AO
On déduit de là, en soustrayant membre à membre Téquation (1) de Té*
On voit^iiiiisi que, dans le cas de deux dérivations faites suecessivement par rapport à deux variables, le résultat définitif est indépendant de Tordre suivi dans ces dérivations. Cette coûscquenee s'étend dVlIe-mênie à un nombre quelconque de dérivations successives faites sur une même fonction de n variables. De là, le principe général énoncé comme il suit :
Quel que soit l ordre dans lequel on effectue plusieurs dérivations successives y si l'ordre seul change et que toutes choses SOIENT ÉGALES d'ailleurs , le résultat définitif reste toujours le même.
quatioD (2) et divisaut par mj
lim
^ rz'{x,y-\-^y)--f^'{x,y)
Cela posé, puisque, par hypothèse, les quantités ûa? et Ay convergent eu même temps vers zéix), réquation (3) devient (4) lim A'^-^-^^>y-<"A?/) — A^,?/-*-^^)-^^?-^^^;,^)-»-^^?,?/) , ^^
ùiX, &y ',y ' '
Le premier membre de réquation (4) resterait évidemment le même, si Ton répétait les oj[)érations précédentes en opérant sur y, comme on l'a fait sur X et réciproquement.
De là résulte immédiatement :
r>) f:,y{^.u) = flA^^y)' CQ.F.D.
Parlant de ce résultat et procédant directement sur la surface représentée par réquation
on a d'abord comme au n» 3o,
'^y= ùriy('^,y)' cos^a, 4 = i/y,,(^,i/)cus2 S, et ensuite, eu égard à réquation (d), de la présente note
yCr x.ûiy
cos^ s cos* a
De là se déduit, comme conséquence immédiate, le théorème des tangentes réciproques établi ci-ilcisus n» 33.
Les conventions adoptées pour reppëscntcr les dérivées successives et partielles d'une fonction à plusieurs variables , sont les suivantes :
Soit
^ = f{^7yy^^ )
une fonction des variables x, y; u, etc. On écrit
et, généralement,
le nombre des dérivations étant toujours marqué par Tindice supérieur, et leur ordre successif, ainsi que les variables auxquelles elles se rapportent, par les signes inférieurs.
3" Des différentielles totales et partielles de tous les ordres,
36. Soient n variables liées entre elles par p relations : la différence n — p exprime le nombre des variables dont on peut disposer arbitrairement, soit en les faisant croître ou décroître avec uniformité , soit en établissant entre elles des relations quelconques exprimées ou sous-entenducs. Les variables dont on dispose , et qu'on assujettit à croître ou décroître d'une manière uniforme, sont dites indépendantes; leurs différentielles du premier ordre sont des constantes, et, par suite, leurs différentielles des ordres supérieurs sont toutes égales à zéro.
Dans tous les cas , lors même qu'il y aurait autant d'équations simultanées que de variables moins une, on peut toujours introduire par la pensée une nouvelle variable, pmepowr t;ana6/e indé])endante , et, afin que toutes les autres en deviennent fonction, concevoir au besoin une ou plusieurs relations arbitraires, que Ton ne détermine point aussi longtemps qu'on le juge convenable, et dont pourtant il est toujours permis de disposer. Ce
simple artifice est souvent d'un grand seeours^ soit pour faciliter les déductions , soit pour les éclairer davantage.
En se reportant au n"* 27, il est aisé de voir que la différentielle d'une fonction h plusieurs variables est la somme des différentielles que Ton obtient en opérant tour à tour sur chaque variable, comme si elle variait seule, tandis que toutes les autres sont supposées constantes. Chacune des différentielles que Ton obtient successivement est dite différentielle partielle : leur somme est la différentielle totale de la fonction considérée.
Cela posé, montrons, par un exemple, comment on procède en général.
Soit une fonction h deux variables,
On a d abord (I) . . i«=i, -♦- iy«=x/*/(x, y) ^- y/;'(a;,y), ou , ce qui revient au même, sous une autre forme,
II vient, en second lieu ,
(3). .S ^=*'ri^(^»y)-*-2xy/:.,(a;,y) + i/'^(x,y)
( + xf.(x,y) -*-yf'y[x,y), ou, ce qui revient au même, la fonné seule étant changée,
* Tl importe de ne point perdre de Tue que les expressions fractionnaires pont de purs symboles et non pas des quotients»
Et ainsi de suite , indëfîniment , les résultats obtenus pouvant s'appliquer à tous les cas possibles.
S'agit-il d'une fonction implicite
f{x, y) = cons".
Pour passer du cas général k celui dont il s'agit actuellement, il suffît de poser
z «BB cons**,
et, par suite, de réduire à zéro les différentielles successives dzy (jPz, dHy etc.
Considérons en particulier le cas où les variables Xy y étant ùidépendantes , on les assujettit à croître ou k décroître uniformément. Il vient alors
(5) . . . X = dx = cons*", y = dy = cons*%
et^ par conséquent, pour toute valeur de n supérieure à Tunité,
(6) d'*x = , d^y asss o.
Les formules (i) 9 (3), etc., deviennent, en conséquence,
i = i, -♦- iy
Les formules équivalentes (2), (4), etc., deviennent en même
* Le symbole ^»,y exprime le résultat de deux différentlations opérées successivement, la première en considérant y comme constant, la seconde en considérant comme constantes les deux quantités x et x.
( is2 )
temps,
* = (I) - - (|) "' *-(s.)'"'-'(s^)'"'-'(sS-)""'»*
On observera que riiypolhèse où nous venons de nous placer est restrictive. Ainsi, par exemple, s'il s'agit d'une surface ayant pour équation
par cela seul qu'on suppose les deux vitesses x et y constantes, il en résulte que le rapport des accroissements simultanés aoc et ^y est lui-même constant, et, par suite, que la variable y devient une fonction linéaire de la variable x. La conséquence est que les valeurs, exprimées ci-dessus pour les différentielles des ordres supérieurs, s'appliquent exclusivement aux sections planes faites dans la surface parallèlement à l'axe des z.
11 est visible que les déductions précédentes s'étendent d'ellesmêmes à un nombre quelconque de variables liées entre elles par une ou plusieurs équations. 11 s'ensuit qu'on peut dès à présent effectuer la différcntiation d'une fonction quelconque, et c'est, dans la simple application des règles exposées ci-dessus que se résout tout entier le calcul différentiel proprement dit.
