CHAPITRE III

DU MOUVEMENT d'uNE DROITE DANS UN PLAN.

8. Lorsqu'une droite se meut en conservant toujours une seule et même direction, ses différents points ont à chaque instant même vitesse. Cela résulte de ce que les portions de ligne décrites simultanément par deux points quelconques de la droite mobile sont nécessairement égales et parallèles. Réciproquement si tous les points d'une droite ont à chaque instant même vitesse, la droite conserve toujours une seule et même direction.

On désigne sous le nom de translation le mouvement d'une droite dont la direction demeure invariable ou, ce qui revient au même, dont tous les points ont à chaque instant même vitesse.

Soit D une droite libre dans un plan et s'y déplaçant comme on veut. Prenons sur cette droite le point quelconque o et, par une translation qui rende commune à tous les autres points la vitesse du point o, assujettissons celui-ci à décrire sa propre trajectoire. L'effet de cette translation, si elle subsistait seule, serait de ne rien changer au mouvement du point o et, en même temps, de maintenir constante, pour chaque position de la droite D^ sa direction première. Il suiLde là que pour restituer à la droite mobile son mouvement effectif, il suffît d'une rotation qui se compose avec la translation empruntée au point o, et qui s'accomplisse autour de ce point comme s'il était fixe.

S'agit-il d'abord de la translation empruntée au point o ? Les vitesses qui en résultent sont partout les mêmes à un même instant quelconque. Elles ont donc , en chaque point , mêmes composantes, Tune normale à la droite mobile, l'autre dirigée suivant cette même droite. S'agit-il ensuite de la rotation autour du point 0, considéré comme fixe? Les vitesses qu'elle imprime sont partout normales à la droite, parallèles entre elles, et respective-

ment proportionnelles aux rayons vecteurs correspondants. De là résulte le théorème suivant :

Lorsqu'une droite se meut dans un plan ', les vitesses simultanées de ses différents points étant décomposées suivant la droite et perpendiculairement d sa direction , les composantes dirigées suivant la droite sont toutes égales et de même sens.

Dans le mouvement d'un point assujetti à rester sur une droite , on peut toujours décomposer la vitesse de ce point en deux vitesses dirigées, Tune suivant la droite et dite vitesse de glissement , Tautre & angle droit sur la première et dite vitesse de circulation. En adoptant ces dénominations , on peut substituer è renoncé qui précède cet autre énoncé plus simple :

THÉOftÈME I. — Lorsqu'une droite se meut dans un plan, les vitesses de glissement de ses différents points sont toutes égales et de même sens.

FiÇ' 9. Soit oo' la vitesse du point o k Tinstant con^

sidéré. Par le point o^ menons deux droites, Tune o'A parallèle à la droite D, l'autre D' fai-^ sant avec la droite o'A l'angle qui a pour tangente le rapport exprimant la vitesse angulaire de la droite D autour du point o. Il est visible que tout point m de la droite D est animé de deux vitesses simultanées représentées respectivement, Tune par la droite mn égale et parallèle à oo\ l'autre par la droite nm' menée par le point n perpendiculairement à o'Â et limitée à la droite D'. De là , et de ce qui précède, résultent les corollaires suivants :

1** Les vitesses simultanées des différents points de la droite D ont pour lieu de leurs extrémités une droite D' oblique sur la première.

i Ce théorème et les suivants sont tout à fait généraux. Ils s'appliquent, ainsi qu'on le verra plus loin , au mouvement quelconque d'une droite dans Tespace.

â"* Etant données les vitesses simultanées de deux points quelconques de la droite D, celles des points o et m^ par exemple, toutes les autres en résultent.

3° Lorsque deux points d'une droite ont, en même temps, même vitesse y cette vitesse est commune à tous les autres points.

4" Lorsque deux points d'une droite n'ont pas en même temps même vitesse, les vitesses diffèrent en chaque point,

9. Supposons qu'on transporte en un même point a les vitesses qui animent ]es différents points de la droite D, à un instant quelconque déterminé. Supposons, en outre, qu'on projette orthogonalement toutes ces vitesses sur une même droite menée par le point a parallèlement à D. Chaque vitesse ainsi projetée n'a qu'une seule et même projection , la portion de droite qui représente la vitesse de glissement commune à tous les points de la droite mobile. Ce résultat peut s'énoncer comme il suit :

Théorème II. — Si l'on transporte en un même point quelconque les vitesses simultanées des différents points d'une droite, ces vitesses ont leurs extrémités sur une seule et même droite per-^ pendiculaire à la première.

Du mouvement d'un plan sur lui-même et dime droite dans un plan.

10. TuÉoRÈHË III. — Lorsqu'un plan se déplace sur lui-même, les vites.$es simultanées de deux points de ce plan étant déterminées, celles de tous les autres points le sont en même temps.

Soient a et 6 deux points d'un plan qui se déplace sur lui-même. Par hypothèse, on connaît les vitesses actuelles et simultanées des deux points a et b.

Soit m un troisième point quelconque situé dans le plan mobile, en dehors de la droite ab *.

* Si le point m était pris sur la droite ab, on oJ)tienilrail directemeiU sa vitesse, en opérant comme nous l'avons indiqué au n« 8.

Fig.9.

Transportons en m les vitesses respectives des deux points a et 6. Soit ma' la première, mb' la seconde. Par le point a% abaissons sur am la perpendiculaire a'p. Par le point 6' abaissons sur mb la perpendiculaire b'q. Prolongeons les droites o'p, b'q jusqu'à leur rencontre en n et tirons la droite mn.

La droite mn , ainsi déterminée , représente en direction , sens et grandeur y la vitesse du point m.

Cette proposition résulte évidemment de ce qu'en vertu du théorème H (n* 9), l'extrémité de la vitesse du point m se trouve à la fois sur chacune des deux perpendiculaires a'p et b'q. Elle implique d'ailleurs , comme corollaires , les déductions suivantes :

i ** Tout mode de déplacemjçnt qui communique à deux points d'un plan mobile sur lui-même leurs vitesses actuelles et simultanées ^ remplit en même temps cette msme condition par rapport d tous les autres points,

2° Si deux points d'un plan qui se meut sur lui-même ont en même temps même vitesse y cette vitesse est commune à tous les autres points. Les vitesses simultanées des différents points sont donc toutes les 'mêmes ou toutes différentes,

\ \ , Théorème IV. — Lorsqu'un plan se meut sur lui-même et que tous ses points n'ont pas en même temps même vitesse , il est p' 40 ^^ point du plan dont la vitesse est nulle. On désigne ce point sous le nom de centre instantané de rotation. Les vitesses simultanées des autres points sont les mêmes que si le plan tournait autour de ce centre considéré comme fixe.

Soit un plan qui se meut sur lui-même, et dont tous les points n'ont pas même vitesse à l'instant que l'on considère; m et m' étant deux points de ce plan, soient wm, et mV les portions de droite qui

représentent en direction , sens et grandeur, les vitesses respectives des points m et m'. Par hypothèse, ces deux vitesses diffèrent en quelque chose.

Supposons d*abord que les vitesses mn, m'n' soient parallèles. 11 faut alors qu'elles soient toutes deux perpendiculaires à la droite mm\ Autrement, et puisqu'elles diffèrent^ leurs composantes, suivant cette droite, ne pourraient être égales et de même sens. (Théorème I , n" 8.) Tirons la droite n«', et déterminons le point où. elle vient couper la droite mm\ Il est visible qu'une rotation , commençant autour du point o peut communiquer aux deux points m et m' leurs vitesses actuelles et simultanées. Concluons que cette même rotation communique en même temps à tous les autres points du plan mobile leurs vitesses respectives. (N** 10, théorème III, corollaire i.) On voit d'ailleurs qu'en désignant par w la vitesse angulaire qui correspond à la rotation du plan mobile autour du point o, et par p l'extrémité de la vitesse mV transportée au point m , on a très-simplement.

mn m*n* m'n' — mn np

mo m'o mm' mm'

Supposons maintenant les vitesses mn, m'n* non parallèles, et considérons le point o situé à la rencontre des perpendiculaires élevées, l'une en m sur mn, l'autre en m' sur m'n\ Si l'on détermine la vitesse du point d'après le procédé du n° 10, on reconnaît immédiatement que cette vitesse est nulle. D'un autre côté, si Ton transporte en m, sur mp, Ja vitesse m'n', et qu'on tire la droite np, on voit que cette droite est perpendiculaire à la droite mm\ (Théorème II, n* 9). Les triangles mpn, m'om sont donc semblables , et l'on a

mn mp np

mo m'o mm' '

la longueur mp pouvant être remplacée parla longueur égale m'w'.

Il suit de là qu'une rotation commençant autour du point o, avec la vitesse angulaire

mn m'n' np

mo m'o mm! '

communique aux deux points m et m' leurs vitesses actuelles et simultanées. Concluons que cette même rotation communique en même temps à tous les points du plan leurs vitesses respectives *. (N* i 0. Théorème III , corollaire i .)

Le point o déterminé, comme on vient de le voir, est désigné sous le nom de centre instantané de rotation.

A chaque position du plan mobile répond une position du centre instantané de rotation , et le point du plan qui coïncide avec ce centre a une vitesse nulle. Si le centre instantané de rotation était fixe sur le plan mobile, c'est-à*dire s'il coïncidait toujours avec un seul et même point de ce plan, il serait absolument fixe, puisqu'il resterait en un même point constamment dénué de vitesse. Le mouvement du plan se. réduirait donc à une rotation simple autour d'un centre fixe. Mais, en général, il en est autrement. Il faut donc que le centre dont il s'agit change incessamment de position dans le plan mobile. Concluons qu'en général tout déplacement d'un plan sur lui-même résulte du doubfe mouvement d'un point et du plan, le point glissant dans ce plan en même temps que le plan tourne autour de ce point.

Soit A( un point assujetti à se mouvoir de manière à coïncider constamment avec le centre instantané de rotation. Ainsi qu'on vient de le voir, le point m glisse dans le plan mobile. Il a donc dans ce plan , et pour chaque position du plan, une vitesse actuelle déterminée. La rotation qui s'accomplit autour du point /u. ne

* On parvient plus vite à cette conclusion en observant qu'une rotation commençant autour du point o, avec la vitesse angulaire

mn mo '

communique aux deux points m et o leurs vitesses actueltes et simultanées.

( 40) peut allérer en rien cette vitesse : elle est donc aussi la vitesse du point /u dans l'espace ^

12. Considérons le plan mobile à un instant quelcx)nque. Soit P ce plan ; o le centre instantané de rotation; w la vitesse angulaire du plan P autour du centre o; m un point quelconque du plan P ; V la vitesse du point m.

On sait, d'après ce qui précède, que la vitesse v est perpendiculaire au rayon vecteur om et représentée en grandeur par le produit oni.w.

Imaginons qu'on transporte de o en m la rotation 10, et qu'en même temps ^ Ton imprime au plan P une translation représentée en direction, sens et grandeur parla vitesse v.

La rotation w transportée en m se compose avec la translation V, de manière à communiquer aux deux points m et leurs vitesses actuelles et simultanées. Il s'ensuit que cette rotation et cette translation communiquent en même temps à tous les points du plan P leurs vitesses respectives.

De là résulte la déduction suivante :

L'état de mouvement d'un plan qui se meut sur lui-même et dont tous les points n'ont pas en même temps même vitesse, peut êlre considéré soit comme se réduisant à une rotation simple autour dn centre instantané, soit comme résultant de cette même rotation transportée autour d'un point quelconque du plan mobile et composée avec une translation égale à la vitesse de ce point,

13. Lorsqu'une droite se déplace dans un plan, on peut concevoir qu'elle entraine ce plan avec elle. Tout se passe donc comme nous l'avons vu pour le cas général d'un plan qui se meut sur lui-même. A chaque position de la droite mobile répond, en général, un centre instantané de rotation, et, pour chaque point,

* Considérons les traces du point /x sur le plan mobile et dans l'espace : soit s la première et s' la seconde. Il est visible que la ligne s^ est Tenveloppe des positions successives de la ligne s. On voit aussi que le mouvement du plan mobile est le même que si la ligne s roulait, sans glisser, sur la ligne s'.

* Il sufiSt pour cela dMmprimer celte vitesse à deux points du plan P, soit, par exemple, aux deux points m et o. (Voir n« iO, théorème I!I, eorotlaire 2^)

même vitesse que s'il y avait rotation simple autour de ce centre supposé fixe.

Considérons la droite dont il s'agit dans une position quelc^n- Fig. i2. n^^ déterminée. Sort ab cette position, o la

position correspondante du centre instantané de rotation, o' le pied de la perpendiculaire abaissée du point o sur a6, m un point quelconque de la droite oo', w la vitesse angulaire

3 actuelle de la droite mobile. Nous savons déjà

^' que les vitesses actuelles des différents points

de la droite ab sont les mêmes que si cette droite tournait autour du centre o avec la vitesse angulaire w. Nous ajoutons, conformément à la déduction du n*" 12, qu'on peut considérer ces mêmes vitesses comme résultant d'un glissement et d'une rotation simultanés, la droite ab tournant autour du point m avec la vitesse w et glissant en même temps sur elle-même avec la vitesse

r, = om. tv.

Étant données les vitesses simultanées des différents points de la droite ab, on peut considérer exclusivement ou isolément leurs composantes normales à cette droite. Ces composantes sont celles que nous avons déjà désignées sous le nom de vitesses de circula^ tion. Pour les obtenir toutes à la fois, et rien qu'elles, il suffit de transporter en o' la rotation v\ Le point o\ déterminé par la projection du point sur la droite ab, est dit centre instantané de circulation. Il se distingue des autres points de la droite ab en ce qu'il n'a pas de vitesse de circulation, ou, ce qui revient au même, en ce que sa vitesse actuelle est une vitesse de glissement dirigée tout entière suivant la droite mobile.

Les déductions qui précèdent ne s'appliquent pas seulement à une droite qui se meut dans un plan supposé fixe : elles s'appliquent également à toute droite située dans un plan qui se meut sur lui-même. Elles peuvent se résumer dans les termes suivants :

Lorsqu'une droite se meut dans un plan, son mouvement se

compose d'un glissement sur elk'^nême et d'une rotation autour d'un point choisi, comme on veut, sur la perpendiculaire abaissée du centre instantané de rotation. Quel que soit ce point, la vitesse angulaire reste toujours la même. La vitesse de glissement est la vitesse effective du point choisi pour centre ^

Observons que si Ton considère un point assujetti à coïncider toujours avec le centre instantané de circulation, ce point a pour TÎtesse non-seulement la vitesse de glissement, commune à tous les points de la droite mobile , mais en outre celle qui anime, parallèlement à. cette droite y le centre instantané de rotation, considéré dans ses positions successives.

Règle générale du quadrilatère des vitesses.

H. On sait que la vitesse d'un point admet comme modes équivalents de représentation une infinité de systèmes tous .différents les uns des autres et comprenant chacun deux composantes.

Lorsqu'on considère en même temps deux de ces systèmes, si Ton connaît pour chacun l'une des composantes qui en fait partie et la direction de l'autre composante, la vitesse du point est déterminée.

Soit ma la composante donnée dans l'un des deux systèmes que Ton considère, et an une droite menée par le point a suivant la direction connue de l'autre composante. Soit en même temps, et de la même manière, mb la compo* santé donnée dans le second système et bn une droite parallèle à Tautre composante. La vitesse cherchée est représentée en direction , sens et grandeur par la diagonale mn du quadrilatère manb.

La règle que nous venons de formuler dérive immédiatement

^ On ne perdra pas de vue que la déduction du n» 12 s'applique plus généralement encore au mouvement d*une droite dans un plan.

de la règle 3 du n^ â. Nous la désignerons sous le nom de règle du quadrilatère» On observera qu'elle est générale et s'applique à tous les cas possibles , le quadrilatère manb pouvant être plan ou gauche, suivant les circonstances.