CHAPITRE II

DE LA ROTATION d'cNE DROITE DANS UN PLAN.

Définition et mesure des vitesses angulaires.

6. Soit une droite passant par un point fixe et tournant autour de ce point dans un seul et même plan. A chaque instant la droite passe d'un lieu dans un autre, et affecte par là même un état particulier distinct de l'état de repos. Cet état d'une droite qui sort du lieu qu'elle occupe en tournant autour d'un de ses points , supposé fixe, est dit vitesse de rotation ou bien encore vitesse angulaire.

On entend ainsi par vitesse angulaire le degré de rapidité qui anime une droite dans sa rotation autour d'un point fixe, pris sur cette même droite. S'agit-il d'une droite qui se déplace dans un plan d'une manière quelconque et dont la direction change incessamment? Elle a de même et à chaque instant une vitesse angulaire complètement déterminée. Cette vitesse est celle d une

* Il est sous-entendu que, relativement à chacune des deux droites choisies pour y projeter le point décrivant, les projections se font parallèlement à Tautre.

droite quelconque assujettie à passer par un point fixe et à tourner autour de ce point en restant parallèle à la droite donnée.

Ainsi que toutes les grandeurs matbëmatiqucs, la vitesse angulaire peut être constante ou bien incessamment variable. Dans tous les cas, elle est à chaque instant complètement déterminée. Lorsqu'elle varie et qu'on veut exprimer ce qu'elle est, pour une position donnée de la droite mobile, on considère exclusivement la détermination particulière qui correspond à la position donnée : on suppose qu'à partir de cette position^ la vitesse angulaire demeure invariable et Von procède comme si elle l'était effectivement. Par ce simple artifice , le cas des vitesses angulaires variables se ramène au cas des vitesses angulaires constantes et celui-ci reste seul à examiner.

Cela posé, nous pourrions répéter ici pour les vitesses de rotation , ce que nous avons dit plus haut pour les vitesses linéaires et reproduire presque littéralement les mêmes déductions. Bornons-nous à énoncer les règles suivantes :

\ ^ Dans la comparaison de plusieurs vitesses angulaires, chaque vitesse peut être exprimée par un angle.

2" Les vitesses que Von compare anitnant certaines droites, les angles qui les expriment respectivement sont ceux que ces droites décriraient simultanément si chaque vitesse demeurait constante.

S** En général on est libre de fixer comine on veut, Vangle pris pour mesure de Vune des vitesses qui sont à comparer. Les autres s'en déduisent.

Rapport existant entre la vitesse angulaire d'une droite et les vitesses que la rotation de la droite cwnmunique à ses différents points.

7. Soient o,o' deux points supposés fixes, l'un sur la droite D, l'autre sur la droite D'. Par hypothèse, ces deux droites tournent uniformément, l'une autour du point o avec la vitesse angulaire vj, Fautre autour du point o' avec la vitesse angulaire w'.

Soient niym* deux points pris respectivement, le point m sur la droite D à la distance r du centre o; le point m' sur la droite D' à la distance r' du centre o\ s, s' étant deux arcs quelconques I^ans décrits simultanément, le premier par le point m, le second par le point m', ces arcs sont circulaires, et les angles qu'ils sous- tendent ont pour mesure les rapports On déduit de là, conformément à la règle (2) du n° 6 :

Soient v^ v' les vitesses qui animent en même temps les points m, m' dans la description des arcs «, 5'. Il est aisé de voir, conformément aux déductions des numéros (4) et (5) , que ces vitesses sont normales aux rayons vecteurs r, r' et qu'elles satisfont à l'équation suivante < :

^ Les déducliôns des n»* (4) et (5) se vérifient ti'ès-simplement , comme il suit :

Soit al une droite mobile, toujours tangente à la circonférence abcd^ tournant sans glisser le long de cette circonférence, y appliquant successivement tous ses points et Tenveloppant ainsi par une sorte d'enroulement continu. Tandis que la tangente al tourne uniformément de a vers a', concevons qu'un point m, situé d'abord en a, se déplace le long de cette droite , avec une vitesse œnstante en grandeur et de manière à occuper sans cesse la position précise où le contact s'établit entre la tangente mobile al et la circonférence fixe abcd. Dans ce double mouvement simultané du point m et de la droite al, le point glissant sur la droite et la droite tournant autour du point , tous deux uniformément, il est visible que le point m décrit à la fois la droite mobile al et le contour fixe du cercle abcd. De là les conséquences établies plus baut, d'une manière générale, i)our une courbe (luelconque.

(33 ) La eombinaisou dcë équations (i) et {2), donne

Choisissons pour unité des vitesses angulaires celle qui communique Tunité de vitesse au point qui décrit la circonférence de cercle ayant l'unité pour rayon.

Si nous prenons r=i et que nous supposions v'=^\^ il viendra tt?' = i , et nous aurons en général

L'équation (4) implique les conséquences suivantes :

1** Lorsqu'une droite tourne autour d'un de se^ points supposé fixe y il y a lieu de comidérer pour chaque position de la droite sa vitesse angulaire actuelle w, et en même temps les vitesses correspondantes de ses différents points.

2" Soit V la vitesse qui répond à la vitesse w pour un point quelconque pris sur la droite mobile y à la distance vdu centre de rotation :

La direction de la vitesse v est perpendiculaire à la droite mobile.

La vitesse v est égale au produit de la distance r par la vitesse w.

La vitesse w est égale au quotient de la vitesse v par la dis* tance r.