P P PP P

On trouverait de même

. . COS0 eoss' . , ross' (1 «). . . S . dM » 2i/.s*. ; — ± ds'A — r-

Il s'ensuit que, pour satisfaire ù l'équation (12), nu doit avoir cos 0 cos <f

et réciproquement.

On ne perdra pas de vue que I équation (17) est subordonnée ù la condition ils — 3k Veut-on tout exprimer en une seule et

» . „ .. . . . COS 9 a COS B'

meme équation ? il suint de substituer aux vitesses rt — — > leurs modules respectifs. Celn revient à écrire

rose'

L’équation (18) remplace à la fois les équations (l 2) et (13). Elle implique, en conséquence, l’énoncé suivant :

V. — Pour qu’un double système de lignes orthogonales remplisse la condition IV, il faut et il suffit que les vitesses, arec lesquelles les courbures grodésiques varient à partir d’un point quelconque sur les lignes qui s'y troisent , aient, de part et d’autre, même module absolu.

On voit par la que l’équation (18) ne peut subsister pour un double système de lignes orthogonales, sans subsister, en même temps, pour le double système orthogonal des trajectoires à 45° de ces mêmes lignes. Cette déduction peut s’établir à priori de la manière suivante :

Soient O un point quelconque de la surface A ; OX, OY les lignes

Fiy i.

s et x issues de ce point, OX, , OY, les trajectoires à 43° correspondantes.

Assimilons la ligne OX, à In ligne OX la ligncOY,à la ligne O Y, et conservons, de part etd’autre, les mêmes notations, en nous bornant a les accentuer lorsqu’il s'agit de la ligne OX, au lieu de

la ligne OX, ou de la ligne OY,' nu lieu de la ligne OY.

S’ngil-il, d'abord , «le in ligne OX, ? Supposons-ln décrite, à pnrlir ilu point O, pnr un. point u assujetti à glisser sur la ligne s en même temps que relie ligne sort du lieu OX, le point de In ligne # qui se trouve actuellement en 0 étant désigne pnr m et glissant sur In ligne OY.

Les vitesses ds et o> avec lesquelles les points « et m sortent en même temps, l’un du lieu m sur la ligne s, l’antre du lieu O sur la ligne OY, sont nécessairement égales. De IA résulte , pour In vitesse d,s, avec laquelle le point u sort du lieu O sur In ligne OX,, ‘ .

(10) d, s, = vl. du = v~l- 'h ,

et, pour In vitesse nngulnire avec laquelle In directrice du point u sur In ligne OX, tourne autour de ce point nu sortir du lieu O,

eosfl, . . — , cos 9, ' =K2.ds.

Eu égard au double mouvement qui anime n ln fois In directrice du point u sur la ligue s et cçlle du point >n sur la ligne OY (celleci tournant, par hypothèse, en sens inverse de l’autre) In vitesse nngulnire d,s,. ■ a pour expression équivalente

eos 9 eos 0'

ds. <?>. — — •

Il vient, en conséquence,

eos 9, cosO eos fl'

d, s, = ds — — — 'h — —

Pi P P

et, par suite des équations (10) et (20),

eos 9, 1 r eosfl cos 9' 1

Pt |/2 L P P J

L’équation (21) subsiste, en général , pour toutes les positions

( fiü'.l )

, ... ..... , eu» #, cu*lj ™»

successives du point p sur la ligue OA|, les modules — — » — — » — indépendant du lieu que ce point occupe à l'instant que l’on considère cl variant ainsi d'une manière incessante. On peut , par conséquent, la différencier. Soit, comme ci-dessus, d{ la caractéristique correspondante. Elle exprime , par rapport à chacun des termes du second membre de l’cquation (il) une différentielle totale, ou, cc qui rc>icnl au même, la somme des différentielles qui correspondent respectivement, l’une à la caractéristique d , l’autre à la caractéristique «?. De là résulte,

cos s,

~ pT i

/ COS 8 COS 8’ V / cos 8 cos 8 \

— — . — - dis h ! — Ot,

ds **

et, eu égard à l'équation (lit),

eos H

eus 9’ ^cos9

cos 9’

n fi

~~ds

S'agit-il main tenant de la ligue UY, ? Le même procédé donne , en premier lieu ,

Pi

I r eos 0 cos 8' "|

i/jL p p' -I

et, en second lieu ,

eos 8.

eos 8

eos (t

cos 0

cos 9'

ds

Observons ici qu'avant de combiner entre elles les équations (22) et (23), il faut avoir égard, pour la dernière, à l’inversion du sens de la ligue OX cl y changer, en conséquence, le signe

des différentielles qui ont la lettre d pour caractéristique. On lrou\e ainsi

ros 8', <?« — — Pi

COS 8' COS 0 cos »'

Si Si dx

Ajoutant, membre à membre, les équations (22) et (24), il vient

, cos 6, rose', .rose cos 8'

Pi h P< P P

d, s, S, i, ds Si

L’équation (25) met en évidence la proposition qu’il s’agissait d’établir ci priori ou de vérifier ci posteriori. Il est clair, en effet , qu’on ne peut avoir