HAP1TRE V

DU MOUVEMENT DANS l'eSPACE d'uNE DROITE, d'uN PLAN,

d'un solide.

Exposé des théorèmes fondamenlaux.

11). Théorème VIH. — Lorsqu'un solide se meut y si les vitesses de trois points non situés en ligne droite sont déterminées, celles de tous les autres points le sont en même temps.

Soient a, b, c trois points non situés en ligne droite et appartenant à un solide qui se meut. Par hypothèse, on connaît les vitesses actuelles et simultanées des trois points a, h, c.

Soit m un point quelconque du solide pris en dehors du plan abc '. Transportons en m la vitesse du point a et, par son extrémité , menons un plan perpendiculaire à la droite ma. En répétant cette opération d'abord pour la vitesse du point 6 et la droite mb, ensuite pour la vitesse du point c et la droite me, nous avons deux nouveaux plans respectivement perpendiculaires, l'un à la droite mb, l'autre à la droite me.

Soit n le. point unique ^ commun aux trois plans que nous

^ Si le point m élail pris dans le plan abCj on obtiendrait directemenl sa vitesse en opérant comme dans le cas général et observant que Vextrémité de cette vitesse aboutit au plan déterminé par les extrémités des trois autres prises dans leur vraie position. Cela résulte évidemment du corollaire 2 du théorème VI.

^ Les intersections du premier plan avec chacun des deux autres sont respectivement perpendiculaires, Tune au plan amb, Tautre au plan amc. Elles ne peuvent être parallèles, puisque, par construction , les deux plans amb y amc diffèrent. Il s'ensuit qu'étant situées dans un même plan , elles se coupent nécessairement eu un point unique.

venons de déterminer : la droite uin représenlej en direction, sens et grandeur j la vitesse du point ni.

Il suffit de se reporter au théorème VII , n* 1 7, pour voir coinnicnt s'expliquent et se justifient la construction et la proposition qui précèdent.

Corollaires. — I. Tout mode de déplacement qui communique à trois points d'un solide, non situés en ligne droite, leurs vitesses actuelles et simultanées, remplit en même temps là même condition pour tous les autres points.

2. Si trois points d'un solide , non situés en ligne droite, ont en même temps même vitesse, cette vitesse est commune à tous les autres points*

20. Théorème IX. — Lorsqu'un solide se meut et que tous ses points n'ont pas en même temps même vitesse, parmi les droites qu'on peut considérer comme faisant partie du solide, il en est une dont l'état actuel de mouvement se réduit à un simple glissement sur elle-même. Cette droite est désignée sous le nom d'kXE INSTANTANÉ GLISSANT. Lcs vitesscs simultanécs des différents points du solide sont les mêmes que si, glissant avec cet axe, il tournait en même temps autour de ce même axe.

Soit un solide qui se meut et dont tous les points n'ont pas même vitesse à l'instant que l'on considère.

Soient m ^ m'y m" trois points de ce solide, non situés en ligne droite; v, v\ v" leurs vitesses respectives, actuelles et simultanées.

Transportons en m les trois vitesses t?, v', v" et supposons qu'elles y soient représentées, la vitesse v par mn, la vitesse v' par mn\ la vitesse v" par mn". Sur le plan déterminé par les extrémités n, n, n", projetons orthogonalement le triangle mm* m", et désignons par p la projection du point m, par je?' celle du point m'y par p" celle du point m". Si nous tirons les droites pn, pn' , pn"j il est visible que chacune des trois vitesses mn, mn'y mn" peut être considérée comme ayant pour composante commune la vitesse mp, la seconde composante étant située dans

Fig. iO,

le plan fm*n'' cl représentée par pn pour la vitesse V , par pn* pour la vitesse t?', par />n" pour la vitesse v". On sait, d'ailleurs, que les droites «»', n' n", «"«, sont respectivement perpendiculaires nn' à miu'y w V à m'w", n"n à m"wi.

(Théorème VIL)

Cela posé , la droite nn' est en même temps perpendiculaire aux droites mpf m'p% mm'; elle est donc perpendiculaire au plan mpp'm' et, par conséquent, à la droite pp'. On démontrerait de même que nn'^ est perpendiculaire à p'p" et n"n à p"p. Il suit de là que les perpendiculaires menées dans le plan pp'p", en p sur pn, en p' sur p«', en p" sur pn'% se coupent toutes trois en un même point o et satisfont aux conditions suivantes * :

pn' op'

p,i" op"

mm'

pp'

op

Considérons la normale élevée en o sur le plan nn'n", et inia-

* Cette déduction résulte immédiatement de Tune ou Tautre des considérations suivantes :

1» Pris deux à deux et groupés comme il suit, les triangles opp' et pnn' , opp" et pnn'\ op'p" et pn^n" ont leurs trois côtés respectivement perpendiculaires et sont, par conséquent, semblables;

2® Prises deux à deux, les composantes p», pn\ pn'* ont mêmes projec-. tions orthogonales, pn et pn' sur pp', pn' et pti" sur p'p", pn" et pn sur p"p. On peut donc appliquer ici les résultats établis n« H.

giuous que le solide tourne en glissant le long de cette normale. Si la vitesse de rotation est égale au rapport ^,, et celle de glissement à la composante mp, il est évident que ce double mouvement, pris à son origine, communique aux trois points m ^ m', m" leurs vitesses actuelles et simultanées '. Concluons que ce même double mouvement communique en même temps à tous les points du solide leurs vitesses respectives. (Théorème VIII , corollaire \.)

On donne à la droite déterminée, comme on vient de le voir par la condition de contenir le point o et d'être normale au plan nn*n'\ le nom d'axe instantané glissant» A chaque position du solide qui se meut correspond une position particulière de l'axe instantané. En général, l'une et l'autre changent incessamment. Dans tous les cas, les vitesses des dififérents points du solide sont k chaque instant les mêmes que si, glissant avec cet axe, il tournait en même temps autour du même axe ^.

* Les points m et p , m' et p', m" et p" sont situés deux à deux sur des di'oites parallèles à la normale. Dans la rotation avec glissement le long de la normale, tous les points situés svf une même parallèle à la normale ont évi* demmeut même vitesse.

* De là résultent les déductions suivantes :

Considérons une droite assujettie à coïncider toujours avec Taxe instantané glissant. Considérons en même temps les traces de cette droite dans le solide en mouvement et dans Tespace. Ces traces sont des surfaces réglées. Soit s la première et s' la seconde. Il est visible que la surface s' est Tenveloppe des positions successives de la surface s. On voit aussi que le mouvement du solide est le même que si la surface 8 roulait sur la surface s' en glissant le long de rareté de contact.

Lorsque le solide renferme un point fixe y Taxe instantané passant par ce point, les surfaces s, s' sont des cônes ayant le point fixe pour sommet commun et roulant Tune sur Tautre sans glisser.

En général, tout mouvement d'un solide se compose d'une translation empruntée à Tun de ses points et d'une rotation simultanée autour de ce même point. Si la rotation subsistait seule, le mouvement se réduirait au roulement du cône s sur le cône s'. Pour tenir compte de la translation , il suffit de la communiquer à ces deux cônes , sans rien changer d'ailleurs à leur mouvement relatif.

Tel est y dirons-nous avec M. Poinsot, et en généralisant l'énoncé que nous

(Si)

Pour avoir la directlou de J'axe iiistaiilaiié, il suftit, eu général, de transporter en un même point quelconque a les vitesses actuelles et simultanées de trois points m, m'y m" non situés en ligne droite. Soient n, «', n" les extrémités respeclives des trois vitesses transportées au point a et P le plan qu'elles déterminent. La perpendiculaire abaissée du point a sur le plan P fixe la direction de l'axe instantané et représente la vitesse de glissement le long de cet axe. La vitesse de rotation autour de ce même axe a pour mesure le rapport de la droite nn' à la projection sur le plan P de la droite correspondante mm\

21. La solution précédente est en défaut lorsque deux des trois points n n'n" se confondent * ou qu'ils tombent tous les trois sur une seule et même droite.

Observons qu'en ce cas, la droite nn'n'' est nécessairement perpendiculaire au plan 7mn'm'\ Cela résulte évidemment du théorème VIII. Voici d'ailleurs les conséquences :

Prenons un quatrième point fi situé en dehors du plan des trois premiers. Parmi les quatre points m, m', m'', /u, il en est trois au moins dont les vitesses transportées en a n'ont pas leurs extrémités situées sur une seule et même droite ^. Gela suffît pour que la solution précédente devienne applicable.

Poursuivons. Puisque Taxe instantané glissant et le plan mm'm^ sont tous deux perpendiculaires à la droite nn'n!'y il s'ensuit qu'ils sont parallèles entre eux. Considérons la projection de l'axe instantané sur le plan mm' m" : elle est parallèle à cet axe, et elle a,

lui emi)runtons, tel est le plus haut point de clarté où Von puisse pmUer l'idée si obscure et si complexe du mouvement dun corps dans Tespace. S'il s'agit de l'état actuel du mouvenieutde ce corps à un instant quelconque déterminé , il est plus simple de considérer le corps comme une vis tournant dans sou écix)u.

* 11 n'y a pas lieu de considérer le cas où les trois points », n', n" se confondraient, c'est-à-dire où trois points du solide, non situés en ligne droite, auraient même vitesse. On sait qu'en ce cas , cette même vitesse est commune à tous les autres points.

3 S'il en était autrement, il faudrait qu'une seule et même droite fût en même temps peii>endiculaire à deux plans non parallèles , ce qui est impossible.

pour chacun de ses points, une seule et même vitesse dirigëc tout entière dans le plan mm'm". Il suit de là que si Ton prend les vitesses de tous ces points dans leurs vraies positions^ le lieu de leurs extrémités est une parallèle à Taxe instantané : or, ce lieu est l'intersection du plan mm' m" avec le plan mené par les extrémités des vitesses v, v', v" prises dans leur position véritable. Il suftit donc de construire cette intersection pour avoir une parallèle à Taxe instantané. Le reste s'achève comme précédemment.

22. TiiéoRÈMR X. — Si Von transporte en tin m^me point quelconque les vitesses simultanées des différents points d'un solide , les extrémités de ces vitesses aboutissent toutes à un seul et même plan perpendiculaire à l'axe instantané glissant.

Ce théorème est une conséquence immédiate du théorème IX. On peut d'ailleurs rétablir directement et en déduire le théorème IX en se fondant sur le théorème VII et procédant comme nous Favons faitailleui*s. (Voir notre Théorie géométrique des centres et axes instantanés de rotation.)

Composition et décomposition des rotations.

23. Lorsqu'un solide tourne autour d'un axe, on représente sa vitesse de rotation par une portion de l'axe égale en longueur à la grandeur de cette même vitesse. On tient compte du sens en Gxant sur un point quelconque de Taxe Torigine de la longueur prise pour mesure de la vitesse, et portant cette longueur du côté où la rotation s'effectue de gauche à droite, pour un observateur placé le long de Taxe, les pieds à l'drigine.

Ces conventions admises, il est aisé de voir que deux rotations simultanées , autour de deux axes qui concourent , se composent en une rotation unique , de la même manière que si les portions de droites qui représentent ces rotations exprimaient des vitesses linéaires animant en même temps un seul et même point, le point où les axes concourent.

Il suffît pour cela de considérer, dans le plan des deux axes

donnes, trois points non situes en ligne droite et de constater qu'ils acquièrent même vitesse , soit par l'effet combiné des deux rotations composantes , soit par Teffet simple de la rotation résultante. On peut d'ailleurs choisir ces trois points, comme on veut, et, par exemple, en prendre un sur chaque axe.

La proposition , établie pour deux rotations dont les axes concourent, s'étend d'elle-même k un nombre quelconque de rotations à axes concourants. Il est clair, d'ailleurs, que, si plusieurs rotations simultanées se composent en une rotation unique, la réciproque subsiste nécessairement comme s'il s'agissait d'un point et de la vitesse qui l'anime.

Concluons que, dans le mouvement d'un solide, les rotations à axes concourants se composent et se décomposent d'après les mêmes règles que les vitesses dans le mouvement d'un point.

S4. Deux rotations égales et de sens contraire, autour d'axes parallèles, forment ensemble un système désigné par M. Poinsot sous le nom de couple de rotation. L'effet qu'elles produisent est celui d'une simple translation perpendiculaire au plan des deux axes ou du couple. En nommant a la vitesse angulaire, J9 la distance des axes, et v la vitesse de translation résultante, on a

On voit aisément qu'une même vitesse, p«*>, est communiquée en même temps aux différents point de chacun des deux axes. Il s'ensuit que cette même vitesse est commune h tous les points du solide. (Théorème VÏII, corollaire 2.)

L'identité , qui subsiste entre les couples de rotation et les vitesses de translation résultantes, permet de les substituer les uns aux autres et d'appliquer aux couples ce qu'on a démontré pour les vitesses, ou réciproquement.

De là résultent immédiatement les conséquences suivantes :

i^ 'Un couple de rotation peut être transporté et tourné comme on veut y soit dans son plan, soit dans un plan parallèle. On peut auf^si chmïfjvr en mcmc temps fa distance des aores et la vitesse

angulaire. Si le moment * du couple , sa direction et son sens r€8te7it les mêmes , rien ne change dans l'effet produit.

2** Les couples de rotation se composent entre eux comme se composent eritre elles les vitesses résultantes transportées en un seul et même point.

3" Étant donnée une rotation quelconque autour d'un axe A , V effet produit ne change points soit qu'elle subsiste seule , soit qu'on la compose avec deux rotations égales et de sens contraire autour d'tm axe quelconque A'. Supposons l'axe A' parallèle à l'axe A f et, de part et d'autre, même grandeur absolue des vitesses angulaires. La rotation autour dé l'axe A équivaut d une rotation égale et de même sens, s'effectuant autour de l'axe A' et se corn-posant avec le couple de rotation AA'.

4** Réciproquement toute rotation s'effectuant autour d'un axe M, et se composant avec une translation perpendiculaire à cet axe, se résout en une rotation simple, identique à la première et s'ef" fectuant autour d'un second axe A parallèle au premier. L'axe A est situé dans le plan mené par l'axe A' normalement à la vitesse de translation. Il est le lieu des points qui, dans la rotation autour de l'axe A', empruntent d cette rotation une vitesse égale et contraire à celle qui résulte de la translation donnée»

S*' Deux rotations quelconques simultanées *, autour de deux axes parallèles, se composent en une rotation unique autour d'un axe parallèle aux axes donnés et situé dans leur plan, La vitesse résultante est la somme algébrique des vitesses composantes* L'axe résultant est le lieu des points qui empruntent aux deux rotations composantes des vitesses égales et contraires.

Pour justifier cette dernière conséquence, il suffit d'observer que si l'on transporte autour de l'axe résultant (déterminé comme

^ On appelle moment d'un cotiple le produit de la distance des axes par la vitesse angulaire. La direction d'un couple est celle de sou plan. Le sens est déterminé par celui de la vitesse de translation résultante.

* 11 est entendu que ces deux rotations ne sont i)oint égales et contraires, autrement elles formeraient un couple et équivaudraient à une simple translation.

on vient de le dire) les deux rotations données, les deux couples de rotation qu'il faut composer avec elles, pour ne pas changer l'effet produit, sont égaux et de signe contraire.

25. La eonnaissance du mode suivant lequel les rotations se composent entre elles et avec les vitesses de translation conduit très-simplement à la détermination de Taxe instantané glissant.

Soient, en effet, m, m', m" trois points d'un solide non situés en ligne droite, et v, v\ v" leurs vitesses respectives, actuelles et simultanées.

Concevons une translation rendue commune à ces trois points et s'effectuant avec la vitesse v empruntée au point w. Il est visible que pour restituer aux deux autres points leur état actuel de mouvement, il faut, en général, composer cette translation, d'une part, avec une rotation de la droite mm' autour du point m, d'autre part, avec yne rotation du point m" autour de la droite mm'. La première de ces deux rotations peut être considérée comme s'effectuant autour d'une droite passant par le point m, et facile à déterminer conformément aux déductions des numéros i5 et 16. Il en résulte que les deux rotations à considérer ont des axes concourants et se composent en une rotation unique , autour d'un axe A' passant par le point m.

Cela posé, si l'on décompose la translation, rendue commune aux trois points m, m*, m" y en deux translations simultanées , l'une parallèle à l'axe A' de la rotation résultante, l'autre perpendiculaire à ce même axe, on sait que celle-ci peut se composer avec la rotation de manière à ne laisser subsister que cette même rotation autour d'un axe A parallèle au premier. Il suit de là que tout se réduit à une rotation s'effectuant autour de l'axe A et se composant avec une translation parallèle au même axe.

L'axe A, ainsi déterminé, est l'axe instantané glissant. U est parallèle à la droite mm', lorsque les vitesses v, v' sont les mêmes. Il se confond avec cette droite, lorsque les vitesses v, v' sont égales , de même sens et dirigées suivant la droite mm'.

En résumé, m étant un point quelconque du solide et v la vitesse de ce point, le mouvement du solide se compose :

1*^ D'une translation égale a v;

2® D'une rotation u, autour d'une droite A' passant par le point m.

La droite A' est parallèle à Taxe instantané glissant A. co est la rotation autour de Taxe A.

La vitesse v étant décomposée en deux autres, Tune dirigée suivant la droite A', 1 autre perpendiculaire à cette même droite , la première composante est la vitesse de glissement le long de Taxe A. La deuxième composante est égale au produit de la rotation a par la distance de l'axe A à la droite A'.

L'axe A est situé dans le plan mené par la droite A' perpendiculairement au plan de cette droite et de la vitesse v.