COS 8 COS

sans qu’il n’en résulte

Pi

cl, >,

et réciproquement.

Terminons par quelques applications particulières.

Si nous considérons d’abord les surfaces de révolution , il est visible que les méridiens et les parallèles constituent un double système de trajectoires orthogonales, dont chacune, suivant qu’elle est un méridien ou un parallèle, satisfait en tous ses points à la première ou à la seconde des équations

cos 8 cos 6'

- — - = o, — ; — = cous".

Il s'ensuit que ces lignes satisfont à l'équation (I) cl remplissent, en conséquence, les conditions I, II, 111, IV.

Ce résultat est en quelque sorte évident et l'on peut l'établir ri priori sans aucun calcul. Il en est de même dans le cas où les lignes considérées étant planes, les unes sont des circonférences concentriques, les autres des droites issues du centre commun aux premières. On reconnaît immédiatement que ces circonférences et ces droites constituent un double système de trajectoires orthogonales satisfaisant à toutes les conditions formulées ci-dessus.

Restons au point de vue des trajectoires planes.

Deux paraboles homofocalcs, dont les axes principaux font entre eux l’angle 2a, se coupent sous l'angle a. 11 s’ensuit que les paraboles homofocaJes , dont l’axe principal est dirigé suivant une même droite et dans le méinc sens, ont pour trajectoires orthogonales d’autres paraboles ne différant des premières que par le sens de Taxe principal.

Plaçons l'origine au foyer commun de ces paraboles et prenons pour iixe des x la droite dirigée suivant leur axe principal. Elles ont pour équation générale, les unes

y’ = a* 'îux ,

les autres

y1 = b1 — ~2bx ,

et pour ordonnées des points où elles se coupent

y = :fc V' a . b.

On trouve , pour les premières

,hJ « ,

ds-.

dx y

ày, />==

a* 5 ds

De là résulte, en remplaçant y* par u.b, d'-

ds «-*-/>

Il est visible qu’on trouverait de même , pour les secondes,

Concluons que ces paraboles constituent un double système de ligues orthogonales satisfaisant à l'équation (18) cl remplissant, en conséquence, la condition IV. Ici, d'ailleurs, se manifeste d’elle- même la réciprocité établie entre ces lignes et leurs trajectoires à 4b“. Il est clair, on effet, que celles-ci s’obtiennent en faisant tourner les autres d’un angle droit.

Vérifions , en ce qui concerne les paraboles ainsi déterminées , la propriété qu’elles ont de découper le plan qui les contient en quadrilatères rectangles, admettant pour diagonales les trajectoires à 4b" de ecs mêmes paraboles.

Soit O le foyer commun pris pour origine des coordonnées;

ACI), A'C'D', HCC trois paraboles choisies, comme on veut, les deux premières dans l’un des systèmes considérés, la troisième dans l’autre; SIC!)' l’une des trajectoires à 4b“ passant par le point C; D' le point de rencontre de cette trajectoire avec la branche A'C'D'; B'D'D la parabole du sy stème HC C menée par le point I)'; D le point d’intersection des deux brandies ACD, H'D'I). Tout se réduit à démontrer que la trajectoire a 4b” menée par le point C' et représentée par NC'D passe par le point I).

Donnons-nous les équations îles paraboles ACD, ACD, HC C, H'D'I) et rcpréscnlons-lcs respectivement par

2e ix, y* — u'*-t- 2«'jr, ÿ!=è* — 26x, ys= b - — ‘■Jbx.

Ou trouve aisément , pour les coordonnées du point C,

Fig. J.

polir celles du point C'.

pour celles du point I)’,

pour celles du point D ,

Soit

x — - — , ij = V a .//.

x‘ — - — -my,

l’équation de la trajectoire MCI)'. Cette trajectoire passant par les deux points C, D', on a

— M* — 2»* v ii. h, - = in1 — 2m V' b\

ou, ce qui revient au inéntc,

Les équations (2(>) déterminent les paramètres ni et h' supposés tous deux positifs. Elles donnent , d’abord,

l> a , li' li

»i = — h P «/./», — m — Vu'.h’.

De là résulte

et , par suite,

(27) Vb^Vâ t-Vb-V h7.

Soif

xs= »* -+- 2 ny,

l’équation de la trajectoire NC'I). Étant menée par le point C’, son paramètre « est déterminé par l’équation de condition

On en déduit, comme tout à l’heure, 6 -t- a'

Cela posé, pour que celte trajectoire passe par le point D, il faut et il suffit que l’on ait

ou, ce qui revient au même,

La simultanéité des équations (28) et (29) donne b' -4- a

et, par suite (b' étant plus grand que 6, et u plus grand (pic a')

La concordance des équations (27) cl (30) fournil la vérification cherchée.

Passons des paraboles aux autres sections coniques. On reconnaît immédiatement, par la construction des tangentes, qu'un

système quelconque d'ellipses lioniofocalcs n pour trajectoires orthogonales, les hyperboles ayant les mêmes foyers que ees ellipses.

Soit

l'équation générale des lignes du premier système. On a pour relie du second

la quantité r étant constante et la même, de part et d’autre.

Considérons un point quelconque où viennent se couper l’une des ellipses et sa trajectoire orthogonale. On trouve aisément poulies coordonnées de ce point

et, par suite,

rf- -,

ils («’ — »!*)’ 9 y

le rayon p, l'are s et la caractéristique d s'appliquant à l'ellipse, le rayon p", l’are ) et la caractéristique 9 à l’hyperbole correspondante.

L’équation (âl) montre que le double système des lignes orthogonales forme par les ellipses et les hyperboles de mêmes fojers remplit la condition IV. Ces lignes permettent, en conséquence, de découper leur plan en quadrilatères rectangles admettant pour diagonales leurs trajectoires à 45".

Revenons au cas général des lignes planes et indiquons une dernière application.

Supposons les lignes s isothermes. Le flux de chaleur \ est proportionnel en chaque point au quotient -- , et ce quotient doit

pouvoir rester le même, non-seulement d’un point à un autre d’une même ligne s , mais, en outre, dans le passage d’une qneleonquc de ces lignes aux suivantes. Cela revient à dire que si l’on se donne à priori les équations (13) (ce qu’on est toujours maître de faire), il faut que l’équation (12) en résulte.

On déduit de là l’énoncé suivant :

Pour qu'une suite de lignes situées dans un même plan soient isothermes , il faut et il suffit qu’elles fassent partie il'un double système orthogonal satisfaisant à l'équation

Cet énoncé revient à celui que M. Ossian Bonnet * a formulé comme expression équivalente d'un théorème de M. Bertrand **. Nous croyons pouvoir le compléter en \ ajoutant ce corollaire :

Lorsqu'une suite de lignes situées dans un même plan sont isothermes, il en est de même non-seulement de leurs trajectoires orthogonales , mais , en outre , de chacun des systèmes formés par leurs trajectoires à i!>°.

’ Voir le mémoire déjà cité (|iagc 18 y.

Journal rte mathématiques pures et appliquées , tome XI, année IH-H, page 1 10.