EXTENSION DES RÈGLES PRÉCÉDENTES AUX FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

NB. — Au lieu de procéder comme il suit , il est beaucoup plus simple de passer les n»^ 33 , 34 , 33 et d'intercaler à leur place le n» 59.

i^ Théorème des tangentes réciproques *.

33. Soit une surface A, un point de cette surface, P le plan tangent en ce points OZ la normale, OX, OY, OL trois droites menées par le point et situées dans le plan P. (Voir fig. 29, n"» 28, page i 29.)

Prenons les droites OX, OY, OZ pour axes coordonnés, et considérant les sections faites dans la surface A par les plans ZOX, ZOY, ZOL, désignons-les respectivement la i'* par N;^, la 2"« par Ny, la 3"»« par N,.

Soient m^, my, nii trois points qui partent en même temps du point et qui décrivent simultanément, le i'' la section N«, le 2"'» la section Ny, le 3"* la section N,.

Le mouvement de ces trois points pouvant être quelconque, supposons-le réglé d'après les conditions suivantes :

i® Les vitesses des points m,, m^ ont même composante x suivant Taxe des x.

2^ Les vitesses des points my, nii ont même composante y suivant Taxe des y.

Concevons trois droites mobiles T,, Ty, T^ assujetties à rester

^ On peut supprimer les numéros 33, 34 et 35, en les remplaçant tous trois par le n« 39. La marche devient ainsi plus rapide et plus simple. Elle oflfre, en outre, Tavantage de ne point exiger d'autres ressources que celles qui s'empruntent à la géoméirie plane.

parallèles au plan ZOX, et à toucheria surface A, la droite T« en m,, la droite Ty en m^, la droite T, en nii.

ûc étant Tangle qu'une droite quelconque T, tangente à la surface A et parallèle au plan ZOX, fait avec Taxe des x^ on a généralement

De là résulte, conformément aux déductions des n"* 27 et 28, (2) à = à/+ 6i,\

Appliquée au point 0, Féquation (2) exprime qu'à l'origine commune du déplacement simultané des trois points m,, m, , m^ , la vitesse angulaire de la tangente T| est égale à la somme des ^vitesses angulaires des tangentes T, et Ty. Il s'ensuit que la séparation des points m,, nii s'eflFectue, au sortir du lieu 0, comme s'ils se mouvaient simultanément avec la vitesse commune x sur deux droites distinctes, et qu'en même temps ces deux droites, d'abord confondues en OX, s'écartassent Tune de l'autre avec la vitesse y et tournassent parallèlement au plan ZOX, Tune autour du point m^ avec la vitesse a^» l'autre autour du point Mi avec la vitesse à^ -♦- 4:^,

Désignons par U une droite assujettie à toucher en m^ la sui^ face A et à rester parallèle au plan ZOY,

De même qu'en se séparant du point le point m^ détermine la direction première de la tangente U, de même en s'écartant l'un de l'autre au sortir du lieu 0, les points w^, m^ déterminent la vitesse angulaire de cette même tangente, à Torigine de son déplacement* Il est évident que cette vitesse angulaire ne peut dépendre en aucune façon de la rotation à^ commune aux deux droites T, et T,. Concluons qu'elle résulte exclusivement du mou-

* Cette équation peut s'établir directement à priori par un procédé analogue à celui dont nous avons fait usage pour démontrer la propriété fondamentale du plan tangent. 11 est plus simple de la déduire, comme on Ta fôU

au n" 28, du théorème général fondé sur cette même propriété.

Fig. 33.

vement relatif de ces deux droites, c'est-à-dire de la translation y

de la droite T| et de la rotation ôy avec laquelle la droite T{ s'ëcarte

angulairement de la droite T..

Gela posé, considérons une droite dirigée d'abord suivant OX, et sortant de cette position par un double mouvement de translation et de rotation, la translation s'effectuant suivant Taxe des y avec la vitesse y et la rotation autour du point m, avec la vitesse ây.

Soit n un point de cette droite pris à la distance x du point et C Tangle anp que fait avec Taxe des y la direction suivie par le point n à Torigine du déplacement de la droite mobile. Les composantes de la vitesse du point n étant

rectangulaires et représentées respectivement Tune par an = y,

Taulre par ap ^=s^ x ây, on a éviderument

tang C

Soit D la droite déterminée par cette direction. Lorsque le point n est considéré comme se déplaçant sur la droite OX par rapport au point 0^ ou , ce qui revient au méme^ lorsque le point est considéré comme se déplaçant sur la droite OX par rapport au point n, la droite D tourne avec une vitesse angulaire è, qu'il est facile de déterminer au moyen de Téquation (3). Il suffit pour cela d'opérer sur celte équation en y considérant les deux vitesses y et ày comme constantes et les grandeurs x et tf comme variables. De là résulte, conformément à la règle (2) du n° 2i ,

* On peut parvenir à cette équation , soit comme nous Undiquons ici , soit (directement et par voie purement géométrique.

Supposons que le point n coïncide avec le point et qu'il sortie de cette position en glissant suivant OX avec la vitesse x : Tangle C étant nul, l'équation (4) devient

(S) y^, = xà,.

Mais alors, de même que le point n se confond avec le point m, et la droite D avec la tangente U , de même aussi la vitesse angulaire àg est celle de cette même tangente à Torigine de son déplacement.

Prenons la droite OL (fig. â9) de manière qu'elle divise en deux parties égales Tangle XOY. Il vient en ce cas x sss tjr, et l'équation (5) donne en conséquence

Traduite en langage ordinaire, l'équation (6) exprime une propriété curieuse qui comporte de nombreuses applications et qu'on peut énoncer comme il suit :

Soit P un plan tangent en à une surface Â; OX, OY les traces sur le plan P de deux sections normales N., N,. Nous désignons sous le nom de tangentes réciproques deux tangentes conjuguées entre elles et respectivement assujetties, l'une à rester parallèle au plan de la section N. tandis que son point de contact glisse sur la section N,, l'autre à rester parallèle au plan de la section Ny tandis que son point de contact glisse sur la section N«.

Gela posé, voici l'énoncé dont il s'agit :

Lorsque deux tangentes réciproques sortent en même temps et avec une égale vitesse des sections normales qui les déterminent, leurs rotations autour des directions qu'elles suivent respectivement sont égales et de signe contraire *.

* Lorsqa'un solide touroe autour d'un axe, on représente sa vitesse de rotation par ane portion de Taxe égale en longueur à la grandeur de cette même vitesse. Ou tient compte du sens en fixant sur un point quelconque de l'axe Torigine de la longueur prise pour mesure de la vitesse et portant cette longueur du côté oii la rotation s'effectue de gauche à droite pour un observateur placé le long de Taxe, les pieds à ï origine.

On observera que Tégatité des vitesses angulaires à, , fy implique celle des

54. Le théorème que nous venons d'énoncer peut s'établir à priori de plusieurs façons différentes. Bornons-nous à ^i donner ici une seconde démonstration *.

Sans rien changer à ce qui précède , supposons Taxe OX déterminé de manière à coïncider avec la caractéristique du plan P, cette caractéristique étant prise dans Thypothèse où le plan P se déplace en touchant la surface  le long de la section N, **. A , Torigine de son déplacement, la tangente Ty est animée de deux mouvements simultanés, l'un de translation s'effectuant avec la vilcsse y, l'autre de rotation autour de la caractéristique OX. Ces deux mouvements n'altérant en rien la direction de la tangente Ty, il s'ensuit que Ton a nécessairement

De là résulte la conséquence suivante :

La séparation des points m,, mi s'effectue, au sortir du lieu 0, comme s'ils se mouvaient simultanément, avec la vitesse commune X sur deux droites distinctes , et qu'en même temps ces . deux droites, d'abord confondues en OX, s'écartasseiit l'une de l'autre avec la vitesse y et tournassent parallèlemeiit au plan ZOX , Tune autour du point m^, l'autre autour du point m^, toutes deux d'ailleurs avec une seule et mémo vitesse à,.

rotations introduites au lieu de ces vitesses dans l'énoncé donné comme traduction de réquation (6). Pour le voir, il sulfit de faire les remarques sui^^ntes :

1» La vitesse ây résulte d'une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan ZOX. Elle équivaut, en ce qui concerne la tangente Ty, à la rotation ' «y : sin XOY autour de l'axe OY ;

2« La vitesse Ce résuke d'une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan ZOY. Elle équivaut , en ce qui concerne la tangente U , à la rotation èz : sin XOY autour de l'axe OX.

Il est clair, en effet, que l'égalité des vitesses angulaires ày et 4 implique celle des rotations équivalentes «y : sin XOY, 4- sin XOY.

* Nous renvoyons aux applications géométriques pour d'autres démonstrations , moins directes peut-être, mais plus rapides et plus simples.

" Ou sait que ce déplacement comimence par rotation autoui* d'une droite passant par le point et située dans le plan P. C'est cette droite qu'on désigne sous le nom de caractéristique.

L'identité, qui 8*ëtab)it ainsi de part et d'autre, montre ëvidemroent qu'à Torigine du déplacement de la tangente U, la vitesse angulaire de cette tangente est égale & zéro. On a donc, comme conséquence deTéqualion (1):

(2) ff, = 0.

Plaçons -nous dans Thypothése où le plan P se déplace en touchant la surface A le long de la section N^, et cherchons ce que devient alors sa caractéristique. Pour reconnaître qu'elle coïncide avec Taxe OY, il suffit d'observer qu'en ce cas l'équation (2) subsiste nécessairement, tandis que pour toute autre position cette même équation deviendrait impossible ^ Concluons que l'équation (2) subsistant comme conséquence de Téquation (1), il y a de part et d'autre réciprocité complète, c'est-à-dire que si , d une part, l'axe OX est la caractéristique du plan P pour un déplacement du point de contact dirigé suivant l'axe OY, réciproquement l'axe OY est la caractéristique du plan P pour un déplacement du point de contact dirigé suivant l'axe OX. Liées entre elles d'après ces conditions les deux caractéristiques OX , OY prennent le nom de caractéristiques conjuguées.

Gela posé^ considérons les tangentes réciproques déterminées par les sections normales N«^ Nj fig. 34. L'une est parallèle au plan N^ et son point de contact glisse suivant N^^* L'autre est parallèle au plan N^ et son point de contact glisse suivant N^.

S'agit-il d'abord de la première? à l'origine de son déplacement , elle a même mouvement angulaire que l'intersection du plan N, avec le plan P supposé mobile le long de la section Nx et tournant, en conséquence 9 autour de la caractéristique oY.

Soit m^ le point de contact supposé mobile suivant la section Njp et i; la vitesse de ce point au sortir du lieu o. Si nous représentons par w la rotation de la directrice du point m^ pour une

* Si la caractéristique da plan P n*était point dirigée suivant Taxe OY, la rotation qui commence autour de cette caractéristique équivaudrait à deux rotations simultanées, Tune autour de Taxe OY, l'autre autour d'une perpendiculaire à cet axe. La conséquence évidente est que Téquation (2) ne subsisterait pas.

( 143) Vitesse de ce point égale à l'unité, il s'ensuit que la rotation cor-

Fig. 34.

respondante à la vitesse v a pour expression le produit v. w. Élevons en o une perpendiculaire à la droite oX, et sur cette perpendiculaire 9 située dans le plan P, prenons la longueur oa égale au produit v. u\ Si par le point a nous menons une parallèle koX, il est visible que la longueur ob, interceptée sur oY par cette parallèle, représente la rotation du plan P autour de la caractéristique oY. Par le point 6 menons une parallèle à oL et désignons par e le point où cette parallèle vient couper Taxe oX. Le segment oe représente la rotation de la première tangente réciproque autour de la direction suivie par son point de contact.

S'agit- il, en second lieu, de la tangente réciproque qui reste parallèle au plan N, et dont le point de contact glisse suivant N|? En désignant par à la vitesse angulaire qui anime cette droite à l'origine de son déplacement, on a, conformément aux déductions des numéros 27 et 28 ,

D'un autre coté, nous venons de voir que la vitesse angulaire ày se réduit ici à zéro. On a donc simplement

Par le point c^ ou le prolongement de la droite ba vient couper la droite oL, menons la droite en parallèle à l'axe oY, et désignons par n le point d'intersection de cette parallèle avec l'axe oX.

Si le point de contact supposé mobile sur N^ sortait du lieu o avec la vitesse oo, la rotation â^ autour de l'axe oa serait représentée par le produit on. w. 11 s'ensuit que, pour une vitesse de

ce point prise égale à v, comme dans le premier cas, il vient immédiatement

V on

= on. w — = — « oc oc

oa.

Prenons sur oa la longueur oa', égale k^.oa, et achevons le triangle oa'c\ semblable au triangle oac.

La rotation oa' se décompose en deux autres, Tune oc' ayant pour axe la direction suivie , Fautre représentée par c'a', et ayant pour axe la droite oX. Celle-ci n'influe en rien sur la vitesse angulaire à, : on peut donc en faire abstraction et considérer exclusivement la rotation composante oc\ On a d'ailleurs

, oc on oc ,

oc = oa. — = oa. — • — == on s=sr oc == oe.

oa oc oa

On voit ainsi que les deux rotations considérées sont égales et de sens contraire, conformément à l'énoncé du numéro précédent i.

* Montrons, par anticipation, un exemple des ressources qu'offi-e notre méthode pour résoudre les questions de géométrie transcendante.

Reprenons les données du n« 33, en supposant, comme au n« 34, que les droites o\, oY soient deux caractéristiques conjuguées.

La droite Ti, entraînée par le point mi, tourne autoui* de Taxe oY avec une vitesse facile à déterminer, en se reportant aux déductions du n» 34, et représentée comme il sait

R sin If

R étant , |)our le point o , le rayon de conrbure de la section N. et y Tangle que fout entre elles les deux caractéristiques oX, oY.

Substituons les x aux y et récipi*oquement.

La droite T| est remplacée par une droite Ui tangente en m/ à la surface A et [>arallèle au plan Ny. il s'ensuit d'ailleui's que la droite Vt

2" Des dérivées successives d'une fonction de plusieurs variables»

55. Soit f(x, y) une fonction à deux variables; x^, y^ deux valeurs quelconques délerminëes de ces variables ; a, b les valeurs

tourne autour de Taxe oX avec une vitesse représentée par

R' étant, pour le point o, le rayon de courbure de la section N^.

Prenons, à partir du point o sur les droites oX, oY, deux longueurs op, oq Tune op égale au quotient ^r^. — , l'autre oq égale au quotient ^> f •

SI nous achevons le parallélogramme optq, la diagonale ot représente en direction , sens et grandeur la rotation du plan P supposé mobile avec le point mi et tangent en ce point à la surface A.

Désignons par r, y'' les angles que la direction oL fait avec les axes oX, o\\ Les i)erpendiculaires abaissées sur oL des points p et g sont représentées respectivement , la première par

pp' = op sui y = rrr-: ,

^^ '^ R' sm ij

la deuxième par

X siu y'

On voit d'ailleurs aisément que la vitesse angulaire de la directrice du l>oint mi sur la ligue Nt est représentée par la somme de ces deux perpendiculaires.

Soit p (pour Je point o) le rayon de courbure de la section N/; v =<hî la vitesse du point m^ , au sortir du lieu o (lig. 54); tv la vitesse angulaire de la directrice du point mi. On a d'abord

1 tv 1 /y siu r as siny'\

^ ^ p V oc \R' sin 1^ R sin jy / '

et, en même temps (voirfig. 5i, i>age 143)

i* sin if y siu m

(â) oc = -: r = — :

^ ' sm y' sui y

De là résulte, eu substiluaut,

sin* if sin* y' sin* y <3) — R~'*""R^'

L'équation (3) esl réqualioii polaire d'une ellipse ayaul son centre eu o et

correspondantes des dérivées partielles fj{xy y), f^ (x, y). Nous avons , par hypothèse,

Posons

(i) ^ ^ f[x,y) — ax-by,

et considérons la surface A, représentée par l'équation (1), dans un système quelconque où Taxe des z soit perpendiculaire à ceux des X et des y.

m étant un point pris, comme on veut, sur la surface A, soient P et Q les deux sections planes qui se coupent en m et qui sont respectivement parallèles, Tune P au plan des zx^ Tautre Q au plan des zy. Si Ton désigne par a l'angle qu'une tangente à une section quelconque parallèle au plan des zx fait avec l'axo des x, on a généralement.

De là résulte pour la vitesse angulaire d^ avec laquelle cette tangente tourne, lorsque son point de contact est en m sur la section P et qu'il se déplace suivant la section Q,

(3) «y*==yr»,y(«, y).cos.*« *.

Soit € l'angle qu'une tangente à une section plane parallèle au plan des zy fait avec Taxe des y, ona^ de même,

W • tg. C=/;(x, y) - 6,

pour rayon vecteur v = l/p. La considéralion de cette ellipse, conoue sous le nom d'indicatrice, et dont les droites oX, oY sont des diamètres conjugués, montre qu'en général, les caractéristiques conjuguées se confondent avec ces diamètres, et que les rayons de courbure des sections normales sont représentés par les carrés des rayons Tccteurs correspondants. Nous reviendrons plus loin sur ces détails qu'il suffît ici d'indiquer.

* On voit aisément comment les équations (2) , (3), (4), (5) se déduisent de ce qui précède et, aussi, comment on peut les établir directement par voie géométrique.

et, désignant par S^ la vitesse angniaire avec laquelle iournc eette tangente lorsque son point de contact est en m sur la section Q et qu'il se déplace suivant la section P :

(5) ^" = i. /';, , (x, f/ ). cos* :.

Supposons le point m déterminé par les valeurs

les équations (2) et (4) donnent

tg. a = 0, tg. ff = 0.

Il en résulte que le plan, mené par le point m parallèlement au plan des xy, touche en ce point la surface A, et, par suite, que l'équation (5) du n"* 33 devenant applicable, on a nécessairement

Mais, 'd'un autre côté, les équations (3) et (5) donnent en même temps

Il vient donc en substituant, supprimant le facteur commun x.y et remplaçant par x, y les valeurs quelconques déterminées

* L'équation fondamentale

-r«.!f(a?, y) = /-'Vx(a;, y),

peut s'établir à priori de la manière suivante : On a, conformément à la règle du n<» 8,

et remplaçant y par y+ At/.

(2) . . lim n-^^^'y-^^y)-n^'y^'y) = r^a,, ,+ .,).