants passent en même temps par les mémês degrés de grandeur.

Ces trois propositions pouvant être considérées comme évidentes, nous nous bornons à les énoncer. *

2. Les principes du n^ i ont pour conséquences immédiates les déductions suivantes :

i* Lorsque les longueurs décrites en même temps par deux points conservent entre elles un rapport invariable, ce ménie rapport existe entre les vitesses simultanées de ces points;

Réciproquement :

^ Lorsque les vitesses simultanées de deux points conservent entre elles un rapport invariable, ce même rapport existe entre les longueurs que ces points décrivent simultanément *.

* Soient m et w' les points décrivants , t? et v' leurs vitesses respectives simultanées, / et i' deux longueurs quelconques décrites simultanteent par ces points et correspondantes aux vitesses v, v'. Il s'agit de démontrer que jsi Ton a toujours

(1) -= constante = c,

il en résulte

(2) -- = constante = c,

et réciproquement.

Partons de Téquation (2) et montrons quelle implique comme conséquence réquation (1), et réciproquement.

Soit une circonférence de cercle ayant son centre en o et on pour rayon. Le point o restant fixe , imaginons que le point n se meuve sur la circonférence on y en même temps et avec la même vitesse que le point m sur la ligne qu'il décrit Sur le rayon on, prenons, à partir du point o , une longueur Gn\ telle que Ton ait

on ^

on' On voit aisément que le point n' du rayon m décrit une circonférence de

3* Soient m, m', m" trois points déerivanls, v, v% v" leurs vitesses respectives simultanées, I, l\ V trois longueurs queleqnr ques décrites simultanément par ces points; si, pendant la description de ces longueur^ on a toujours,

V = v' + r", il en résulte,

l^V ^ r, et réciproqtmnent (i).

cercle concentrique à la première, et qu'il se meut sur cette circonférence en même temps et avec la même vitesse que le point m' sur la ligne quMl décrit, n suit de là qu*on peut remplacer les deux lignes données par deux circonférences de cercle concentriques et décrites simultanément par deux points d'un seul et même rayon. Or, en ce qui concerne ces circonférences, la première relation implique évidenunent la seconde, et réciproquement. Il en est donc de même relatlTcment aux lignes quelconques décrites simultanément par les points m, m*.

' Supposons que Ton ait

et démontrons qu'il en résulte nécessairement

Soit une droite D. Imaginons sur cette droite un point n qui s'y meuve en même temps et avec la même vitesse que le point m' sur la ligne qu'il décrit. Les longueurs décrites simultanément par le point n sur la droite D, et par le point m* sur sa tn^ectoire, sont constamment égales. Imaginons, en outre, que la droite D glisse sur elle-même, dans le même sens que le point n, en même temps et avec la même vitesse que le point m" sur la ligne qu'il décrit. Il y a , dès lors, égalité constante entre deux longueurs quelconques décrites simultanément, l'une par le point m'^ sur sa trajectoire, l'autre par chacun des points de la droite D. Il s'ensuit aussi que les longueurs décrites par le point n dans V espace, sont constanunent égales à la sonune des longueurs décrites simultanément par les points m' et m" sur leurs trajectoires respectives. Eu égard au double mouvement qui l'anime suivant une même direction et dans un même sens , le point n se meut avec une vitesse totale exprimée par la somme i/ + 1/', et par conséquent égale à v. Or, par hypothèse, v est précisément la vitesse du point m sur sa trajectoire. La conséquence est donc que les longueurs décrites simultanément par les points metn sont constamment égales.

Cela posé, / étant, pour le point m, une de ces longueurs, nous savons

Ces trois propositions se démontrent sans la moindre difficulté, les premières, en considérant deux points assujettis à rester sur un même rayon et à décrire en même temps deux circonférences concentriques; la dernière, en supposant le point m! mobile sur une droite et Tobligeant à s'y mouvoir avec la vitesse v\ tandis que la droite glisse sur elle-même avec la vitesse u".

3. Les notions qui précèdent renferment en principe toute la théorie de la rectification des courbes. Elles s'appliquent de même à la quadrature des aires et à la cubature des solides. Plus généralement encore, elles s'étendent à toutes les opérations désignées sous le nom d*intégrations.

Lorsqu'un point décrit une courbe, on peut concevoir un autre point décrivant une droite et supposer que, de part et d'autre, les vitesses des deux points passent, en même temps, par les mêmes degrés de grandeur. La conséquence est que deux longueurs quelconques, décrites simultanément. Tune sur la courbe, l'autre sur la droite, sont toujours égales, et peuvent ainsi se substituer l'une à l'autre. C'est sur ce principe élémentaire que se fonde toute la théorie de la rectification des courbes. En ce qui concerne les quadratures et les cuh^tures , de même que toutes les autres opérations analogues, il suffit d'un simple artifice pour rendre le même principe immédiatement applicable.

Voici quel est cet artifice.

On prend pour équivalent numérique de chacune des grandeurs variables que l'on considère une longueur décrite par un point mobile et composée avec l'unité linéaire comme la grandeur considérée se compose avec son unité propre. Cela fait, tout se réduit à comparer entre elles, d'une part, des longueurs décrites simultanément, d'autre part, les vitesses correspondantes et simultanées des points décrivants.

déjà que Taulreest, pour le point n, la somme des longueurs décrites simultanément par les points m' et m", c'est-à-dire /'-♦-/". On a donc,

La proposition réciproque se démontre delà même manière.

Tant qu'il s*agit des longueurs substituées comme équivalenta numériques aux grandeurs variables que Ton considère et dont on étudie les variations continues simultanées, les vitesses des points qui décrivent ces longueurs sont de simples vitesses, nettement définies et conçues directement sans la moindre difficulté. D un autre côté, l'on peut dire de ces mêmes vitesses qu'elles sont les vitesses d'accroissement des grandeurs considérées. En général, on les désigne sous le nom de différentielles et on les exprime, soit en faisant précéder de la lettre d, soit en surchargeant d'un point le signe représentatif des grandeurs correspondantes; c'est ainsi, par exemple, que si l'on a en vue certaines grandeurs exprimées par les lettres x, y, a, etc., les symboles dx, dy, da, etc., OVLX ^y, à y etc., désignent les vitesses d'accroissement de ces grandeurs, ou, ce qui revient au même, les vitesses des points qui décrivent les longueurs substituées comme équivalents numériques aux grandeurs x, y, a, etc.