DES DÉPLAGËAIËNTS REGTILIGNES ET SIMULTANÉS DE PLUSIEURS POINTS

Définition et mesure des vitesses.

I . Considérons un point suppose mobile sur une droite ' et y occupant une position quelconque déterminée. Lorsque ce point sort de cette position , c'est suivant la direction de la droite et avec un certain degré de rapidité. De là résulte pour le point mobile

* Cette droite est supposée fixe. On verra plus loin comment la définition de la vitesse donnée pour le cas d'un point qui se meut sur une droite fixe s'étend d'elle-même au cas où ii y a mouvement du point et de la droite, le point glissant sur la droite et la droite tournant autour du point , tous deux simul" tanément.

( 18) un état particulier, distinct de Fétat de repos. Cet état d'un point qui sort de la position qu'il occupe est dit état de mouvement. On le désigne plus simplement encore sous le nom de vitesse.

Dans la vitesse ainsi définie , il y a deux choses à distinguer : Tune est la direction, Tautre la grandeur. La direction est déterminée par la droite sur laquelle le point est assujetti à se déplacer; elle comporte deux sens opposés Tun à Tautre. La grandeur est le degré de rapidité avec lequel le déplacement commence à partir de la position considérée.

Étant donnée une position quelconque du point mobile et la vitesse avec laquelle le point sort de cette position, on peut toujours concevoir que le déplacement continue comme il commence, c'està-dire sans que la vitesse initiale cesse de conserver, partout et toujours, une seule et même direction, un seul et même sens, une seule et même grandeur. Quelle que soit la vitesse ainsi déterminée, par cela seul qu'elle est invariable, le déplacement du point mobile s'accomplit avec uniformité, c'est-à-dire suivant un mode unique , partout et toujours identiquement le même. Réciproquement, s'il s'agit d'un point qui se déplace uniformément, la vitesse de ce point conserve partout et toujours une seule et même détermination.

Imaginons que sur la droite à décrire on ait tracé des divisions quelconques, toutes égales en longueur. Par hypothèse, la vitesse est constante ; il y a donc uniformité, et de même que le point décrit d'abord la première division, de même ensuite il décrit chacune des autres, dans des conditions toujours identiques. Au lieu d'un seul point décrivant, considérons à la fois deux points animés chacun d'une vitesse constante. Pendant que le premier point décrit une longueur l, choisie comme on voudra, le second point décrit une longueur correspondante l\ De même aussi, pendant que le premier point décrit un multiple quelconque de la longueur l, le second point décrit le même multiple de la longueur /'. On déduit aisément de là que si Ton prend deux longueurs quelconques décrites simultanément de part et d'autre, ces longueurs conservent entre elles un rapport invariable. On voit d'ailleurs que les longueurs décrites croissent avec les vitesses des points

( i9) décrivants, et Ton est conduit naturellement à prendre les unes pour mesures des autres.

Soit Ao, A|, Â2 . . . A„ une suite de droites toutes superposées dans l'ordre des lettres qui les désignent respectivement. Concevons que la droite A© soit fixe, et que chacune des autres, entraifiant avec elle toutes celles qui lui sont superposées ^ glisse sur la précédente avec la vitesse r. La vitesse de la droite Aj sera v; celle de la droite Aj, v -♦- v ou 2y; celle de la droite A5, 2v -»- v ou.Sv, et ainsi de suite, celle de la droite A„ étant représentée par nv. D'un autre côté, tandis qu'un point de la droite Ai décrit une longueur quelconque /, les longueurs décrites par chaque point des droites A,, A3 . . . A„ sont respectivement 2/, 3/, . . , nL II suit de là que les vitesses des points situés sur les droites A|, A, . . . A„, sont entre elles comme les longueurs que ces points décrivent simultanément. On voit donc que si par vitesse double, triple, quadruple, etc., on entend la vitesse qui résulte pour un même point de la composition de plusieurs vitesses simultanées, toutes égales et prises au nombre de deux, trois, quatre, etc., il est rigoureusement exact de substituer au rapport des vitesses que l'on comparé entre elles, les rapports des longueurs décrites simultanément par les points qu'elles animent.

De là résultent, en ce qui concerne les grandeurs respectives des vitesses simultanées qui animent en même temps un ou plusieurs points, les conséquences suivantes :

i° Lorsque plusieurs vitesses simultanées animent un méms point f suivant une m^me droite, la vitesse résultante est la somme algébrique des vitesses composantes.

2° Dans la comparaison de plusieurs vitesses , chaque vitesse peut être exprimée par une longueur.

Z"* Les vitesses que Von compare animant certains points y les longueurs qui les expriment sont les portions de droite que ces points décriraient simultanément, si chaque vitesse demeurait constante.

4" En général, on est libre de fixer ^ comme on veut, la portion de droite prise pour mesure de l'une des vitesses qui sont à comr parer; les autres s'en déduisent.

Composition et décomposition des vilesset,

2. Soil une droite AC, m un point décrivant cette droite à partir du

^. y point A ; M la vitesse avec laquelle le point

m se déplace sur la droite AG. Au lieu

d'être fixe, la droite AC peut être mobile,

et, par exemple, glisser, sans tourner, le

long de la droite AL. Dans i^e glissement

de la droite AC une seule et même vitesse

anime, en même temps, tous ses points;

c'est la vitesse du point A, vitesse dirigée

suivant AL et que nous désignerons par u\

Lorsque le point A de la droite AC parvient en A' sur là droite

AL, la droite AC occupe la position A'C parallèle à AC. Le point m

est alors en B', A'B' étant la longueur qu'il décrit sur AC, pendant

que le point A décrit sur AL la longueur A A'.

Les longueurs A'B', AA' étant décrites simultanément, l'une par le point m en vertu de la vitesse constante u, l'autre par le point A en vertu de la vitesse constante ti', on a, conformément à ce qui précède ,

--— = -- = cons"^.

AA u

Cette relation fixe d'une manière invariable la position de la droite AB' dirigée suivant la diagonale du parallélogramme A A'B'B. Elle montre,. en outre, qu'il existe un rapport constant entre la longueur de cette diagonale et celle de chacun des côtés qui lui correspondent.

De là résultent les conséquences suivantes :

i" Le point m peut être considéré comme animé de deux vitesses simultanées, l'une égale à u et parallèle à AC, Vautre égale à u' et parallèle à AL.

2° En vertu de ces deux vitesses simultanées , supposées co\i-

stanteSy le point m décrit la diagonale AB' avec une vitesse constante V, déterminée par la relation