AX X

* On peut placer les points P et Q sur une même perpendiculaire aux droites PX , QY. Nous n'avons pas supposé qu'il en fut ainsi. Néanmoins, il est aisé de voir que Téquation générale du n» 6 peut, dans tous les cas, s'écrire de la manière suivante :

y qn an . . Q6 j/o

- = — = — ; on a donc ici — - =s t- • X pm am Po Xo

Cette ëquation n'étant autre que Tëquation finale du numéro précédent y il est aisé de voir qu'elleji^plique^ en ee.qui concerne la recherche des fonctions dérivées par la méthode des limites , le principe et le mode d'application que nous avons exposés cidessus.

Règle générale de la differentiation d'un produit.

(iV. B. La démoDstraUon qui suit peut être remplace par celle du n» 58, dont elle se déduit immédiatement.)

10. Étant donnée la fonction z égale au produit des deux variables or, y et déterminée par la relation

on demande l'expression de la différentielle i.

Fig. 26.

Soient oA, oB deux droites menées par le point 0. Sur la droite oB prenons deux longueurs om, ony toujours comptées à partir du point et substituées comme équivalents numériques 5 la longueur om à la grandeur x, la longueur on à la grandeur y. Sur la droite oA prenons oa égal à Tunité. Tirons la droite am et par le point n menons la droite nr, de manière que l'angle orn soit et demeure constamment égal à Tangle ama.

Les grandeurs x, y étant, par hypothèse^ incessamment variables, il s'ensuit que les points m et n glissent simultanément sur là droite oB et qu'en conséquence, les droites àm, nr se trouvent respectivement assujetties , la première à tourner autour du point a en passant constamment par le point m, la seconde à glisaer le long de la droite oB avec le point n et à tourner en même temps autour de ce point de manière k ce que l'égalité des angles variables orna , orn ne cesse jamais d'avoir lieu.

£q désignant par z la longueur or, on voit aidément que les triangles oam, onr, toujours semblables , fournissent la relation constante

z = xy.

Gela posé, il s'agit de déterminer la vitesse z avec laquelle le point r glisse sur la droite oA , tandis que les points m et n glissent en même temps sur la droite oB y le premier avec la vitesse quelconque x, le second avec la vitesse également quelconque y.

Soit mm' une longueur prise à partir du point m, sur la droite oB et égale à x. Par les points m' et m menons deux droites, Tune m'm'\ parallèle à ma, l'autre mm"y normale à la première.

En désignant par &) la vitesse angulaire que la vitesse x du point m communique à la droite am , dans la rotation de cette droite autour du pointa^ et par C Tangle orna y il vient

,-. mm" X sin S

am, am

Par hypothèse, la droite nr tourne autour du point n avec la vitesse w, et, en même temps , elle est entraînée par le point n qui glisse sur la droite oB avec la vitesse y. De là résultent pour la droite nr deux mouvements sumultanés, mais distincts et susceptibles d'être considérés séparément, Tun de rotation, l'autre de translation, tous deux d'ailleurs complètement définis.

Représentons par z, la vitesse que la rotation de la droite nr autour du point n communique au point r sur la droite oA. L'angle orn étant égal à l'angle ona et, par conséquent, à C, supposons la longueur rr\ prise sur oA , égale à z, et par les points r', r menons deux droites, l'une rV", parallèle à rn, l'autre rr'\ normale à la première. Le triangle rrW semblable au triangle mm'm" donne, comme tout à l'heure.

... rr^ «, sin C

nr nr

La combinaison des équations (2) et (5) fournit pour i« la valeur suivante :

,,. . nr . on ,

(4) . . . . z, = — a: = — X sssi yx.

am oa

Représentons par Zy la vitesse que la translation de la droite nr communique au point r sur la droite oA. Cette translation résultant de la vitesse y avec laquelle le point n de la droite nr glisse sur la droite oB , on a évidemment

/vv ^^ • om ,

on oa

Ajoutant les expressions (4) et (5) des deux composantes de la vitesse cherchée i, on trouve immédiatement

(6) . . . . i = 4 -♦- iy = t/i ^- xy.

Ce résultat s'étend de lui-même au produit d'un nombre quelconque de facteurs. On peut l'énoncer comme il suit :

La différentielle d'un produit est la somme des différentielles qu'on obtient en opérant successivement sur chacun des facteurs variables comme s'il variait seul, les autres étant constants.

Dans le cas particulier de deux facteurs dont le produit est constant, on a

z = 0, et par suite

Ce résultat peut s'énoncer de la manière suivante :

Lorsque deux grandeurs continûment variables ont un produit constant y leur rapport, changé de signe, devient celui de leurs différentielles.

Règle générale de la différentiation d'un quotient. : H. En appliquant les déductions qui précèdent à la relation

on peut écrire immédiatement, comme coméquences des équations (1) et (6) du nMO,

ta\ ^ s . ^^ — ^ (2) . . . . y = - (z -. yx) = — ^

* De là résulte la règle générale énoncée comme il suit :

La différentielle d'un quotient s'obtient en soustrayant du produit du dénominateur par la différentielle du numérateur le produit du numérateur par la différentielle du dénominateur et en divisant le tout par le carré du dénominateur.

Dans le cas particulier où le numérateur du quotient donné est constant, la règle prend cet antre énoncé :

La différentielle du quotient d'une constante divisée par une variable s'obtient en formant le produit du numérateur par la différentielle du dénœninateur, changeant ce produit de signe et le divisant par le carré du dénominateur.

Les règles établies dans ce numéro et dans celui qui précède sont d'un fréquent usage. Il importe de se familiariser avec elles, et plus généralement de s'exercer k la différentiation , comme on s'exerce au calcul en arithmétique et en algèbre, par des applications multipliées.