Étant donnée la fonction algébrique
on ilemande de déterminer la différentielle y.
Supposons d'abord que l'exposant wi «pU positif et entier, x*^ est, en ce cas, le produit de m facteurs tous égaux à x. De là résulte immédiatement, d'après la règle générale exposée n® 10,
Supposons maintenant que l'exposant m soit positif et fractionnaire. En le représentant par ^» on a
et par suite
ff = x^
De là résulte, en vertu de l'équation (2),
qtf~*y ^ yx'^*.x, et conséquemment
ty == 1. X' . X = mx"'~\ X.
Supposons, en dernier lieu, que l'exposant m soit négatif, entier
( 110 ) ou fractionnaire. £n le désignant par — n,on'd
De là résulte, d'après la règle du n* H et conforméraent à l'équation (2) du présent numéro,
= — nx""''*x = mx"*~^ X,
Concluons que, quel que soit l'exposant m, positif ou négatif, entier ou fractionnaire, commensurable ou incommensurable ^, la fonction algébrique
y =r or a constamment pour différentielle
y = mx"-*. X.
Ce résultat peut s'énoncer comme il suit, sous forme de règle générale:
La différentielle d'une puissance s'obtient en diminuant r exposant d'une unité et en introduisant comme facteurs, d'une part, V exposant primitif y d'autre part, la différentielle de la quantité soumise à l'exposant.
\ 5. Le résultat établi ci-dessus conduit directement et par voie de réciprocité à la déduction suivante :
Étant donnée la relation
(1) y = cx"\-Kà,
oïl c est une constante, il suffit d'observer que le produit cx"~*. x
* La proposition établie pour une valeur quelconque fractionnaire de Texposanl m , s'étend d'elle-même au cas d'une valeur quelconque incommensuraMe.
( dll )
est la différentielle de la fonction c ^ pour en conclure d'une manière générale ^ conformément au principe exposé n* 7,
On observera que 1 équation (i ) ne peut être considërée comme résultant de la diffërentiation d'une fonction algébrique de la formç y=Ax"*, qu'autant que l'exposant m affecte une valeur quelconque positive ou négative. Dans le cas particulier et unique où Ton supposerait Texposantm égal à zéro, la fonction x*" se réduisant à Funîté et cessant, par conséquent, d'être variable, il est visible qu'elle ne peut correspondre à la différentielle c -• De là vient que la formule (2) est alors en défaut et que la différentielle y = c ^ exige une recherche particulière de la fonction dont elle dérive.
Î2" Fonctions logarithmiques.
Première solation.
\ 4. Le problème que nous avons à résoudre d'après ce qui précède et dans l'ordre naturel des déductions, peut s'énoncei* comme il suit :
On conçoit une fonction de la variable x, telle que sa différentielle ait pour expression générale c - , c étant une constante. Partant de là y il s'agit de déterminer quelle est cette fonction.
Soit y la fonction cherchée. On a, par hypothèse,
Considérons en même temps deux valeurs dear^contiaâment çroissiintes ou décroissantes , et liées entre elles de manière à conserver un rapport constant m.
Le$ vitesses siwiuUanées des poinU qui décrivent les longueurs
substituées . connue équivkfêl^ts numériques à ces deux valeurs conservent entre elles le màme rapport constant m. (N'^â^ règle 1.) Il en résulte pour la vitesse y deux valeurs simultanées , constamment égales, puisqu'elles sont exprimées respectivement, la première par
la seconde par
mx X
mx X
La conséquence évidente est qu'un seul et même accroissement de la fonction y correspond à chacun des intervalles déterminés pour la variable x par deux quelconques des termes qui se succèdent immédiatement dans la suite indéfinie
m"^ nr^ m~* 1 m
Désignons par n cet accroissement et faisons correspondre à la valeur x = 1 la valeur y ==: 0. Si nous rangeons sur deux lignes les valeurs de x et de y, en plaçant les unes au-dessus des autres celles qui se corrcs^ondentTOspectiVement , il est visible ^ue nous aurons les deux suites
nr^ nr^ m~^ ï m m* wi'
—ùii — 2?i 7-w n 2n 3m
Concluons. que la fonction y est un logarithme et que Ton a, en conséquence,
(2) y = log. X.
Dans le cas particulier où la constante c est égale à l'unité, lés logarithmes correspondants prennent le nom de logarithmes népériens *. On distingue ces logarithmes en leur affectant pour
< On les désigne aussi sous le nom de logarithmes naturels^ ou bien encore
caractéristique la lettre /, et eu désigaant leur base par la lettre e. De là résulte en général
(3) y sss log X- = cJx,
et conséquemment
(4) c = log e.
On voit ainsi que la constante c est le logarithme de la base e * dans le système exprimé par la caractérisque log.
Deuxième solution.
15. Procédons directement en nous appuyant sur le théorème fondamental exposé n*" 6.
Soit la fonction logarithmique
(^) y = log a:.
a étant une constante quelconque, posons
(2). . z =^ ax,
il vient en substituant
(5) y = log oc := log z — log .a.
De là résulte , en désignant par log'x la fonction dérivée de
de logarithmes hyperboliques , bien qae cette dernière dénomination paraisse également applicable à tous les systèmes.
Nous montrerons plus loin comment on parvient très-simplement à la l'elation générale
e =1 + -^+ — +^^-4-etc.,
. et, par suite, à la valeur
« = 2 -♦• J H- J -f- etc. =s= 2,7182848288459
logx, en appliquant le théorème fondamental du n"* 6, et en ayant égard à Féquation (2) :
(4) . . . y = x log'x = ilog'2 ^ ax log'z ^= axlog'ox.
L'équation (4) donne ^ en général,
(5) alog'ax = log'x,
et, pour x = l,
(6) . . . a log' a = log' i =*= constante =^ c.
Le nombre a étant quelconque, nous pouvons le remplacer par X et écrire, comme conséquence de Téquation (6),
(7) log'x = -. .
Il suit de là qu'étant donnée la fonction logarithmique
(8) *• y = log X,
on a, pour expression générale de la différentielle y,
i6. La considération des logarithmes conduit très -simplement à la différentielle de la fonction x"* *] soit, en effet,
* Cette considération conduit non moins simplement à la diffërentielle d'an produit ou d'un quotient ; soit , par exemple,
On en déduit
(2) Iz =: Ix-^-ly,
et par suite
De là résulte I eo œiiUipliaot» membre à membre^ la première et la dernière
De là résulte, eu prenant les logarithmes népériens des deux membres^
ly = mlx, et par suite
Il vient donc immédiatement
{2), . . . , . y z^ my -^ =^ wi.x"'~*. ;r.
Si les variables Xy y étaient toutes deux négatives, ou que la variable x le fût seule, on pourrait changer leur signe sans altérer en rien l'équation (I). Le résultat obtenu est donc tout à fait général, bien qu'établi dans Thypothèse où x et t/ seraient tous deux positifs.
3° Fonctions exponentielles,
i 7. Soit la fonction exponentielle
En prenant les logarithmes népériens des deux membres de l'équation (1), on a
(2) ly =^ x.la.
De là résulte, conformément à ce qui précède,
(3) — = xla,
de ces trois équations ,
Z =z yx -¥- Xy.
On voit ainsi comment il suffît de recourir au théorème fondamental du no 6, pour en déduire^ en quelques lignes, toutes les diflGérentielles obtenues successivement dans ce qui précède.
( Mfi ) 11 vient donc, en général,
(4) y =: yxla = a'.xla,
el, pour le cas particulier où la base a serait égale au nombre c, base du système des logarithmes népériens :
i8. Les résultats obtenus pour les différentielles des logarithmes et des exponentielles conduisent, directement et par voie de réciprocité , aux déductions suivantes :
l"* Étant donnée la relation
où c est une constante, il suffit d'observer que l'expression c ~ est la différentielle de la fonction c Ix, pour en conclure d'une manière générale :
Ay = c^lx,
* La fouction e* étant supposée développable eu série convergeute , on jxîut écrire
e* = 1 -+- \x -¥■ Agic' -+* Aga?^ -*- etc.
De là résulte , en différenciant et supprimant le facteur i ,
e« = A, -♦- 2A,a; -♦- SA^r" -+- 4t\^x^ -+- elc. Les deux valeurs, ainsi trouvées pour e*, donnent l'identité 1 -4- AjiP -4- A jO;' -f- Ajo;' + etc. = A, -4- 2Aj,a? -4- ^A^x* -4- ÀA^x^ -4- elc. On déduit de là
A, = 1,A.= — , A, = jj^, A, = — -etc..
et par suite
e.=l+^+^V^-t-elc.
(HT) 2^ Étant donnée la relation
y = ca'.ôt,
où c et a sont des constantes , il suffit d'observer que le produit cax.ût est la différentielle de la fonction ^ a' pour en conclure^ comme tout à l'heure,
.y = - sa'.
4° Fonctions circulaires, directes et inverses.
i9. Les fonctions élémentaires qui nous restent à considérer sont les fonctions circulaires directes et inverses. Commençons par les fonctions directes, et soit, d'abord ,
y=sm.x.
Sur la circonférence d'un cercle ayant l'unité pour rayon, et son centre en o, prenons Tare am^=^x. Menons les rayons oa, ont. Par le point m abaissons sur oa la perpendiculaire mp = sin. x> et tirons la tangente mt.
L'arc X engendré par le point m, étant supposé croissant, prenons mt pour représenter, en direction , sens et grandeur, la vitesse totale x qui anime le point m au sortir de sa position actuelle.
Si du point t nous abaissons sur le prolongement de pm la perpendiculaire f6, mh sera la composante de la vitesse x dirigée suivant ce prolongement. Or, cette composante n'est autre chose que la vitesse ij : il vient donc
et, comme on a déjà
y == mby X = mty
il en résulte immédiatement
mb . , y = — X = X. cos X.
^ mt
